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文档简介

利用相似证明线段关系判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．要点提示1．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BM＝MC.证明两线段的相等关系证明：∵DE∥BC，∴△NEO∽△MBO.∴同理可得类型1证明两线段的数量关系∴∴∵DE∥BC，∴△ANE∽△AMC.∴同理可得∴∴∴∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.证明两线段的倍分关系2．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E.求证：AC＝2CE.如图，延长CE，交AM的延长线于F.易知△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，∴∴证明：证明两线段的倍分关系2．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E.求证：AC＝2CE.又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE.∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM.∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F.∴∠CAM＝∠F.∴AC＝CF.∴AC＝2CE.3．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，连接DE，EF，FD，且EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M，连接MN.(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条?并说明理由．(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并说明理由．证明两线段平行类型2证明两线段的位置关系MN∥AC∥ED.理由如下：由EF∥BC，知△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.∴∵E为AB的中点，EF∥BC，∴F为AC的中点．又∵DF∥AB，∴D为BC的中点．∴BD＝CD.∴EM＝MF.∵F为AC的中点，FN∥AE，解：(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪

几条?并说明理由．∴N为EC的中点．从而MN∥AC.又∵D为BC的中点，E为AB的中点，∴ED∥AC.∴MN∥AC∥ED.(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并说明理由．解：MN∥AC.理由如下：由EF∥BC，得△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.∴∴又∵DF∥AB，∴∴∴又∵∠MEN＝∠FEC，∴△MEN∽△FEC.∴∠EMN＝∠EFC.∴MN∥AC.证明两线段垂直4．如图，已知矩形ABCD，AD＝AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G.求证：EG⊥DF.证明：∵AD＝

AB，点E，F把AB三等分，∴设AE＝EF＝FB＝AD＝k，则AB＝CD＝3k，AF＝2k.∵CD∥AB，∴△AFG∽△CDG.∴设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.在Rt△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2，∴DF＝

k.∴5m＝

k.∴m＝k.∴FG＝

∴∴又∵∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE.∴∠EGF＝∠DAF＝90°.∴E

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