渗流力学课件第三章复势

渗流力学课件第三章复势第1页，共50页，2023年，2月20日，星期六一、势函数、流函数及复势1、势函数和流函数单相液体平面径向稳定渗流时，渗流速度为：有在无源区域内，因即（1）（2）第2页，共50页，2023年，2月20日，星期六将（1）代入有：

渗流场中渗流速度为矢量，渗流场为有势场，则φ称势函数或速度势。（3）由（3）式知，势函数满足Laplace方程。C1为一常数，表示一条等势线。第3页，共50页，2023年，2月20日，星期六vxvvydsdydxxyS设在渗流场中有流线S，其中一点M处的切线方向，为该点流体质点运动方向。设M点渗流速度为v，则在x、y方向的分速度为vx、vy。在M点沿流线S取一微小增量dS，则在x、y方向的增量为dx、dy，由相似关系有：M即（4）（4）为流线方程。第4页，共50页，2023年，2月20日，星期六因无源渗流场中，即（5）（5）式表示（4）式是某一函数的全微分，并用dΨ表示：（6）（a）（a）为全微分的充要条件是全微分函数第5页，共50页，2023年，2月20日，星期六（6）式积分有：则Ψ称为流函数，Ψ为常数时表示流线方程，给定不同的常数可得不同的流线。由（6）式知渗流速度与流函数关系：（7）因渗流场为有势场，其旋度即第6页，共50页，2023年，2月20日，星期六有将（7）式代入有：即流函数也满足Laplace方程。由复变函数理论知，满足Laplace方程的函数称调和函数，因此在平面渗流场中，势函数φ（x，y）和流函数Ψ（x，y）都为调和函数，且与渗流速度的关系为：（9）（8）（9）式为柯西-黎曼（Chuchy-Rieman）条件。第7页，共50页，2023年，2月20日，星期六证明势函数与流函数正交：沿等势线，势函数的全微分为零，即：则等势线上任一点处的切线斜率为：（10）沿流线，流函数的全微分也为零：第8页，共50页，2023年，2月20日，星期六则流线上任一点处的切线斜率为：（11）所以等势线与流线正交，势函数与流函数为共轭调和函数。因势函数和流函数满足C-R条件，则任知其中一个可求出另一个，从而确定渗流场。（12）第9页，共50页，2023年，2月20日，星期六例1、求线性渗流时势函数及流函数由达西定律知：则所以：由C-R条件单向流势则为单向流流函数第10页，共50页，2023年，2月20日，星期六例2、设已知生产井的势求流函数。解、则因第11页，共50页，2023年，2月20日，星期六又即则（13）第12页，共50页，2023年，2月20日，星期六2、平面渗流场的复势如复变函数w（z）在某一区域内解析，其实部和虚部存在二阶偏导数，并满足Laplace方程，即实部和虚部为共轭调和函数。又已知渗流场的势函数和流函数为共轭调和函数，则用势函数为实部、流函数为虚部构成的复数为解析函数，且称该复数为渗流场的复势，表示为：（14）由（14）式：第13页，共50页，2023年，2月20日，星期六即（15）例、复势w（z）=az+C，求势函数、流函数及渗流速度的绝对值。解：第14页，共50页，2023年，2月20日，星期六习题：54、55、56、57第15页，共50页，2023年，2月20日，星期六二、复势叠加原理1、平面上点源和点汇的复势生产井在坐标原点时，其势函数和流函数为：点源的复势为：即：（1）第16页，共50页，2023年，2月20日，星期六（1）式中，w（z）—距汇点任意处的复势；z—复平面上任意点；r—复变量z的模；θ—复变量z的幅角。井点为点源时，复势为：如井点在任意点A=a+ib，其复势为：（2）势函数流函数为：zrAAθyx（3）第17页，共50页，2023年，2月20日，星期六2、复势叠加原理若在渗流场中同时存在两个势流，其复势分别为：因势函数和流函数是共轭调和函数，是齐次线性方程，满足叠加原理条件，即两个复势可合成一个新复势，新复势的势函数和流函数仍满足Laplace方程。（4）第18页，共50页，2023年，2月20日，星期六且则同一渗流场中存在多个点源汇时，只需把各个点源汇单独存在时的复势进行简单的代数相加，即可得多井同时存在时的复势，称平面渗流场的复势叠加原理。如平面上有n个点源汇，分别位于A1、A2….An,则任意点复势为：第19页，共50页，2023年，2月20日，星期六则势函数为：流函数为：（7）（6）（5）第20页，共50页，2023年，2月20日，星期六三、复势理论在解决多井工作问题中的应用（一）无限地层中的等产量一源一汇r2r1θ2

xy-q+qaaθ1

由复势叠加原理：（1）第21页，共50页，2023年，2月20日，星期六则势函数为：流函数为：（3）（2）由（2）式可得等势线方程。由（3）式：为流线方程则第22页，共50页，2023年，2月20日，星期六令化简为：配方得：（4）（5）流线为圆。第23页，共50页，2023年，2月20日，星期六地层中任意点的渗流速度：由则第24页，共50页，2023年，2月20日，星期六xyqqaaθ1

二、一对等产量的汇θ2

r1r2M由复势叠加原理，M点的复势为：（1）第25页，共50页，2023年，2月20日，星期六则势函数为：（2）流函数为：（3）当时为流线第26页，共50页，2023年，2月20日，星期六令上式化简为：（4）流线方程为双曲线方程，C0为无穷时，有x=0或y=0，即x轴和y轴都是流线，其中y轴为分流线。地层中任意点的渗流速度为：r为任意点M到原点的距离，M点取在原点时，r为0，渗流速度为零，为死油点。第27页，共50页，2023年，2月20日，星期六补充习题：已知平面渗流场的复势求势函数和流函数。第28页，共50页，2023年，2月20日，星期六第九节平面渗流问题的保角变换求解法一、保角变换的概念1、z平面到ζ平面上的变换在复平面上复变数z=x+iy，引入新的复变数ζ=ξ+iη，ζ与z之间有关系z=z（ζ）或ζ=ζ（z），则or即（1）第29页，共50页，2023年，2月20日，星期六（1）式确定了平面z上的点与ζ上的点的对应关系，ζ=ζ（z）是单值或多值，则z平面上对应ζ平面上一点或几点。如：则即在z平面上给定一点，在ζ平面上可得到对应的一点。同样z平面上一条线在ζ面上有对应的一条或几条线。对于z平面上的一个渗流场，同样可在ζ面上有对应的渗流场。第30页，共50页，2023年，2月20日，星期六2、解析函数的导数和幅角设解析函数ζ=ζ（z）把z平面一点z=x+iy变换到ζ平面内ζ=ξ+iη的一点。用M和α分别代表函数ζ在z点的导数的摸和幅角，即或（2）由（2）式知，在dζ/dz=0时，变换ζ=ζ（z）使z点处很短的线伸长或缩短了M倍，并旋转了一个α角。这样在z点附近很小的图形变换到ζ平面内具有与原来相同的形状，在z平面两条相交的曲线间的夹角变换到ζ平面内保持不变，称这种变换为保角变换。第31页，共50页，2023年，2月20日，星期六3、变换前后井半径的关系复平面z上有一口半径为Rw的井，通过变换到ζ平面上将有一口半径为ρ

w的井与之对应。xzyRwldnζρ

wξηλ

dv由（2）式知：或（3）第32页，共50页，2023年，2月20日，星期六4、井产量变换前后不变（4）由（2）式：（5）代入（4）有：（6）表示对应井产量相等。第33页，共50页，2023年，2月20日，星期六二、例设z平面上的单向流动复势为：则作变换：则即第34页，共50页，2023年，2月20日，星期六三、保角变换的应用1、直线供给边沿附近一口井xyzaPw，Rwxxρ

ePw作变换（1）令z=ia，得ζ=0令z=x，由（1）式有：第35页，共50页，2023年，2月20日，星期六即说明z平面上的x轴变为ζ平面上半径为ρ

e的圆周。（3）即在ζ平面为圆形地层中心井问题，产量公式为：第36页，共50页，2023年，2月20日，星期六把（3）代入：（4）保角变换的求解方法：寻找一个适当的变换，将复杂的物平面变为较易求解的像平面，求出像平面的产量公式后，再利用变换式把参数代回物平面，从而得到实际问题的解。第37页，共50页，2023年，2月20日，星期六2、圆形地层一口偏心井xyZ0，Rwdφw

Re

ξζpwη作变换：（5）为Z0的共轭复数则Z平面Z0点变到ζ平面ζ=0点在Z平面圆周上任取一点Z’，代入（5）式：第38页，共50页，2023年，2月20日，星期六即Z平面半径为Re圆周上的点对应ζ平面为单位圆周上的点。又第39页，共50页，2023年，2月20日，星期六因则（7）为偏心井产量公式。第40页，共50页，2023年，2月20日，星期六第十节等值渗流阻力法利用水电相似原理，以电路图来描述渗流场，然后按电路定律来求解复杂的多井排渗流问题的方法，叫等值渗流阻力法。一、水电相似原理2apw+qxpe直线供给边沿附近一排生产井，单井产量公式为L第41页，共50页，2023年，2月20日，星期六井排产量为：（1）式中相当于液流渗过Bh断面面积，流经L距离的阻力相当于从各井周围一个假想的供给边沿（供给半径为a/π）流经各井的渗流阻力的并联，用渗流内外阻表示为：

第42页，共50页，2023年，2月20日，星期六（2）（3）则（1）为：（4）（5）在电学中，两电阻串联时的电流为（4）、（5）具有物理相似，称水电相似。第43页，共50页，2023年，2月20日，星期六上述问题的实际渗流场与假想渗流场及等值渗流阻力图为QRinRoutPepW在圆形供给边沿内半径为R的圆上有一环形井排，井相距2a，单井产量公式为：第44页，共50页，2023年，2月20日，星期六环形井排产量：（6）又2πR=n2a，即R/n=a/π，则（6）式可写为：（7）渗流内外阻为：第45页，共50页，2023年，2月20日，星期六二、等值渗流阻力法在多井排上的应用L1L2L3PE2a1、n1、PW12a2、n2、PW22a3、n3、PW3B1、一个三面封闭一边液源供给的油藏内3排井用等值渗流阻力法求解：1）绘等值电路图Rin1pepw1pw2pw3Rin·Rin3Rout1Rout1Rout1Q1+Q2+Q3Q3Q2+Q3Q1Q2第46页，共50页，2023年，2月20日，星期六2）计算内外阻由电路定律列方程有