数字逻辑数字系统及其编码

数字逻辑数字系统及其编码第1页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

概述：介绍课程目的、研究内容

一、什么是数字系统？1、模拟量：随时间变化的物理量称为模拟量。例如交流电压,压力（表），温度（表），万用电表等。使用模拟量表示物理量有许多不足：1)表示的精度有限；2)运算(速度、方式）受限；其原因是：压力（表），温度（表），万用电表中加工的对象是模拟量。2、数字量：用"0"、“1”数字表示物理量，"0"、“1”称为数字量。例如用"0"、“1”表示时间、颜色等。数字秒计时：数字万用电表：数字表示电压、电流。

加工的对象是数字量。优点：精度高，运算方便，容易传输，容易存储的优点。数字量“1”＝1秒钟第2页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

概述

例如：数字万用电表测量直流电压。在数字万用电表中，测量直流电压时它加工的对象是：直流电压的数字量。数字显示：直流电压指针显示：直流电压处理：直流电压模拟量处理数字量：直流电压数字量输入：直流电压直流电压转换数字量输入：直流电压第3页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

概述3、数字系统：采用数字量传输、处理、存储信息的系统。二、数字逻辑：研究采用数字量进行逻辑加工的电路。

0000100110111111111111例如：组合逻辑电路：输入输出第4页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

概述例如：节拍信号发生器同步时序逻辑电路。执行指令时使用的时序信号；W1、W2、W3、W4。通过：J1、K1;J2、K2输入数字量例如：时序逻辑电路：时钟输入第5页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

概述例如：微型计算机接口（主要课程）电路：接口是由组合逻辑电路、时序逻辑组成的，且被封装；学习接口电路时，是讲接口的外特性。因此，数字逻辑课程是重要的基础。第6页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码例如：嵌入式计算机：CPU,嵌入式计算机的接口第7页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

概述因此，《数字逻辑》课程是计算机应用专业一门骨干课程。在《数字逻辑》课程课堂教学的同时，包括：1、四个《数字逻辑》课程的实验；2、多个《数字逻辑》课程的课程设计题目；第8页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.1数制系统：目的介绍数字系统中的数制1.1.1位置数制系统十进制计数表示数值，使用的是一种称为位置数制的表示数值方法。也就是每位十进制数符的数值与它的位置有关，一位数符的数值是该数符与它的进位基数幂的乘积。例如：759.2410=7×102+5×101+9×100＋2×10-1+4×10-2使用二进制计数表示数值，每位个数符的数值也是这位个数符与它的进位基数的幂的乘积。例如：1101.1012=1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3

在位置数制系统中，每位个数符在不同的位置有不同的意义，这个不同的意义即为“位权”。数符的位权是这个数值采用的进位基数的幂。

采用这种表示数值的方法称为位置数制系统。

位权：

84210.5

数值：84010.5第9页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.1数制系统1.1.1位置数制系统使用十六进制计数表示数值，每位个数符的数值也是这位个数符与它的进位基数的幂的乘积。例如：2F.A16=2×161+15×160+10×16-1=47.62510采用这种表示数值的方法称为位置数制系统。位权：1611/16

数值：321510/16第10页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.1数制系统1.1.1位置数制系统二进制数运算规则可以看到：1)二进制数运算比较简单；逢2进12)二进制数的物理实现容易；例如，可以用电子器件中的无脉冲和有脉冲表示二进制数的“0”和“1”。3)二进制数的物理实现比其它进位计数制的物理实现节省电子器件；例如：表示1000个数10000000000百位十位个位

↑000210＝1024׃׃׃1111111111999210－1＝1023表示百位表示十位表示个位表示每位二进制数用1个10个元件10个元件10个元件元件，共需要10个元件共需要30个元件第11页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.1数制系统1.1.1位置数制系统八进制数和十六进制数八进制数和十六进制数转换成数二进制数比较方便的缘故，因此八进制数和十六进制数常用于表示、书写数字系统中的输入、输出和显示的数值。自从PC机广泛使用以后，八进制数使用很少，只是作为一个知识学习。第12页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.1数制系统1.1.2数制转换1.二进制数与十进制数之间的转换(1)

二进制数转换成十进制数二进制数转换成十进制数是采用多项式表示法进行。将二进制数使用位权展开成多项式，然后采用、在十进制数法则进行计算。例如：11010.1012=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3=16+8+0+2+0+0.5+0+0.125=26.162510以上转换的方法是采用：按“位权”相加(2)

十进制数转换成二进制数一个十进制数可能是既有整数数值，又有小数数值部分，要把它转换成二进制数，需要对整数数值部分和小数数值部分分别进行转换，然后把转换的两二部分的转换合并起来。第13页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.1数制系统1.1.2数制转换1)整数转换。整数转换采用“除2取余”方法。该算法是设十进制数的整数为N,将N除2，它的余数“0”或者“1”是转换成的二进制数整数数值最低位a0的数符；再将前次N除2的商继续除2，它的余数是a1的数符。按照这样的方法进行下去，直到商是0时为止，最后一位余数是an-1的数符。所有余数数符组成的序列，即是N转换成的二进制数的整数数值，即N10=an-1an-2…a1a0。例如：2310＝101112

上述方法可以进行推广。设十进制数的整数为N，R为进位基数。将N除以R，写下N除以R的余数，再将前次N除以R的商除以R，写下余数。反复进行下去，即可把N转换成R进位计数制的整数。第14页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.1数制系统1.1.2数制转换上述介绍的1)整数转换，采用“除2取余”方法，可以使用“位权”的概念，实现十进制整数成二进制整数。例如：2310＝101112

具体操作：把23按位权分解：23＝16＋4＋2＋1＝101112优点：速度快。在十进制整数比较大时，能够体现速度快的优点。它拓展了位权的应用。第15页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.1数制系统1.1.2数制转换2)小数转换。小数转换采用“乘2取整”方法。该算法是设十进制数的小数为N，将N乘2，它的积的整数部分“0”或者“1”是转换成的二进制数小数数值最高位a-1的数符。再将前次乘2以后积的小数部分继续乘2，它的积的整数部分是a-2的数符。按照这样的方法进行下去，直到积的小数部分是0时为止。所有整数的数符“0”或者“1”组成的序列，即是转换成的二进制数小数，即N10=0.a-1a-2…a-m。0.687510=0.10112第16页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.1数制系统1.1.2数制转换但是，有的时候十进制小数数值N经过K次乘2后，积的小数部分始终不能为“0”。它表明该十进制小数N不能用有限位数的二进制数小数数值表示。这时可以根据要求转换到规定的小数位数即可。对于最低位数符确定是“0”或者“1”的处理方法是：a-m作“0”舍“1”入的处理。也就是，如果a-(m+1)＝0，则a-m位的数值不变，即把a-(m+1)＝0舍弃；如果a-

(m+1)＝1，则在a-m位的数值上加1。上述方法可以进行推广。设十进制计数的小数数值为N，R为进位基数。将N反复乘以R，写下N乘以R整数部分的数符。再将前次N乘以R的小数数值乘以R,写下N乘以R整数部分的数符。反复进行下去，，即可把N转换成R进制小数。第17页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.1数制系统1.1.2数制转换2.二进制数与八进制数和十六进制数间的转换由于三位二进制数全部的不同组合分别对应着八进制数中的每一个数符。这样把二进制数的数值转换成八进制数的数值时，以二进制数的小数点为中心，分别向左、右两边每三位二进制数分为一组，不足三位添上0，然后写出每一组对应的八进制数的数符，即把二进制数转换成八进制数。

由于四位二进制数全部的不同组合分别对应着十六进制数中的每一个数符，这样把二进制数转换成十六进制数时，以二进制数的小数点为中心，分别向左、右两边每四位二进制数分为一组，不满四位添上0，然后写出每一组对应的十六进制数的数符，即把二进制数转换成十六进制数。第18页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.1数制系统1.1.2数制转换例如：1010101111.001012＝1257.128=2AF.2816将八进制数、十六进制数转换成二进制数，可按上述方法的相反过程进行。第19页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示本节介绍在数字系统中，有符号的二进制数如何表示，以及这样的表示给二进制数运算带来的方便。

术语：1、真值：二进制数值前用“－”、“＋”符号表示二进制数负数和正数。这种表示的二进制数的方法，称为符号数的真值，简称真值。2、机器数：将真值的符号部分数字化以及真值的数值部分采用编码表示，称为机器数。真值的符号部分在机器数中称为符号位，真值的数值部分在机器数中称为尾数。第20页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示机器数有3三种形式，它们是原码、，补码和反码。采用原码表示有符号的二进制数时，符号位部分用“0”表示二进制正数，用“1”表示二进制负数。尾数部分与真值的数值部分相同。因此采用原码的形式表示二进制数时，仅是二进制数的数符数字化。第21页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示第22页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示采用原码形式表示有符号二进制数的二进制数物理实现简单。但是，在数字系统中采用原码在数字系统中运算不方便。这是因为，当两二个原码进行加法或者减法运算时，需要根据两二个原码的数符号位“0”或者“1”来决定是做作加法运算还是作减法运算。如果是做作减法运算，还需要根据尾数的绝对值确定哪一个作为被减数，和哪一个作为减数，并还要确定运算结果的符号位是“0”还是“1”号。这些会增添数字系统中运算的复杂性。第23页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示1.2.2反码采用反码表示有符号的二进制数时，符号位部分别用“0”表示二进制正数，用“1”表示二进制负数。反码的尾数部分与符号位有关；符号位是“0”时，尾数同真值的数值部分相同；符号位是“1”时，尾数是把真值的数值部分各位取反。第24页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示第25页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示第26页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示第27页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示第28页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示1.2.3补码采用补码表示有符号的二进制数时，数符号位用“0”表示二进制正数，用“1”表示二进制负数。补码的尾数部分与数符号位有关。数符号位是“0”时，尾数同真值的数值部分相同。数符号位是“1”时，尾数是部分把真值的数值部分各位取反，然后在尾数的最低位上加1。第29页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示1.2.3补码第30页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示1.2.3补码第31页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示1.2.3补码第32页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示1.2.3补码第33页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示1.2.3补码第34页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.2有符号二进制数的编码表示1.2.3补码第35页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码在数字系统中使用机器数表示二进制数，也使用二进制数字表示字符。例如，在数字系统中表示大写和小写英文字母、“＃”、“！”等字符。如果要在数字系统中使用二进制数字表示字符，这就涉及到对字符进行编码。另外，在数字系统中二进制数输、处理的速度很高，为了防止出错需要使用可靠性编码。下面介绍在数字系统中常用的几种编码。1.3.1十进制数的二进制编码在数字系统中除了采用机器数表示二进制数以外，有时需要用若干位二进制数表示一位十进制数，以便能在数字系统中表示和使用十进制数，适应处理十进制数的需要。目前通常使用四位二进制数对十进制数的每一个数符进行编码，称为二–十进制编码，简称BCD码。下面介绍3种BCD码。第36页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码1、8421BCD码

8421BCD码是将每个十进制数的数符用四位二进制数表示,即用0000～1001这10个不同的四位二进制数分别表示十进制数的0～9这10个数符。在8421BCD码中，每一位二进制数符从左到右的位权分别是23、22、21、20。因此，8421BCD码称为有权码。例如，写出十进制数238的8421BCD码。23810＝001000111000(8421BCD码)例如，写出100101000001（8421BCD码）的十进制数。100101000001(8421BCD码)＝94110在8421BCD码中不使用、不允许出现1010～1111这6六个编二进制数的组合码。第37页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码2、2421BCD码

2421BCD码是将每个十进制数的的数符用四位二进制数表示，即用0000～0100、1011～1111这10个不同的四位二进制数分别表示十进制数的0～9这10个数符。2421BCD码中每一位数符从左到右的位权分别是21、22、21、20，因此2421BCD码也是一种有权码。例如，写出十进制数258的2421BCD码。25810＝（001010111110(2421BCD码)例如，写出0011110011112421BCD码的十进制数。 001111001111（2421BCD码）＝36910第38页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码

在2421BCD码中不允许出现0101～1010这六个编码，这也是因为在十进制数中没有数符同这六个编码对应。另外，2421BCD码也称为“自反编码”，即把某个十进制数符的2421BCD码各位取反，便是另一个十进制数符的2421BCD码。例如，2421BCD码“0100”是表示十进制数符“4”。将它的各位求反得“1011”，它是十进制数符“5”的2421BCD码。“5”可以通过5＝9-4得到。因此，2421BCD码也称为“对9的自补编代码”。第39页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码3、余3BCD码

余3BCD码是在8421BCD码的每一个四位二进制数编码加上“0011”构成。余3BCD码是一种无位权的编码。 例如，写出十进制数258的余3BCD码。 25810＝010110001011（余3BCD码） 写出100010010111（余3BCD码）的十进制数。 100010010111（余3BCD码）＝56410余3BCD编码也是一种“对9的自补”编码。

余3BCD码中不使用0000～0010、1101～1111这6个二进制数的组合。第40页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码使用余3BCD码可以进行加法运算。只是注意，由于每一位十进制数符的余3BCD码编码多“0011”，两个余3BCD码相加的和就多了0110。因此，使用余3BCD码进行加法运算时,需要对产生的和产生和要进行调整，使结果也是余3BCD码。如果没有进位产生，加法运算后的和也不是余3BCD码，这时需要在和中减去“0011”进行调整。如果两个余3BCD码进行加法运算后产生进位，则加法运算后的和就不是余3BCD码了，这时需要在和中加上“0011”进行调整；第41页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码1.3.2可靠性编码在数字系统中,二进制数或者编码在数字系统中从一个设备传输送到另一个设备的过程中速度快，可能会发生某位出错，也就是某位原来是“0”，在传输送过程中变成“1”，或者相反。为了在数字系统中编码在出错时能够被发觉，或者能够得到出错位出错的位置，这样就可以加以纠正。为了达到这个目的，在数字系统中使用可靠性编码。1、奇偶校验码奇偶校验码是在计算机中广泛使用的可靠性编码。奇偶校验码是由信息位加上一个校验位组构成。信息位是数字系统中传输数据的通路。校验位是为了产生信息位的校验码而设置的一位数据通路。校验位上的校验码是“0”或者是“1”，它与信息位中“0”的个数和“1”的个数有关。如果信息位和校验位中“1”“的个数为奇数，称为奇校验码，。这个校验位称奇校验位。第42页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码1.3.2可靠性编码

如果信息位和校验位中“1”“的个数为偶数，称为偶校验码，。这个校验位称偶校验位。在数字系统中，如果使用奇校验码，则称数字系统使用为奇校验。同理称为偶校验。第43页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码1.3.2可靠性编码数字系统可以采用奇校验也可以采用偶校验。不管使用那一种校验方式，除了有传输数据的通路以外，还需要有一个校验位形成电路，它的输出是校验位，一般校验位用P表示。如果在数字系统中进行奇、偶校验，则需要有奇偶校验检测电路，如图1-3所示。第44页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码1.3.2可靠性编码2、格雷码：由若干位二进制数数符组成的编码中，任意两个相邻的编码仅有一位二进制数符不同，具有这种特性的编码称为格雷码。第45页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码1.3.2可靠性编码可以将一个二进制数编制为格雷码。也可以将BCD码够进行编制为格雷码。。第46页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码第47页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码1.3.2可靠性编码

格雷码的特点：

一是，相邻的两个数符之间仅有一位不同。二是，它所代表的数符在加1时没有中间的过程出现。例如“7”的8421BCD码的格雷码是“0100”，“7”加1是“8”，“8”的8421BCD码的格雷码是“1100”。在格雷码中运算7加1等于8，仅仅是把“0100”最左边的二进制数符“0”改为“1”，使之成为“1100”即可。8421BCD码的格雷码中其他的数符加1，同样是仅仅是改变格雷码中一位二进制数符。第48页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码1.3.2可靠性编码其它的编码，例如：8421BCD码、余3码、2421BCD码不满足相邻的两个数符与之间仅有一位数符不同的特点。例如，“7”的一位8421BCD码“7”是“0111”，“0111”它加增1以后是“1000”，他是“8”的8421BCD码。8421BCD码在运算7加1等于8的过程中，四位二进制数符在从“0111”变化到“1000”时，四位二进制数符都会发生变化，。如下所示。第49页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码1.3.2可靠性编码尽管最终的结果是1000。，但是加1在的过程中，在其t0，t1，t2时刻产生了三个0110、0100和0000的中间结果过程。另外，在加1运算中，四位二进制数的每一个数符都会发生了变化。这种现象在数字系统中这种现象是不允许的。使用格雷码就就可以避免以上现象中间过程的出现。译码器加1计数器逻辑电路第50页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码1.3.2可靠性编码3、汉明校验码：奇偶校验码只能检测到一位出错，不能定位出错的是哪一位数符。如果能够定位出错数符的位置，数字系统就可以自动进行校正处理。汉明校验码是一种具有定位出错数符位置能力的一种编码。在这里首先介绍在一个编码中能够检测出错的条件是什么，然后介绍汉明校验码的结构，以及它为什么有定位出错数符位置的能力。引入以下几个基本概念。码字：表示一个数（或字符）的若干位二进制编码。例如：8421BCD码中的，“0011”、“1000”。码元：码字中的一位二进制数符。“0011”中的“第1位”0“；码组：满足一定规则的码字的集合。8421BCD码中的全部10个编码是一个码组。最小码距：在一个码组中任何码字之间不同码元的最小个数。例如：8421BCD码中的“0000”与“0001”，最小码距为1。最大4。第51页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统及其编码

1.3数字系统中的编码1.3.2可靠性编码以8421BCD码为例，0000～1001称为一个码组。其中的每一个8421BCD码是该码组中的一个码字。例如，0000，0001，……，1001总共十个码字。每个码字中的一位二进制数符称为一个码元。两个码字之间不同的码元的个数称为码距。8421BCD码的最小码距为1，例如0000与0001。最大的码距为4，例如0111与1000。

8421BCD码没有定位出错的能力。其原因是由于它最小码距为1。也就是说，当8421BCD在传输过程中有一个码元出错时，所产生的错误的码字可能仍为8421BCD码中的一个合法的码字。第52页，共62页，2023年，2月20日，星期六第1章数字系统