无穷级数幂级数

无穷级数幂级数第1页，共69页，2023年，2月20日，星期六1.定义:9.3.1、函数项级数的概念2.收敛点与收敛域:第2页，共69页，2023年，2月20日，星期六函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是收敛域)第3页，共69页，2023年，2月20日，星期六9.3.2、幂级数及其收敛性1.定义:任务：求幂级数的收敛域、和函数，并研究和函数的性质。第4页，共69页，2023年，2月20日，星期六证明2、阿贝尔定理第5页，共69页，2023年，2月20日，星期六第6页，共69页，2023年，2月20日，星期六由(1)结论几何说明收敛区域发散区域发散区域第7页，共69页，2023年，2月20日，星期六推论3、幂级数的收敛半径及收敛区间第8页，共69页，2023年，2月20日，星期六定义:正数R称为幂级数的收敛半径.称为幂级数的收敛区间.规定问题如何求幂级数的收敛半径?注：幂级数的收敛域要讨论端点的收敛性.第9页，共69页，2023年，2月20日，星期六证明4、收敛半径的求法法一：公式法第10页，共69页，2023年，2月20日，星期六由比值审敛法,第11页，共69页，2023年，2月20日，星期六定理证毕.第12页，共69页，2023年，2月20日，星期六说明(2)an不能等于零。而是要用别的方法求R。不可说幂级数没有收敛半径（一定有）第13页，共69页，2023年，2月20日，星期六例1求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛该级数发散级数收敛域为(-1,1].第14页，共69页，2023年，2月20日，星期六第15页，共69页，2023年，2月20日，星期六发散收敛故收敛域为(0,1].第16页，共69页，2023年，2月20日，星期六解缺少偶次幂的项级数收敛,法二：直接利用比值，根值判别法（有缺项）第17页，共69页，2023年，2月20日，星期六级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为第18页，共69页，2023年，2月20日，星期六9.3.3、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)加减法(其中第19页，共69页，2023年，2月20日，星期六(2)乘法(其中柯西乘积第20页，共69页，2023年，2月20日，星期六(3)除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)即有从中可顺序求出第21页，共69页，2023年，2月20日，星期六2.和函数的分析运算性质:(收敛半径不变)第22页，共69页，2023年，2月20日，星期六(收敛半径不变)反复应用上述结论可得：收敛半径为R,若幂级数则它的和函数s(x)在区间(-R,R)内具有任意阶导数。第23页，共69页，2023年，2月20日，星期六解两边积分得第24页，共69页，2023年，2月20日，星期六解第25页，共69页，2023年，2月20日，星期六第26页，共69页，2023年，2月20日，星期六第27页，共69页，2023年，2月20日，星期六解收敛区间(-1,1),第28页，共69页，2023年，2月20日，星期六习题9.3第29页，共69页，2023年，2月20日，星期六9.4函数展开成幂级数9.4.1、泰勒级数

9.4.2、函数展开成幂级数

第30页，共69页，2023年，2月20日，星期六9.4.1、泰勒级数

1.问题的引入（1）上一节主要讨论幂级数的收敛域及和函数。反问题：给定一个函数f(x),能否找到一个幂级数，他在某区间上收敛，而其和函数恰是f(x).若能找到这样的幂级数，则称函数f(x)在该区间上能展开成幂级数。（2）第三章第三节泰勒公式中我们知道：如果函数f(x)在含有x0的某开区间(a,b)内有直至(n+1)阶的导数，则对(a,b)内任一点x，有第31页，共69页，2023年，2月20日，星期六ξ是位于x0、x之间的某个值。误差为|Rn（x）|。如果函数f(x)在含有x0的某开区间(a,b)内各阶导数都存在，则Pn(x)的项可无限增加而得一幂级数：幂级数（3）称为函数f(x)的泰勒级数。第32页，共69页，2023年，2月20日，星期六问题：1）此级数是否收敛？2）若收敛，和函数是否为f(x)?设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成幂级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn（x）当n时的极限为0，即:证明：先证必要性。设函数f(x)在U(x0)上能展开成泰勒级数，即对一切xU(x0)成立。2.定理3）若f(x)能展开幂级数是否还有其它形式?第33页，共69页，2023年，2月20日，星期六我们把f(x)的n阶泰勒公式（1）写成：其中sn+1(x)是f(x)的泰勒级数（3）的前n+1项的和。因为f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数（4），所以再证充分性：由f(x)的n阶泰勒公式有：sn+1(x)=f(x)Rn（x）即函数f(x)的泰勒级数在U(x0)收敛，且收敛于f(x)。证毕。在（3）式中若取x0=0,得：f(x)=sn+1(x)+Rn（x）第34页，共69页，2023年，2月20日，星期六3.展开式的唯一性级数（5）称为函数f(x)的麦克劳林级数。第35页，共69页，2023年，2月20日，星期六泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数证明第36页，共69页，2023年，2月20日，星期六1直接法：具体步骤如下：（i）求f(x)的各阶导数。（ii）求f(x)的各阶导数在x=0（x=x0)处的值。（iii）写出f(x)所对应的幂级数，即麦克劳林（泰勒级数）：并写出其收敛半径R。（iv）在（R,R）内考察：若为零，则在（

R,R）内有9.4.2、函数展开成幂级数

第37页，共69页，2023年，2月20日，星期六得f(x)的麦克劳林级数：它的收敛半径为R=+

对任何有限的x,ξ(ξ是位于0、x之间的某个值。得展开式：第38页，共69页，2023年，2月20日，星期六得f(x)的麦克劳林级数：它的收敛半径为R=+

对任何有限的x,ξ(ξ是位于0、x之间的某个值）。得展开式：第39页，共69页，2023年，2月20日，星期六2

间接法：（理论依据：展开式的唯一性）（i）利用一些已知函数的幂级数展开式。（ii）利用幂级数的运算（四则，逐项求导，逐项积分）。（iii）变量代换。上式对x求导（右端逐项求导）得第40页，共69页，2023年，2月20日，星期六将上式从0到x逐项积分：第41页，共69页，2023年，2月20日，星期六将上式从0到x逐项积分：注：逐项积分逐项微分可能改变区间端点的收敛情况。第42页，共69页，2023年，2月20日，星期六注应熟记下列函数的幂级数展开式：第43页，共69页，2023年，2月20日，星期六m为任意实数。第44页，共69页，2023年，2月20日，星期六第45页，共69页，2023年，2月20日，星期六第46页，共69页，2023年，2月20日，星期六化为展开成y的幂级数。第47页，共69页，2023年，2月20日，星期六习题9.4第48页，共69页，2023年，2月20日，星期六1、熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法

2、会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数。

的麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数展开成幂级数。

一、内容总结第49页，共69页，2023年，2月20日，星期六典型例题1填空绝对收敛R=4绝对收敛第50页，共69页，2023年，2月20日，星期六例2求下列幂级数的收敛域。（1）解：的收敛半径分别为R1=1；R2=1又因为当|x|=1时该级数发散，所以R=1收敛域为(－1，1)。

所以该幂级数的收敛半径R≥1。

第51页，共69页，2023年，2月20日，星期六（2）用根值第52页，共69页，2023年，2月20日，星期六解:因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;第53页，共69页，2023年，2月20日，星期六例3求幂级数的和函数。

解(1)：易知该幂级数的收敛域为(－1，1)。设其和函数为s(x)，则第54页，共69页，2023年，2月20日，星期六第55页，共69页，2023年，2月20日，星期六解(2)：

故该幂级数的收敛域为

第56页，共69页，2023年，2月20日，星期六解(4)：

易知幂级数的收敛域为（0，2）

令x-1=t

第57页，共69页，2023年，2月20日，星期六解(3)：易知该幂级数的收敛域为[－1，1]，设其和函数为s(x)，则于是

第58页，共69页，2023年，2月20日，星期六第59页，共69页，2023年，2月20日，星期六解(5)：易知所给幂级数的收敛半径R=+∞，设其和函数为s(x)，则第60页，共69页，2023年，2月20日，星期六例4求数项级数的和。

第61页，共69页，2023年，2月20日，星期六第62页，共69页，2023年，2月20日，星期六解:原式=第63页，共69页，2023年，2月20日，星期六例5将下列函数展成x的幂级数。

解(1)

第6