线代总复习专题培训市公开课金奖市赛课一等奖课件

线性代数总复习一、行列式二、矩阵三、向量之间关系四、线性方程组解五、特性值与特性向量第1页第1页一、行列式1、二阶三阶行列式计算第2页第2页2、n阶行列式计算性质1行列式与它转置行列式相等.性质2互换行列式两行（列）,行列式变号.性质3行列式某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.性质４行列式中假如有两行（列）元素成百分比，则此行列式为零．(1)利用行列式性质计算（化为三角形）第3页第3页性质5若行列式某一列（行）元素都是两数之和.性质６把行列式某一列（行）各元素乘以同一数然后加到另一列(行)相应元素上去，行列式不变．第4页第4页例计算行列式解第5页第5页第6页第6页(2)利用行列式展开计算定理行列式等于它任一行（列）各元素与其相应代数余子式乘积之和，即第7页第7页例第8页第8页第9页第9页二、矩阵1、矩阵逆求法（1）公式法（伴随法）第10页第10页（2）初等变换法行初等变换第11页第11页例1

求方阵逆矩阵.解（公式法）第12页第12页第13页第13页故第14页第14页（初等变换法）第15页第15页第16页第16页即初等行变换第17页第17页2、矩阵秩矩阵秩求法把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行行数就是矩阵秩.第18页第18页例解第19页第19页第20页第20页第21页第21页三、向量之间关系1、线性组合

向量能由向量组线性表示．定义第22页第22页存在矩阵，使得矩阵方程有解鉴定线性表示能由第23页第23页线性表示存在矩阵，使得矩阵方程有解第24页第24页例设证实向量能由向量组线性表示，并求表示式。解只需证矩阵与矩阵有相同秩。下面把矩阵化为行最简形：法一第25页第25页行初等变换向量可由向量组线性表示。第26页第26页由最简形知，方程组通解为从而其中为任意常数。第27页第27页法二设即也即第28页第28页其中为任意常数。解得其通解为故向量可由向量组线性表示，且其中为任意常数。第29页第29页定义则称向量组是线性相关，不然称它线性无关．2、线性相关性第30页第30页定理鉴定第31页第31页第32页第32页例1第33页第33页第34页第34页解第35页第35页第36页第36页3、最大无关组及向量组秩设有向量组，满足下面两个条件：假如能在中选出个向量（1）向量组线性无关；线性表示。（2）向量组中每一个向量都能由向量组则称向量组为向量组最大无关组。最大无关组所含向量个数称为向量组秩。第37页第37页向量组秩求法向量组秩秩矩阵最大无关组求法第38页第38页第39页第39页且列向量组一个最大无关组为第40页第40页因此第41页第41页四、线性方程组解定理元线性方程组1)有唯一解2)无解3)无穷多解定理元齐次线性方程组有非零解第42页第42页定理设矩阵秩，则齐次线性解集秩为线性方程组其中为任意实数。非齐次线性方程组通解非齐次线性方程组一个特解为齐次线性方程组基础解系为则非齐次线性方程组解解为第43页第43页例求解非齐次方程组解：第44页第44页令则为任意常数）法1：第45页第45页法2：令得又原方程组相应齐次方程组通解是令得基础解系因此原方程组通解是为任意常数）第46页第46页五、特性值与特性向量（1）如何求特性值？解特性方程特性方程根即为矩阵特性值。（2）如何求属于特性值特性向量？解齐次线性方程组其非零解即为属于特性值特性向量1、特性值与特性向量求法第47页第47页例

设求A特性值与特性向量．解第48页第48页第49页第49页得基础解系为：第50页第50页使得则若存在可逆矩阵，（1）为矩阵特性值（2）为相应于特性值特性向量。2、方阵对角化第51页第51页A能否对角化？若能对角例解第52页第52页解之得基础解系第53页第53页因此可对角化.第54页第54页注意即矩阵列向量和对角矩阵中特性值位置要互相相应．第55页第55页3、实对称矩阵对角化第56页第56页利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵将特性向量正交化;3.将特性向量单位化.4.2.1.详细环节为：第57页第57页例设求正交矩阵，使得为对角阵。解：第58页第58页当