复变函数第二章习题

1-6题中：1）只要不满足C-R条件，必定不能导、不能微、不剖析2）可导、可微的证明：求出一阶偏导ux,uy,vx,vy，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R条件。3）剖析两种情况：第一种函数在地域内剖析，只要在地域内各处可导，就各处剖析；第二种情况函数在某一点剖析，只要函数在该点及其邻域内各处可导则在该点剖析，若是只在该点可导，而在其邻域不能导则在该点不剖析。4）剖析函数的虚部和实部是调停函数，而且实部和虚部守C-R条件的限制，证明函数地域内剖析的另一个方法为：其实部和虚部满足调停函数和C-R条件，反过来，若是函数实部也许虚部不满足调停函数也许C-R条件则必定不是剖析函数。剖析函数求导：f(z)uxivx4、若函数f(z)在地域D上剖析，并满足以下的条件，证明f(z)必为常数。（1）证明：由于f(z)在地域上剖析，所以。令f(z)u(x,y)iv(x,y)，即uv,uvf(z)uiv0。xyyxxy由复数相等的定义得：uvuv。xy0,0yx所以，u(x,y)C1(常数)，v(x,y)C2(常数)，即f(z)C1iC2为常数。5、证明函数在平面上剖析，并求出其导数。1）证明：设=则，；；满足

uv,uv。xyyx即函数在平面上(x,y)可微且满足C-R条件，故函数在平面上解析。8、（1）由已知条件求剖析函数ux2y2xy，f(i)1i。f(z)uiv，解：由于函数剖析，依照C-R条件得uxvy2xy于是y2v2xy(x)2其中(x)是x的待定函数，再由C—R条件的另一个方程得vx2y(x)uy2yx，所以(x)x，即(x)x2c。2于是v2xyy2x2c22又由于f(i)1i，所以当x0,y1，时u111，vc1得c22所以22xyy2x21f(z)xyi(2xy2)。229、提示：剖析函数的实部和虚部为调停函数，只要该函数不是调停函数则它就不能够做为剖析函数的实部或虚部。10、提示：求出实部和虚部对x，y的一阶偏导，若不满足C-R条件则必定不是剖析函数，若满足C-R条件，同时满足一阶偏导存在且连续则为剖析函数。14.若zxiy，试证：（1）sinzsinxchyicosxshy。证：==18、解方程（1）ez1i3解：ez1i3i(2k)其中k0,1,2,......2e3则zi(32k)ln2i(2k)Ln[2e]3（2）lnzi。2解：即设，得，即。20、（2）3ieiLn3eiln3cos(ln3)isin(ln3)试求(1i)i,3i,ii,e2i及Ln(1i)。解：（1）(1i)ieLn[(1i)i]eiLn(1i)由于Ln(1i(2k)i(2k)i)Ln[2e4]ln24所以(1iiLn(1i)iln2(2k)2ln2(2k)i)ee4e4ek0,1,2,......（3）iieiLniLniLnei(2k)i(2k)22iieiLni(22k)ek0,1,2,......（4）e2ie2eie2(cos1isin1)（5）Ln(1i)i(2k)i(2k)Ln[2e4]ln2422，求证limsinz