应用随机过程第二章

Ch2.随机过程及其分类2.1随机过程定义和基本特性2.1.1随机过程定义

给定参数集T和概率空间，依赖参数的一族随机变量称为随机过程，记为或。e.g.电子系统电路噪声、到达服务机构的人数和到达时刻、通信基站用户接入数等。

随机过程的含义：1）固定，是随机变量2）固定，是时间的确定函数（样本函数、实现或现实）3）和固定，是确定数。4）

不固定，是随机过程

2.1.2基本特性

随机过程是含参数t的随机变量族，可以带t的随机变量描述其特性。1）有限维分布函数

（1）n维概率分布函数

（2）n维概率密度函数

（3）n维特征函数

n维概率分布函数特性

（1）（对称性）如果是的某一种排列，有

（2）（相容性）如果，有

定理2.1（Kolmogonov概率分布函数存在定理）

若给定参数集T和满足相容性的任意有穷维分布函数族，则必定存在概率空间上的一个随机过程，且该过程的有穷维分布函数族与已给定的分布函数重合。2）基本数字特征

（1）均值/数学期望/重心

（2）方差

（3）自相关函数

（4）均方函数

（5）协方差函数（6）相关系数函数

3）联合特性与复过程

定义在同一概率空间和参数集T的随机过程X(t)和Y(t)，概率分布特性与数字特征如下：

（1）联合概率分布函数

（2）联合概率密度函数

（3）联合特征函数

（4）互相关函数

（5）互协方差函数（6）互相关系数函数

复随机过程

（1）均值函数

（2）方差函数（3）自相关函数

（4）互相关函数

2.1.3举例1）随机正弦过程

，均可是随机变量。随机参量调制中，有如下情况：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

对于幅相联合调制信号，假设统计独立，且服从上的均匀分布。这样

随机正弦过程有

（1）

（2）

2）

随机电报信号

随机电报信号，其中是参数为的泊松随机变量，A是的二元等概率随机变量，和A彼此统计独立。

容易计算，取的概率为1/2。这样，有(1)(2)

2.1.4随机过程分类1）参数集T与状态（过程取值）

2）分布特性

独立过程、高斯过程、马尔可夫过程等3）应用

非平稳过程，平稳过程、冲激过程等

参数连续参数离散状态连续状态离散2.2平稳随机过程2.2.1严平稳与宽平稳随机过程1)严(强)平稳过程

概率分布函数满足2）宽（弱或广义）平稳过程

3)关系

（1）

严平稳一定宽平稳，反之，不一定。

（2）特殊过程（正态、…..）严平稳与宽平稳等价

4)联合严(强)平稳过程

，联合概率分布函数满足

5）联合宽（弱或广义）平稳过程

6）非平稳过程

不满足平稳过程特性

语音信号、脉冲雷达信号、冲激噪声……

2.2.2平稳随机过程的相关函数特性1)自相关函数

（1）

（2）

（3）

（4）如果X(t)是周期为

的平稳过程，有

（5）如果X(t)是非周期的平稳过程，有

（6)是正定函数

2)互相关函数

3）举例

某平稳过程X(t)的自相关函数为

计算均值、均方值和方差。

均值、均方值和方差分别为

2.3独立随机过程与白噪声2.3.1独立随机过程1)定义

如果随机过程

在任意n时刻

的随机变量彼此统计独立，该过程称为独立随机过程。2）概率分布特性

3）数字特征

（1）

（2）

不同时刻不相关！

（3）如果过程是宽平稳过程，即，则有

独立过程每个时刻具有同分布时，过程是严平稳过程！

2.3.2白噪声过程如果随机过程

在任意n时刻

，恒有则称X(t)为白噪声过程。如果，则称为平稳白噪声过程。

对于零均值的白噪声过程，有，不同时刻的随机变量彼此不相关。

2.3高斯（正态）过程2.4.1高斯分布随机变量1)一维高斯分布随机变量

2）二维高斯分布随机变量

1)n维高斯分布随机变量

2.4.2高斯分布随机变量性质定理1.假设，则存在n阶正交矩阵T，使为n维相互独立的正态随机向量，且为矩阵C的特征值。

证明：由于协方差矩阵C正定，因此存在正交矩阵T，使

其中为矩阵C的特征值。

令，由随机变量函数特性，Jacobi行列式为。又由

于是，有

这样，随机向量的联合概率密度函数为

故

定理2.假设，则其特征函数为证明：由定理1可知，存在正交矩阵T，使

其中。

利用特征函数性质，有

由，有

性质1.

假设，则其任意一子向量服从正态分布，即。特别地，。

证明：在的特征函数中，对一切不等于的i，令

，等到的特征函数

这样，由唯一性定理，。

多元正态分布的边缘分布亦为正态分布！

性质2.假设，则分别是其均值向量和协方差矩阵。证明：由性质1可知，，因此

又由柯西-许瓦茨不等式可知，随机向量

的协方差矩阵存在，且元素为

于是，随机变量的协方差为

n维正态分布特性有一阶和二阶矩完全确定！性质3.假设n维随机向量，则相互统计独立的充分必要条件是两两不相关证明:(必要性)显然，统计独立一定不相关。

（充分性）假设两两不相关，则

，因此，的特征函数为

由唯一性定理，统计独立。性质4.假设n维随机向量的充分必要条件是任意非零线性组合服从一维正态分布，即证明:(必要性）假设，对任意n维实向量，有特征函数

取，有由唯一性定理，。

(充分性），则

其特征函数另p=1，有

故由唯一性定理，有。

性质5.假设n维随机向量，则其中证明:

对于，有

由唯一性定理，有。

正态随机变量的线性变换仍然是正态的！e.g.:四维正态随机向量，其中。计算的分布。由性质5可知，且

2.4.3高斯随机过程1）定义如果随机过程对于，n维随机变量的联合概率分布为n维高斯分布，则称该随机过程为高斯过程。2）性质(1)各阶分布完全由均值和