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文档简介

§8.2

点估计的优良性

对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?用什么标准来评价一个估计量的好坏?常用标准(1)无偏估计(3)一致性估计(2)最小方差无偏估计

定义设是总体X的样本是总体参数的估计量,则称是的无偏估计量.

无偏性若是总体X的样本,证明:不论

X服从什么分布,是的无偏估计量.证例1

设总体X的

k

阶矩存在因而由于特别地,样本二阶原点矩

是总体二阶的无偏估计量原点矩是总体期望E(X)的无偏估计量样本均值甚至:若是总体X的样本,不论

X服从什么分布,统计量是总体期望E(X)的无偏估计量例2

设总体

X

的期望E(X)与方差

D(X)存在,是X的一个样本,n>1(1)不是D(X)的无偏估计量;(2)是D(X)的无偏估计量.证前已证.

证明因而故证毕.例3

设是总体X的一个样本

,X~B(n

,p)n>1,求p2

的无偏估计量.

解

由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成总体矩的线性函数,然后用样本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.令因此,p2

的无偏估计量为故例4

设总体X

的密度函数为为常数为X

的一个样本证明与都是的无偏估计量证

故是的无偏估计量.令即故nZ是的无偏估计量.例5

设总体X~N(,2),为X

的一个样本求常数k,使为的无偏估计量解注意到是X1,X2,…,Xn的线性函数,

故都是总体参数的无偏估计量,且则称比更有效.定义设最小方差无偏估计对于的无偏估计合理的要求尽量小，即小。所以,比更有效.是的无偏估计量,问哪个估计量更有效？与由前面例4可知,都为常数例6

设密度函数为为X

的一个样本,解，例7

设总体期望为E(X)=,

方差D(X)=

2

为总体X

的一个样本常数证明是的无偏估计量(2)证明比更有效证:(1)

(2)

结论算术均值比加权均值更有效.而例如X~N(,2

),X1

,X2是一样本.都是的无偏估计量由例7(2)知最有效.是的一个无偏估计，

定义设若对于的任一无偏估计成立则称

是的最小方差无偏估计。

例8

设为来自于总体的样本,总体均值

总体方差

求的最小方差线性无偏估计。

解的线性估计是将的线性函数作为的估计量。问题是如何选取的值，

使得无偏性和最小方差这两个要求都能得到满足。

无偏性要求

最小方差要求达到最小，转化成一个求条件极值问题，

用拉格朗日乘数法，令对求偏导得解方程组

得即全相等，

记

由条件得到

于是是的最小方差无偏估计。说明了选取样本均值作为总体均值的估计的优良性质。

定义设是总体参数的则称是总体参数的一致(或相合)性估计量.估计量.若对于任意的,

当n时,依概一致性率收敛于,即一致性估计量仅在样本容量

n足够大时,才显示其优越性.例9为常数则是的最小方差线性无偏估计、一致性估计量.是的最小方差线性无偏估计。所以是

的一致估计量

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