机械原理相对运动图解解析

2-3用相对运动图解法求机构的速度和加速度一、矢量方程图解法的基本原理和作法基本原理——(1)矢量加减法；(2)理论力学运动合成原理。因每一个矢量具有大小和方向两个参数，根据已知条件的不同，上述方程有以下四种情况：设有矢量方程：

D＝A+B+C(1)矢量加减法大小：？

方向：？

ABDC§3－3用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析大小：

??

方向：CD大小：

方向：??大小：

?

方向：?ABADCBCDAB特别注意矢量箭头方向！作法：1）根据运动合成原理——列出矢量方程式。2）根据矢量方程式——作图求解。构件间的相对运动问题可分为两类：绝对运动=牵连运动+相对运动(2)理论力学运动合成原理同一构件上的两点间的运动关系两构件重合点间的运动关系AB1A(A1,A2)2二、同一构件上两点间的速度及加速度的关系现以图示曲柄滑块机构为例，说明用矢量方程图解法作机构的速度分析和加速度分析的具体步骤。已知图示曲柄滑块机构原动件AB的运动规律和各构件尺寸。求：①图示位置连杆BC的角速度和其上各点速度。②连杆BC的角加速度和其上C点加速度。（1）

速度关系：①根据运动合成原理，列出速度矢量方程式：大小：方向：?

ω1lAB

?∥xx⊥AB⊥BC②确定速度图解比例尺μv((m/s)/mm)cb速度多边形③作图求解未知量：p极点（逆时针方向）如果还需求出该构件上E点的速度VE大小：方向：?

√

?

?⊥AB⊥EB∥xx⊥ECcbp极点e√

?△bce~

△BCE,叫做△BCE

的速度影像，字母的顺序方向一致。速度影像原理：同一构件上若干点形成的几何图形与其速度矢量多边形中对应点构成的多边形相似.

速度多边形的特性：3）在速度多边形中，极点p代表机构中速度为零的点。1）在速度多边形中，由极点p向外放射的矢量代表构件上相应点的绝对速度，方向由极点p指向该点。4）已知某构件上两点的速度，可用速度影象法求该构件上第三点的速度。2）在速度多边形中，联接绝对速度矢端两点的矢量，代表构件上相应两点的相对速度，例如:

代表cb速度多边形p极点(2)加速度关系：根据运动合成原理，列出加速度矢量方程式：方向：√√

C→B⊥BC

大小：？

√

22lBC

？

作矢量多边形。根据矢量方程式，取加速度比例尺图示尺寸实际加速度,/mms2ma=mbncbp极点ec´p由加速度多边形得：pbnc´acbtacbn同样，如果还需求出该构件上E点的加速度aE，则方向：？E→B⊥BE大小：？

ω2

2lBE

2lCE同理，按照上述方法作出矢量多边形，则代表nebnc´p由加速度多边形得：方向：？

E→B

⊥BE大小：？

ω2

2lBE

2lCE△b’c’e’~

△BCE,叫做△BCE

的加速度影像，字母的顺序方向一致。加速度影像原理：同一构件上若干点形成的几何图形与其加速度矢量多边形中对应点构成的多边形相似；nebnc´pacbtacbn

加速度多边形的特性：bnc´pacbtacbn1）在加速度多边形中，由极点p´

向外放射的矢量代表构件上相应点的绝对加速度，方向由极点p´

指向该点。2）在加速度多边形中，联接绝对加速度矢端两点的矢量，代表构件上相应两点的相对加速度，例如:

代表。3）在加速度多边形中，极点p´

代表机构中加速度为零的点。4）已知某构件上两点的加速度，可用加速度影象法求该构件上第三点的加速度。ω1ADC1432B1三、两构件重合点间的速度和加速度的关系已知图示机构尺寸和原动件1的运动。求重合点C的运动。4原理——构件2的运动可以认为是随同构件1的牵连运动和构件2相对于构件1的相对运动的合成。

C分析——构件1和2组成移动副，点C为两个构件的一个重合点。Vc2、ac2根据两构件重合点间的关系可由vc1、ac1求出，而构件2和3在C点的速度和加速度相等。

ω1ADC1432B4依据原理列矢量方程式将构件1扩大至与C2点重合。1大小：方向：？

√

?⊥CDvC2取速度比例尺v

,

作速度多边形，由速度多边形得：c2(c3)(顺时针）c1PvC1⊥AC∥ABC1.

速度分析：

依据原理列矢量方程式c2(c3)c1Pω1ADC1432B41CakC2C1科氏加速度方向——将vC2C1沿牵连角速度w1转过90o。2.

加速度分析：

aC2aC2C1+aC1=科氏加速度当牵连点系（动参照系）为转动时，存在科氏加速度。动系转动速度相对速度分析：？Cc2(c3)c1PA44ω1D132B1方向：？

√√∥AB

大小：？

已知√

？akC2C1由于上式中有三个未知数，故无法求解。可根据3构件上的C3点进一步减少未知数的个数。arC2C1aC1naC1t大小：方向：C→D⊥CD√√∥AB√？Cc2(c3)c1PCA44ω1D132B1akC2C1arC2C1aC1naC1tC？大小：方向：C→D⊥CD√√∥AB√？c1´n´

c2´

(c3´)

k´p’取速度比例尺a

,

作加速度多边形。由加速度多边形可得：（顺时针）c2(c3)c1PCA44ω1D132B1akC2C1arC2C1aC1naC1tCc1´n´

c2´

(c3´)

k´p’atC3arC2C1B123B123B123B1231B23B123B123B123无ak

无ak

有ak

有ak

有ak

有ak

有ak

有ak

科氏加速度存在的条件：判断下列几种情况取B点为重合点时有无ak

2）两构件要有相对移动。1）牵连构件要有转动；如图所示为一偏心轮机构。设已知机构各构件的尺寸，并知原动件2以角速度w2等速度转动。现需求机构在图示位置时，滑块5移动的速度vF、加速度aF构件3、4、5的角速度w3、w4、w5和角速度a3、a4、a5。典型例题分析解：1.画机构运动简图E(E5,E6)a3ω3a6ω63DB2ω256Cα4ω4xxA2.速度分析：(1)求vB:

E(E5,E6)a3ω3a6ω63DB2ω256Cα4ω4xxA（2）求vC:

ce3(e5)be6P(a、d、f)（3）求vE3:

用速度影像求解（4）求vE6:

大小：方向：？√?⊥EF√∥xx（5）求w3、w4、w5;/3sradBCbclvlvBCCBmmw==3.加速度分析(1)求aB:E(E5,E6)a3ω3a6ω63DB2ω256Cα4ω4xxA(2)求aC及a3、a4大小：方向：√？√√？C→D⊥CDB→AC→B⊥CB其方向与(3)求aE：利用影像法求解(4)求aE6和a6E→F⊥EF√⊥xx∥xx大小：方向：√？√√？E(E5,E6)a3ω3a6ω63DB2ω256Cα4ω4xxAn6ke6akE6E5=25vrE6E5矢量方程图解法小结列矢量方程式

第一步：判明机构的级别——适用二级机构

第二步：分清基本原理中的两种类型

第三步：矢量方程式图解求解条件——只能有两个未知数

2.做好速度多边形和加速度多边形

（1）分清绝对矢量和相对矢量的作法，并掌握判别指向的规律（2）比例尺的选取及单位。3.注意速度影像法和加速度影像法的应用原则和方向4.构件的角速度和角加速度的求法5.科氏加速度存在条件、大小、方向的确定。典型例题一：如图所示为一摇动筛的机构运动简图。设已知各构件的尺寸，并知原动件2以等角速度w2回转。要求作出机构在图示位置时的速度多边形。2-4瞬心法和矢量方程图解法的综合运用作机构速度多边形的关键应首先定点C速度的方向。定点C速度的方向关键是定出构件4的绝对瞬心P14的位置。根据三心定理可确定构件4的绝对瞬心P14。对于某些复杂机构，单独运用瞬心法或矢量方程图解法解题时，都很困难，但将两者结合起来用，将使问题的到简化。解题分析：这是一种结构比较复杂的六杆机构(III级机构)。123465ABCEDGFw2123465ABCEDGFw2解题步骤：1.确定瞬心P14的位置2.图解法求vC、

vD123456K=N（N－1）/2=6（6－1）/2=15P14vC的方向垂直P16P15P64P45pebdc3.利用速度影像法作出vE典型例题二：图示为由齿轮－连杆组合机构。原动齿轮2绕固定轴线O转动，齿轮3同时与齿轮2和固定不动的内齿轮1相啮合。在齿轮3上的B点铰接着连杆5。现已知各构件的尺寸，求机构在图示位置时构件6的角速度w6。P13为绝对瞬心P23为相对瞬心

解：kg3g2acP13P23(o,d,e)g1,pb一、矢量方程解析法1.矢量分析的有关知识其中：l－矢量的模，θ－幅角，各幺矢量为：则任意平面矢量的可表示为：幺矢量—单位矢量－矢量L的幺矢量，－切向幺矢量

－法向幺矢量，－x轴的幺矢量

－y轴的幺矢量

θLjiyxetenije2-5用解析法作机构的运动分析θLjiyxetenije微分关系：相对速度相对加速度将定杆长L对时间分别取一次导数和二次导数，可得A点相对于O点的相对速度和相对加速度。幺矢量点积运算：3.位置分析列机构矢量封闭方程2.用矢量方程解析法作平面机构的运动分析图示四杆机构，已知机构各构件尺寸及原动件1的角位移θ1和角速度ω1，现对机构进行位置、速度、加速度分析。分析步骤：2.标出杆矢量xy求解q3消去q21.建立坐标系将等式两边各自点积ABC同理求q2说明：q2及q3均有两个解，可根据机构的初始安装情况和机构传动的连续性来确定其确切值。4.速度分析

（同vC=vB+vCB）求导用e2点积用e3点积5.加速度分析求导用e2点积用e3点积同理得二、复数法杆矢量的复数表示：机构矢量封闭方程为速度分析求导加速度分析求导xy位置分析位置分析三、矩阵法利用复数法的分析结果只有q2和q3为未知，故可求解。求导变形变形求导加速度矩阵形式加速度分析速度分析速度分析矩阵形式

解析法作机构运动分析的关键：正确建立机构的位置方程。至于速度分析和加速度分析只不过是对位置方程作进一步的数学运算而已。速度方程的一般表达式：其中[A]－－机构从动件的位置参数矩阵；{ω}－－机构从动件的角速度矩阵；{B}－－机构原动件的位置参数矩阵；ω1

－－机构原动件的角速度。加速度方程的一般表达式：{α}－－机构从动件的加角速度矩阵；[A]＝d[A]/dt；[B]＝d[B]/dt；[A]{α}=-[A]{ω}+ω1{B}[A]{ω}=ω1{B}

该方法的缺点是对于每种机构都要作运动学模型的推导，模型的建立比较繁琐。用矩阵法求连杆上点P的位置、速度和加速度xyPba用解析法作机构的运动分析小结：机构运动分析转换成写标量建立坐标系标出杆矢量机构位置、速度、加速度分析列矢量封