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在递推背景下求数列通项的综合方法

以数列为载体的综合题，无非是已知通项公式的背景和给出递推式的背景，在递推背景或条件下，如何解决问题呢？求出通项公式，以通项公式作为基础，进一步解决后面的问题是主要的方法，我校汪叶清、褚人统两位老师有文[1]总结呈现；但是，在少数的情况下，给出的递推背景或条件是不符合文[1]、文[2]或文[3]所叙述的几种，那么要解决问题就不得不回避求通项的方法，要选择综合方法了.这样的试题以2008年出现最多，2009年只有两个，2010年仅一个，我们相信在以后高考中还会时多时少的考查的.所谓综合方法就是对递推式进行分析、解剖、整理，获得实质性、有用的条件，把条件化简、问题变明朗.对递推式子的数列特有处理方法一般有如下思路.一、递推式中含有常数，常用“常数消除法”当给出的递推式含有常数时，置递推式中的n为它的相邻数n+1或n-1，得另外一式子，然后对两式子进行加、减、乘、除处理，把常数消去，使得条件式意思变得更清楚一点，或有进一步的意义凸显，这种方法称为“常数消除法”.二、运用类似函数性质那样解决递推问题其实例2已经告诉我们要善于利用递推式中有关的特有条件，如数列的单调性、数列项的数值有界性等；常采取的有对差的符号加以判断、配成完全平方后对递推式子进行判断、利用递推式所依托的函数（如下例中的f（x））单调性进行判断等；下面一道高考题就是这样的典型案例.（3）请参见有关高考试题解答.【点评】此题毕竟是全国数学高考理科最后一题（压轴题），需要较强的分析能力，同时也需要较扎实的数列、不等式等基础知识；从整个分析过程可以看出，递推式以函数为载体，巧妙利用了类似函数的单调性、有界性，还有不等式的放大缩小等方法进行解题.三、从递推式中去构造通项不等式四、数学归纳法是解决这类问题的常用办法高考如果要考数学归纳法，那一定是在数列题中出现，而且这类问题解决也离不开数学归纳法的证明思想；数学归纳法有其典型的题型特征，那就是明显含有“对一切正的自然数n”或“n∈N*”等条件或者类似意思的表达，也可以从题中理解出这层意义.其实上面几个例题都已经结合了数学归纳法的思想.(3)（略）【点评】数学归纳法解题要确切理解它的思想，如“假设n=k时命题成立”，当要解决n=k+1时，可以利用的条件就是题意给出的大前提，以及n=k的假设；还有的数列题，通过分析发现起始的n不是1，而是2，3等可能，这就需要对不符合通性或规律的前几个情形进行特殊检验.不过，做数列问题要灵活、机动，分析问题获取好的方法的基础是要掌握哪些可以求通项公式，怎么样求，不能求的时候就要立即怎么办等知识.下面一道高考试题就可以在求通项与不求通项之间灵活处理了.总之，数列在递推背景下解题，大多情形下是要求通项公式的，然后利用通项公式解决后面的问

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