数值分析课件第三章函数逼近与计算

数值分析课件第三章函数逼近与计算第1页，共40页，2023年，2月20日，星期六实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:1、引言第2页，共40页，2023年，2月20日，星期六纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近---------(1)必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点。第3页，共40页，2023年，2月20日，星期六一般使用在回归分析中称为残差称为平方误差。在回归分析中称为残差平方和.从而确定(1)中的待定系数:注意(1)式是一条直线,因此将问题一般化为:什么是最小二乘法第4页，共40页，2023年，2月20日，星期六仍然定义平方误差第5页，共40页，2023年，2月20日，星期六我们选取的度量标准是---------(2)---------(3)第6页，共40页，2023年，2月20日，星期六第7页，共40页，2023年，2月20日，星期六由可知因此可假设因此求最小二乘解转化为二次函数7.1最小二乘法的求法第8页，共40页，2023年，2月20日，星期六由多元函数取极值的必要条件得即第9页，共40页，2023年，2月20日，星期六---------(4)即第10页，共40页，2023年，2月20日，星期六引入记号则由内积的概念可知---------(5)---------(6)显然内积满足交换律第11页，共40页，2023年，2月20日，星期六方程组(4)便可化为---------(7)将其表示成矩阵形式-----(8)第12页，共40页，2023年，2月20日，星期六并且其系数矩阵为对称阵所以法方程组的系数矩阵非奇异,即根据Cramer法则,法方程组有唯一解第13页，共40页，2023年，2月20日，星期六即是的最小值所以因此第14页，共40页，2023年，2月20日，星期六作为一种简单的情况,基函数之间的内积为平方误差第15页，共40页，2023年，2月20日，星期六例1.回到本节开始的实例，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为建立法方程组根据内积公式，可得第16页，共40页，2023年，2月20日，星期六法方程组为解得平方误差为第17页，共40页，2023年，2月20日，星期六拟合曲线与散点的关系如右图:第18页，共40页，2023年，2月20日，星期六例2.求拟合下列数据的最小二乘解x=.24.65.951.241.732.012.232.522.772.99y=.23-.26-1.10-.45.27.10-.29.24.561解:从数据的散点图可以看出因此假设拟合函数与基函数分别为第19页，共40页，2023年，2月20日，星期六6.7941-5.347563.2589-5.34755.1084-49.008663.2589-49.00861002.51.6163-2.382726.7728通过计算,得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为Go!Go!第20页，共40页，2023年，2月20日，星期六用Gauss列主元消去法,得-1.0410-1.26130.030735拟合的平方误差为图象如图第21页，共40页，2023年，2月20日，星期六例3.在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的数据如下，试建立y关于t的经验公式t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:具有图示的图形的曲线很多，本题特提供两种形式第22页，共40页，2023年，2月20日，星期六两边取对数,得得即为拟合函数基函数为解法方程组得平方误差为第23页，共40页，2023年，2月20日，星期六用最小二乘法得即无论从图形还是从平方误差考虑在本例中指数函数拟合比双曲线拟合要好平方误差为第24页，共40页，2023年，2月20日，星期六从本例看到，拟合曲线的数学模型并不是一开始就能选好的，往往要通过分析确定若干模型之后，再经过实际计算，才能选到较好的模型。第25页，共40页，2023年，2月20日，星期六各点的重要性可能是不一样的重度:即权重或者密度，统称为权系数定义加权平方误差为:-----(9)关于加权最小二乘法第26页，共40页，2023年，2月20日，星期六使得第27页，共40页，2023年，2月20日，星期六由多元函数取极值的必要条件得即第28页，共40页，2023年，2月20日，星期六引入记号定义加权内积-----(10)第29页，共40页，2023年，2月20日，星期六矩阵形式(法方程组)为方程组(10)式化为-----(11)---(12)第30页，共40页，2023年，2月20日，星期六平方误差为作为特殊情形,用多项式作拟合函数的法方程组为-----(13)第31页，共40页，2023年，2月20日，星期六即正交多项式如何选取呢---(14)7、2用正交多项式作最小二乘拟合第32页，共40页，2023年，2月20日，星期六第33页，共40页，2023年，2月20日，星期六使得由正交多项式的性质,法方程组第34页，共40页，2023年，2月20日，星期六-----(16)-----(17)可化为即得即为利用正交多项式的最小二乘解第35页，共40页，2023年，2月20日，星期六平方误差为第36页，共40页，2023年，2月20日，星期六例4.是用最小二乘法求拟合这组数据的多项式解:从散点图可知数据和二次多项式拟合较好因此选用二次多项式作