无穷级数的重排

无穷级数的重排1第1页，共27页，2023年，2月20日，星期六众所周知，条件收敛级数各项的先后次序重新排列后，级数的和及收敛性都可能改变。简单地说：条件收敛级数不满足交换律。本课件利用数学软件Maple来求交错调和级数经过重排后的一些级数的和。2第2页，共27页，2023年，2月20日，星期六先来看级数绝对收敛与条件收敛的区别3第3页，共27页，2023年，2月20日，星期六绝对收敛与条件收敛有何区别？定理9绝对收敛级数可以任意重排，其和不变。（绝对收敛级数的交换律）绝对收敛级数的收敛是绝对的（Absolutely），它的收敛性及其和都不会因为改变级数各项的位置而产生任何变化。4第4页，共27页，2023年，2月20日，星期六

条件收敛级数不满足交换律条件收敛级数的收敛性及其和都与级数中各项的位置有关。因此条件收敛级数的收敛性及其和是有条件的（conditionally）：不能打乱原级数的各项之间的先后次序，否则可能会改变级数的和，甚至改变其收敛性。当然，只改变有限项的位置，不会对级数造成任何变化。5第5页，共27页，2023年，2月20日，星期六例如是条件收敛级数在以上顺序下（一正一负），级数收敛，和为ln2。现在，我们按照“一正二负”重新排列各项的顺序，得一新的级数：6第6页，共27页，2023年，2月20日，星期六收敛级数可以加括号还是那些数相加，但结果减少一半！级数性质7第7页，共27页，2023年，2月20日，星期六数学家黎曼证明了一个更令人吃惊的结论：条件收敛级数的各项重排后，级数可以收敛于任何一个实数，也可以使其发散！黎曼Riemann德国数学家1826-18668第8页，共27页，2023年，2月20日，星期六交错调和级数的重排级数的计算由数学软件Maple完成9第9页，共27页，2023年，2月20日，星期六实验表明：若将交错调和级数负项（正项）提前，就可以使级数的和减小（增大）。10第10页，共27页，2023年，2月20日，星期六先看一正m负的情形11第11页，共27页，2023年，2月20日，星期六一正一负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);12第12页，共27页，2023年，2月20日，星期六一正二负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(4*n-2)-1/(4*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);13第13页，共27页，2023年，2月20日，星期六一正三负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(6*n-4)-1/(6*n-2)-1/(6*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);14第14页，共27页，2023年，2月20日，星期六一正四负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(8*n-6)-1/(8*n-4)-1/(8*n-2)-1/(8*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);15第15页，共27页，2023年，2月20日，星期六一正五负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(10*n-8)-1/(10*n-6)-1/(10*n-4)-1/(10*n-2)-1/(10*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);16第16页，共27页，2023年，2月20日，星期六一正m负：m:=8:a:=n->1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*n-2*k),k=0..m-1);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity):evalf(%);即17第17页，共27页，2023年，2月20日，星期六一正八负：m=8m:=8:a:=n->1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*n-2*k),k=0..m-1);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);18第18页，共27页，2023年，2月20日，星期六一正15负：m=15m:=15:a:=n->1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*n-2*k),k=0..m-1);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity):evalf(%);19第19页，共27页，2023年，2月20日，星期六再看m正一负的情形20第20页，共27页，2023年，2月20日，星期六二正一负：a:=n->1/(4*n-3)+1/(4*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);

evalf(%);21第21页，共27页，2023年，2月20日，星期六三正一负：a:=n->1/(6*n-5)+1/(6*n-3)+1/(6*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);

evalf(%);22第22页，共27页，2023年，2月20日，星期六四正一负：a:=n->1/(8*n-7)+1/(8*n-5)+1/(8*n-3)+1/(8*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);23第23页，共27页，2023年，2月20日，星期六m正一负：m:=8:a:=n->sum(1/(2*m*n-2*k-1),k=0..m-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);24第24页，共27页，2023年，2月20日，星期六8正一负：m:=8:a:=n->sum(1/(2*m*n-2*k-1),k=0..m-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);25第25页，共27页，2023年，2月20日，星期六15正一负：m:=15:a:=n->sum(1/(2*m*n-