数学面积体积公式

数学面积体积公式第1页，共25页，2023年，2月20日，星期六正方形、正方体

一、正方形1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直。2、内角：四个角都是90°。3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。8、正方形是特殊的矩形。9、正方形也是矩形的一种。S正=边长×边长=a²=a×a5cm（）×（）=（）cm，周长是边长×45525第2页，共25页，2023年，2月20日，星期六二、正方体因为6个面全部相等，所以正方体的表面积=底面积×6=棱长×棱长×6正方体的体积(或叫做正方体的容积）=棱长×棱长×棱长；设一个正方体的棱长为a，则它的体积为：V=a×a×a=V正=棱长×棱长×棱长=Sh=底面积×棱长（）棱长9cm，体积是（）×（）×（）=cm³9999729第3页，共25页，2023年，2月20日，星期六平行四边形（矩形(长方形)、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）性质：（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补（简述为“平行四边形的邻角互补”）（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（平行线间的高距离处处相等）第4页，共25页，2023年，2月20日，星期六

（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）

（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论）

（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）.

（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.

（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。

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平行四边形（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。（12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。（14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。（15）平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对角相等,邻角互补平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点平行四边形的内角和是外角和的四分之一。周长：底加高再×2第6页，共25页，2023年，2月20日，星期六

平行四边形面积公式是S平=底×高=ah一个平行四边形底5cm，高5cm，面积是多少（）×（）=cm5525第7页，共25页，2023年，2月20日，星期六长方形定义四个角都是直角的平行四边形叫做长方形。又叫矩形。长方形长与宽的定义：第一种意见：长方形较长的那条边叫长，较短的那条边叫宽。第二种意见：和水平面同方向的叫做长，反之就叫做宽。长方形的长和宽是相对的，不能绝对的说“长比宽长”，但习惯地讲，长的为长，短的为宽。①两条对角线相等；②两条对角线互相平分；③两组对边分别平行；④两组对边分别相等；⑤四个角都是直角；⑥有2条对称轴（正方形有4条）。正方形是特殊的长方形周长是长加宽再×2第8页，共25页，2023年，2月20日，星期六长方形长9cm，宽6cm，面积多少？正方形面积=长乘宽=ab（）×（）=cm²9654第9页，共25页，2023年，2月20日，星期六长方体(1〕长方体有6个面。有三组相对的面完全相同。一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。〔2〕长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等。按长度可分为三组，每一组有4条棱。〔3〕长方体有8个顶点。每个顶点连接三条棱。三条棱分别叫做长方体的长，宽，高。(4)长方体相邻的两条棱互相垂直。因为相对的2个面面积相等，所以先算上下两个面，再算前后两个面，最后算左右两个面。设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、h，则它的表面积为S长方体=2×(ab+bh+ah)也等于ah乘2+ab乘2+bc×2；公式：长方体的表面积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×2，或：长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2第10页，共25页，2023年，2月20日，星期六长方体的体积=长×宽×高设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的体积V=abc=Sh因为长方体也属于棱柱的一种，所以棱柱的体积计算公式它也同样适用。长方体体积=底面积×高，即V=Sh（S是底面积）。声明：关于长方体的体积公式，写成V=abh是正确的。在一般的小学课本中，都是V=abh,就北京的教材也一样。长方体的底面积就是长方形的面积S=ab,而将它代入V=Sh就是V=abh。当然，也不强求必须用a,b,c或l,w,h来表示长宽高。所以，V=abh,V=abc,V=lwh都是正确的。一个长方体，长9cm，宽28mm，高0.04m，它的体积是多少立方分米？（）×（）×（）=dm²0.90.280.40.7072第11页，共25页，2023年，2月20日，星期六梯形定义：梯形（trapezium)是指只有一组对边平行的四边形（叫作梯形）。平行的两边叫做梯形的底边。不平行的两边叫腰；两底之间的公垂线段叫梯形的高。性质①梯形的上下两底平行；②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线[1]）平行于两底并且等于上下底和的一半。③等腰梯形对角线相等辅助线1．作高（根据实际题目确定）；2．平移一腰；3．平移对角线；4．反向延长两腰交于一点；5．取一腰中点，另一腰两端点连接并延长；6．取两底中点，过一底中点做两腰的平行线。7.取两腰中点，联结，作中位线。第12页，共25页，2023年，2月20日，星期六

周长梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。[2]等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。面积梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h÷2。[3]变形1：h=2s÷（a+b）；变形2：a=2s÷h-b；变形3：b=2s÷h-a。另一计算梯形的面积公式：中位线×高，用字母表示：L·h。对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。一个高7cm，上底下底一样是8cm，面积是多少平方毫米？（）+（）=（）×（）=cm²881616787第13页，共25页，2023年，2月20日，星期六台体

圆台的体积公式：V=[S+S'+√(SS')]h÷3=πh(R²+Rr+r²)/3圆台的表面积公式：S=πr²+πR²+πrl+πRl=π(r²+R²+rl+Rl)r－上底半径R－下底半径h－高l—母线棱台棱台的体积公式:V台体=1/3【S+S'+√（S*S'）】*h.S：上底面积S'：下底面积h：高即棱台体积=1/3*【棱台底面积+顶面积+开根号（棱台底面积乘以顶面积）】*棱台高第14页，共25页，2023年，2月20日，星期六圆形、椭圆、扇形、球体的体积或面积1.圆的周长C=2πr=或C=πd2.圆的面积S=πr²3.扇形弧长L=圆心角（弧度制）*r=nπr/180（n为圆心角）4.扇形面积S=nπr²/360=Lr/2（L为扇形的弧长）5.圆的直径d=2r6.圆锥侧面积S=πrl（l为母线长）7.圆锥底面半径r=n/360L（L为母线长）（r为底面半径）圆的周长公式推导（此方面涉及到弧微分）圆周长一半是8cm，半径是9cm，面积是多少8×9×3.14=226.08第15页，共25页，2023年，2月20日，星期六扇形扇形面积公式R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长。也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n，如下：（L为弧长，R为扇形半径）第16页，共25页，2023年，2月20日，星期六椭圆形S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).椭圆的周长公式椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如L=∫[0,π/2]4a*sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2)[椭圆近似周长],其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则e=PF/PL第17页，共25页，2023年，2月20日，星期六球体数学中的球体球体基本概念半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体，简称球。半圆的圆心叫做球心。连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。球体性质用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面有以下性质：1球心和截面圆心的连线垂直于截面。2球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。球体函数半径为r的球的函数为：r^2=x^2+y^2+z^2第18页，共25页，2023年，2月20日，星期六

球体的计算公式半径是R的球的体积计算公式是：V=（4/3）πR^3(三分之四乘以π乘以半径的三次方)V=（1/6）πd^3(六分之一乘以π乘以直径的三次方)半径是R的球的表面积计算公式是：S=4πR^2（4倍的π乘以R的二次方）图1图1证明：证：V球=4/3×π×r^3欲证V球=4/3π×r^3，可证V半球=2/3π×r^3做一个半球h=r,做一个圆柱h=r(如图1)∵V柱-V锥=π×r^3-π×r^3/3=2/3π×r^3∴若猜想成立，则V柱-V锥=V半球∵根据卡瓦列利原理，夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所得的两个截面面积相等，那么，这两个立体图形的体积相等。∴若猜想成立，两个平面：S1(圆)=S2(环)1.从半球高h点截一个平面根据公式可知此面积为π×(r^2-h^2)^0.5^2=π×(r^2-h^2)2.从圆柱做一个与其等底等高的圆锥：V锥根据公式可知其右侧环形的面积为π×r^2-π×r×h/r=π×(r^2-h^2)∵π×(r^2-h^2)=π×(r^2-h^2)∴V柱-V锥=V半球∵V柱-V锥=π×r^3-π×r^3/3=2/3π×r^3∴V半球=2/3π×r^3由V半球可推出V球=2×V半球=4/3×πr^3证毕当然，求球体体积的方法很多，较容易让人理解的是用重积分的方法解：积分区域如图积分区域积分区域，圆的半径为r第19页，共25页，2023年，2月20日，星期六

圆柱1、以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转360°形成的面所围成的旋转体叫作圆柱(circularcylinder)，即AG矩形的一条边为轴，旋转360°所得的几何体就是圆柱。其中AG叫做圆柱的轴，AG的长度叫做圆柱的高，所有平行于AG的线段叫做圆柱的母线，DA和D'G旋转形成的两个圆叫做圆柱的底面，DD'旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面。2、在同一个平面内有一条定直线和一条动线，当这个平面绕着这条定直线旋转一周时，这条动线所成的面叫做旋转面，这条定直线叫做旋转面的轴，这条动线叫做旋转面的母线。如果母线是和轴平行的一条直线，那么所生成的旋转面叫做圆柱面。如果用垂直于轴的两个平面去截圆柱面，那么两个截面和圆柱面所围成的几何体叫做直圆柱，简称圆柱。圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱体的体积．求圆柱的体积跟求长方体、正方体一样，都是底面积×高：设一个圆柱底面半径为r，高为h，则体积V=πr*rh如S为底面积，高为h，体积为V：V=Sh，也可以是V=πr*rh第20页，共25页，2023年，2月20日，星期六

圆柱的侧面积=底面的周长×高。[2]S侧=Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高）圆柱的底面积=πr*r;圆柱的表面积圆柱的表面积=侧面积+两个底面积S表=2πr*r+2πrhs侧=πdhs底=2πr*s表=s侧+s底角锥：V=rS×h÷3【角锥体积=底面积×高÷3】柱体：V=sh(柱体体积=底面积×高）第21页，共25页，2023年，2月20日，星期六球缺球冠的面积=2πRH（不包括截面的面积）球缺体积公式=(π/3)(3R-H)*H^2（R是球的半径,H是球缺的高)球缺质心：匀质球缺的质心位于它的中轴线上，并且与底面的距离为：

c=(4R-H)H/(12R-4H)=(d^2+2H^2)H/(3d^2+4H^2)