实用生物统计

实用生物统计第1页，共54页，2023年，2月20日，星期六2.1随机变量和分布函数随机变量的直观定义：实验中得到的取值有随机性的量随机变量的类型：离散型和连续型概率分布表，概率函数，密度函数分布函数：设X为一随机变量，则函数F(x)=P(X<x)(-∞<x<+∞)称为X的分布函数。第2页，共54页，2023年，2月20日，星期六分布函数的性质：不减F(-∞)=0,F(+∞)=1左连续性第3页，共54页，2023年，2月20日，星期六概率与密度函数的关系：积分概率与分布函数的关系：P(a<=X<b)=F(b)-F(a)第4页，共54页，2023年，2月20日，星期六2.2离散型随机变量两点分布：一次随机试验，成功概率为p01qp二项分布：n次独立试验，每次成功概率为p，成功X次的概率为：第5页，共54页，2023年，2月20日，星期六超几何分布：对N件产品（其中有M件次品）进行不放回抽样检查，在n件样品中的次品数X的分布是超几何分布：

0≤k≤n≤N,k≤M

若N>>n,可用二项分布近似。几何分布：连续进行独立实验，首次成功时的实验次数X的概率分布称为几何分布：g(k,p)=P(X=k)=qk-1pk=1,2,3……

第6页，共54页，2023年，2月20日，星期六负二项分布：连续独立实验，以X记第k次成功时总的实验次数，则X服从负二项分布:泊松(Poisson)分布：在二项分布中，当事件出现概率特别小(p→0)，而实验次数又非常多（n→∞），使np→λ（常数）时，二项分布就趋近于泊松分布，为

x=0,1,2,……第7页，共54页，2023年，2月20日，星期六泊松分布的性质：1）平稳性2）独立增量性（无后效性）3）普通性第8页，共54页，2023年，2月20日，星期六2.3连续型随机变量均匀分布：密度函数：分布函数：第9页，共54页，2023年，2月20日，星期六指数分布：密度函数：分布函数：第10页，共54页，2023年，2月20日，星期六正态分布：密度函数：分布函数：第11页，共54页，2023年，2月20日，星期六标准正态分布：密度函数和分布函数：正态分布也可以作为二项分布的极限。当n

时，若q,p均不趋于0，此时的二项分布以N(np,npq）为其极限。第12页，共54页，2023年，2月20日，星期六第13页，共54页，2023年，2月20日，星期六第14页，共54页，2023年，2月20日，星期六正态分布的标准化：设X～N(μ，σ2)，令

则U~N(0,1)，即：第15页，共54页，2023年，2月20日，星期六2.4随机向量例2.3袋中装有4只白球和6只黑球，有放回摸球二次，令每次摸到白球记为1，摸到黑球记为0，则有如下的二维随机变量：取值:（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）概率：

第16页，共54页，2023年，2月20日，星期六若改为不放回摸球，则二维随机变量改为：取值：（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）概率：连续型：第17页，共54页，2023年，2月20日，星期六多维随机变量与联合分布函数定义：称n元函数F（x1,x2,…xn）=P(X1<x1,X2<x2,…Xn<xn)为n维随机变量（X1，X2，…Xn）的联合分布函数。P(a1≤X1<b1,a2≤X2<b2）=F(b1,b2)-F(a1,b2)-F(b1,a2)+F(a1,a2)第18页，共54页，2023年，2月20日，星期六边际分布：分量子集所服从的分布。联合分布可以决定边际分布，反之则不成立。随机变量的独立性：设F(x1,x2,…xn)为随机向量X=(X1,X2,…

Xn)的联合分布函数，若对任意x1,x2,…xn，有：F(x1,x2,…xn)=F1(x1)·F2(x2)…Fn(xn)

则称随机变量X1,X2,…Xn互相独立。

第19页，共54页，2023年，2月20日，星期六2.5随机变量的数字特征射手甲、乙，谁的成绩好？击中环数8910甲的概率0.30.10.6乙的概率0.20.50.3甲：8×0.3N+9×0.1N+10×0.6N=9.3N乙：8×0.2N+9×0.5N+10×0.3N=9.1N第20页，共54页，2023年，2月20日，星期六离散型随机变量的数学期望定义：设X为一离散型随机变量，它取值为x1,x2,x3…，对应的概率为p1,p2,p3…，若级数绝对收敛，则把它的极限称为X的数学期望或均值，记为E(X)。反之，若不绝对收敛，则说X的数学期望不存在。

第21页，共54页，2023年，2月20日，星期六二项分布：

第22页，共54页，2023年，2月20日，星期六几何分布：

Pk=qk-1p，k=1,2,……

第23页，共54页，2023年，2月20日，星期六泊松分布：

第24页，共54页，2023年，2月20日，星期六连续型随机变量的数学期望定义：设连续型随机变量X的分布密度函数为f(x),当积分

绝对收敛时，我们称它的极限为X的数学期望(或均值)，记为E(X)。若积分不绝对收敛，则称X的数学期望不存在。

第25页，共54页，2023年，2月20日，星期六均匀分布：第26页，共54页，2023年，2月20日，星期六正态分布：

（令，则）第27页，共54页，2023年，2月20日，星期六数学期望的性质和运算（C，K为常数）

性质：E（C）=CE（X+C）=E（X）+CE（KX）=K·E（X）

E（KX+C）=K·E（X）+C证：令g(X)=KX+C，则：X若为连续型，设f(x)为其密度函数，有：

第28页，共54页，2023年，2月20日，星期六X若为离散型：设P(xi)=pi，有：其余各式均为此式的特例。运算：若X1，X2，…Xn期望均存在，则：E（a1X1+a2X2+…+anXn）=a1E(X1)+a2E(X2)+…+anE(Xn)第29页，共54页，2023年，2月20日，星期六随机变量的函数的数学期望

离散型：X的概率分布为：P(X=xi)=pi,，Y=g(X)为

X的函数，则

Y的期望为：连续型：X的分布密度函数为：f(x)；Y=g(X)为X的函数，则若积分绝对收敛，则称其值为Y=g(X)的数学期望，记为E(g(X))。

第30页，共54页，2023年，2月20日，星期六方差的定义定义：若E(X-E(X))2存在，则称它为随机变量的方差，并记为D(X)。称为X的根方差或标准差。证明：D(X)=E(X2)-[E(X)]2证：D(X)=E(X-E(X))2=E[X2-2X·E(X)+(E(X))2]=E(X2)-2E(X)·E(X)+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2第31页，共54页，2023年，2月20日，星期六两点分布：X：10E(X)=pP：pqD(X)=E[X-E(X)]2=(1-p)2·p+(0-p)2·q=q2p+p2q=pq二项分布：P(X=i)=pi=第32页，共54页，2023年，2月20日，星期六（第二项是均值，令k=i-2）∴D(X)=E(X2)-[E(X)]2=n(n-1)p2+np-n2p2=np-np2

=npq第33页，共54页，2023年，2月20日，星期六几何分布：P（X=i）=pi=qi-1p,i=1,2,……

E(X)=1/p第34页，共54页，2023年，2月20日，星期六第35页，共54页，2023年，2月20日，星期六

∴第36页，共54页，2023年，2月20日，星期六泊松分布：第37页，共54页，2023年，2月20日，星期六第38页，共54页，2023年，2月20日，星期六均匀分布：E(X)=(a+b)/2第39页，共54页，2023年，2月20日，星期六第40页，共54页，2023年，2月20日，星期六正态分布：E(X)=μ第41页，共54页，2023年，2月20日，星期六方差的性质:(C,K为常数)证：只需证明最后一式：第42页，共54页，2023年，2月20日，星期六第43页，共54页，2023年，2月20日，星期六协方差与相关系数随机向量的期望和方差定义：随机向量X=（x1,x2,…xn）的数学期望为(E(x1),E(x2),…E(xn))，方差为（D(x1),D(x2),…D(xn)）,其中E(xi)和D(xi)分别代表xi服从的边际分布的数学期望和方差。第44页，共54页，2023年，2月20日，星期六协方差定义：对两个随机变量X，Y，称E[(X-E(X))(Y-E(X))]为它们的协方差，记为COV(X，Y)。可以证明，若X1，X2的方差存在，它们的协方差也存在。相关系数定义：称为X1，X2的相关系数，记为r12。第45页，共54页，2023年，2月20日，星期六相关系数的性质（1）对相关系数r,有：|r|≤1当|r|=1时，意味着两随机变量有线性关系：（K，C为常数，K>0）r=1,X1=KX2+Cr=-1,X1=-KX2+C第46页，共54页，2023年，2月20日，星期六(2)若r=0,则称X1与X2不相关。下列事实等价：(i)cov(X1，X2)=0(ii)

X1与X2不相关(iii)

E(X1·X2)=E(X1)·E(X2)(iv)

D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)第47页，共54页，2023年，2月20日，星期六证明：（i）与(ii)等价显然。∵cov(X1，X2)=E[(X1-E(X1))·(X2–E(X2))]=E[X1X2-X1·E(X2)-X2·E(X1)+E(X1)·E(X2)]=E(X2X2)-E(X1)·E(X2)∴(i),(iii)等价D(X1+X2)=E[X1-E(X1)+X2–E(X2)]2=E[(X1-E(X1))2+(X2–E(X2))2+2(X1-E(X1))(X2–E(X2))]=D(X1)+D(X2)+2cov(X1,X2)∴（i）与(iv)等价第48页，共54页，2023年，2月20日，星期六(3)若X，Y独立，则X，Y不相关，但逆不成立。n个随机变量的期望和方差：若X1，X2…Xn不相关，则：E(X1·X2…Xn)=E(X1)·E(X2)…E(Xn)D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)第49页，共54页，2023年，2月20日，星期六矩原点矩：对正整数k,mk=E(Xk)称为随机变量X的k阶原点矩。数学期望是一阶原点矩。中心矩：对正整数k，Ck=E(X-E(X))k称为随机变量X的k阶中心矩。方差是二阶中心矩。

第50页，共54页，2023年，2月20日，星期六其他数字特征中位数：是同时满足P(