热传导热问题的数值解法

热传导热问题的数值解法第1页，共48页，2023年，2月20日，星期六▲数值求解的基本思想及常用的数值求解方法▲有限差分法▲节点离散方程的建立——泰勒级数展开法与热平衡法。▲节点离散方程(组)的求解1、直接求解;2、简接求解——高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法*▲非稳态导热问题数值求解的有关概念

主要内容重点：用热平衡法建立稳态导热问题的离散方程，数值求解的高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法第2页，共48页，2023年，2月20日，星期六4.1.1数值求解的基本思想(见P162)：

把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程（组），来获得离散点上被求物理量的值（其集合称为该物理量的数值解）

4-1导热问题数值求解的基本思想第3页，共48页，2023年，2月20日，星期六常用的数值求解方法1、有限差分法*（finite-difference）

——对控制方程进行离散(近似)2、有限元法（finite-element）

——对解进行离散(近似)3、边界元法（boundary-element）4、分子动力学模拟（MD）第4页，共48页，2023年，2月20日，星期六4、解方程,并用节点的解的集合(离散值)来代替原物体内的连续温度分布

有限差分法：1、离散：将连续体用网格分割成有限单元体2、取节点：以单元体的中心点代表该单元体3、建立节点离散方程：对每一单元体按一定方法，将针对微元体得出的导热微分方程简转化成针对有限单元体的节点离散方程

(代数方程组)第5页，共48页，2023年，2月20日，星期六基本概念：单元体(控制容积)、网格线、节点、界面线、步长第6页，共48页，2023年，2月20日，星期六4.1.2用有限差分法求解导热问题的基本步骤是否收敛？是否建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程(即离散方程)设立温度场的迭代初值求解代数方程(组)解的分析改进初场nmyNxMyt0h3,tfh2,tfh1,tfWHX适用于线性问题m,n第7页，共48页，2023年，2月20日，星期六

4.2内节点离散方程的建立方法较常用的两种方法:——泰勒级数展开法与热平衡法

建立内节点离散方程的方法:1.泰勒级数展开法;2.热平衡法(也称为控制容积平衡法);3.多项式拟合法；

4.控制容积积分法。第8页，共48页，2023年，2月20日，星期六

4.2.1泰勒级数展开法将函数t的一阶导数及二阶导数在点(m,n)按泰勒级数展开，并取其一阶近似，结果代入相应的导热微分方程，即可得出该节点的离散方程。(详略)节点(m,n)的离散方程:当时:第9页，共48页，2023年，2月20日，星期六

4.2.2热平衡法*

基本思想：对每个有限大小的单元体(m,n)应用能量守恒定律，从而获得温度场的代数方程组,它从基本物理现象和基本定律出发,不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可得出节点的离散方程。能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热＝流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用第10页，共48页，2023年，2月20日，星期六

0△x△y

123

4Φ下Φ上垂直于屏幕方向取单位尺度：即△z=1(1)元体(m,n)的能量守恒方程为：

Φ上+Φ下+Φ左+Φ右+

Φ源=0(e)

如图,以元体(m,n)为研究对象(f)(g)(h)(i)(j)第11页，共48页，2023年，2月20日，星期六(2)将式(f)、(g)、(h)、(i)、(j)代入能量方程式(e)，得：△x=△y，且无内热源时，有即：推广一维问题三维问题第12页，共48页，2023年，2月20日，星期六结论：所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。但这里不包括热流(或热流密度)前的系数。这一结论也适用于边界节点。第13页，共48页，2023年，2月20日，星期六4.3.1边界节点离散方程的建立----用热平衡法1、平直边界节点△y△xmn2(m,n+1)

1(m-1,n)3(m,n-1)0(m,n)qwΦ1Φ2Φ34.3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解

Φw=△yqw

Φ源=(△x△y/2)Φ0能量守恒方程为：

Φ1+Φ2+Φ3+Φw+Φ源=0第14页，共48页，2023年，2月20日，星期六将各量代入能量守恒方程，并经化简，即可得节点“0”的离散方程.△x=△y时，有：第15页，共48页，2023年，2月20日，星期六2、外部角点：3、内部角点：m,nm-1,nm,n-1qw能量平衡方程：Φ1+Φ2+Φw=0Φ1Φ2结果为式(4-5a,b)结果为式(4-6a,b)

能量平衡方程：Φ1+Φ2+Φ3+Φ4+Φw=0m,nm,n-1m-1,nm,n+1m+1,nqwΦ4Φ1Φ2Φ3△x△x△y△y第16页，共48页，2023年，2月20日，星期六边界热流密度qw的几种情况：

(1)绝热边界：qw=0(2)qw为有限值（热流传入计算区域时为正）

(3)对流边界：qw=h（tf-tm,n）

(4)辐射边界条件：相应于前三种边界条件的结果见式(4-7)—(4-9)第17页，共48页，2023年，2月20日，星期六4.3.2处理不规则区域的阶梯型逼近法当计算区域中出现曲线或倾斜边界时,常用阶梯型折线来模拟真实边界第18页，共48页，2023年，2月20日，星期六

4.3.3代数方程的求解方法---迭代法雅可比迭代法(简单迭代);

高斯—赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法*;

超松弛迭代法;

块迭代；交替方向迭代等直接用代入法、矩阵求逆、高斯消元法及其改进和变形方法,通过有限次运算获得代数方程精确解(该法求解过程较繁杂,只适用于求解方程个数较少的问题)线性方程组的两类求解方法：直接求解简接求解——迭代法第19页，共48页，2023年，2月20日，星期六1.高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法迭代原则基本求解步骤迭代过程已经收敛的判据

(即控制过程终止的方法)迭代过程能否收敛的判据

(获得收敛解的条件)第20页，共48页，2023年，2月20日，星期六1.迭代原则：

先估计（或假定）变量的初始值，在以后依次求解过程中，不断采用最新的当前值来更新变量的估计值。(1)先将原方程组改写成t1,t2,t3,…的显式方程(迭代方程);(2)假设迭代初场ti(0);由迭代方程逐一计算,得各变量的第一次改进值ti(1);(3)以改进值更新变量初值，重复上述计算；……2.基本求解步骤(4)达到收敛要求后,过程终止.第21页，共48页，2023年，2月20日，星期六例：三元一次方程组的求解

a11t1+a12t2+a13t3=b1a21t1+a22t2+a23t3=b2(a)a31t1+a32t2+a33t3=b3

t1=(b1-a12t2-a13t3)/a11t2=(b2-a21t1-a23t3)/a22(b)t3=(b3-a31t1-a32t2)/a33显式化即迭代公式为:第22页，共48页，2023年，2月20日，星期六其中，ε’

=10-3～10-6

3.迭代过程已经收敛的判据

(即控制过程终止的方法)：max︱ti(k)-tik+1)︱≤ε,

(适用于计算区域中有接近于零的t时)第23页，共48页，2023年，2月20日，星期六

t1=(29-2t2-t3)/8t2=(32-t1-2t3)/5(2)t3=(28-2t1-t2)/4例4-1用高斯迭代法求解下例方程组：

8t1+2t2+t3=29t1+5t2+2t3=32(1)2t1+t2+4t3=28解:(1)将方程组显式化,写出迭代方程(2)假设t1、t2的初始值(一般可假设为零)，然后按前述基本步骤逐次进行计算，迭代结果一般列表表示。(ε≤0.01)第24页，共48页，2023年，2月20日，星期六迭代结果

节点迭代次数

t1(℃)

t2(℃)

t3(℃)

0

0

0

0

13.6255.6753.769

21.735(-1.89)4.545(-1.13)4.996(1.227)

31.864(0.129)4.029(-0.516)5.061(0.065)

41.985(0.121)3.979(-0.05)5.013(-0.048)

52.004(0.019)3.994(0.015)5.000(-0.013)

62.002(0.002)4.000(0.006)5.000(0.000)

最后结果2.0024.0005.000

t1=(29-2t2-t3)/8t2=(32-t1-2t3)/5(2)t3=(28-2t1-t2)/4第25页，共48页，2023年，2月20日，星期六例4-2：如图所示方形物体网格，用Gauss-Seidel迭代法求网格节点1、2、3、4的温度。解：(1)列节点离散方程各节点均为内节，故可直接用P102式(b):1234t=100℃t=100℃t=100℃t=500℃第26页，共48页，2023年，2月20日，星期六（2）迭代结果迭代次数

t1/℃

t2/℃

t3/℃

t4/℃

0123456

300275259.38252.35250.59250.15250.04

300268.75254.69251.18250.30250.07250.02

200168.75154.69151.18150.30150.07150.02

200159.38152.35150.59150.15150.04150.01第27页，共48页，2023年，2月20日，星期六

对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和——主对角线占优4.迭代过程能否收敛的判据(即获得收敛解的条件)该条件可表示为：

t1=(b1-a12t2-a13t3)/a11t2=(b2-a21t1-a23t3)/a22(b)t3=(b3-a31t1-a32t2)/a33例：对于前述式(a)或式(b):a11t1+a12t2+a13t3=b1a21t1+a22t2+a23t3=b2(a)a31t1+a32t2+a33t3=b3第28页，共48页，2023年，2月20日，星期六迭代结果发散_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

t\次数012345_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

t1

03252287221435522336162______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

t2

0-36-396-3996-39996-399996______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

t3

0-155-3355-61755-1068075-17889275_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

例4-1的另一解法:t1=32-5t2-2t3t2=28-2t1-4t3(

3)

t3=29-8t1-2t28t1+2t2+t3=29t1+5t2+2t3=32(1)2t1+t2+4t3=28显式化第29页，共48页，2023年，2月20日，星期六作业：P186，题3(要求ε≤0.1℃）P188，题4-9（节点2、9,有内热源）方程应化成最简形式题4-10（按肋端对流边界条件求解)(要求:写出节点离散方程的推导过程,及最后的迭代方程;

且ε≤0.1℃）第30页，共48页，2023年，2月20日，星期六

4-3非稳态导热问题的数值解非稳态导热与稳态导热问题的主要差别：≠0本节主要介绍：非稳态项的离散（三种差分格式）

——向前差分、向后差分与中心差分差分方程的两种格式

——显式差分格式与隐式差分格式显式格式的稳定性问题第31页，共48页，2023年，2月20日，星期六一、非稳态项离散的三种差分格式

——向前差分、向后差分与中心差分△τn,i+1n.,in+1,in-1,in,i-1△xn=1nNi=1iIX△τ：时间步长△x：几何步长以一维非稳态导热问题为例：第32页，共48页，2023年，2月20日，星期六1、向前差分：2、向后差分:3、中心差分:(4-11)(4-12)(4-13)第33页，共48页，2023年，2月20日，星期六(1)显式差分格式——扩散项用i时层的值表示：——内节点差分方程（显式）优点：计算工作量小(不必解联立方程,可直接求解)缺点：对时间步长及空间步长有一定限制(稳定性条件)二.差分方程(4-14a)改写为：(4-14b)第34页，共48页，2023年，2月20日，星期六(2)隐式差分格式——扩散项用i+1时层的值表示：——内节点差分方程（隐式）优点：对步长无限制，所得的解稳定缺点：计算工作量大——

不能根据i时层各节点的温度直接由方程求出(i+1)时层上各内点的温度值tn(i+1)，而必须求解(i+1)时层的一个联立方程。(4-15)第35页，共48页，2023年，2月20日，星期六三、步长△x、△τ对显式格式稳定性的影响

——稳定性限制条件(1)稳定性限制的物理意义

i时刻点n的温度越高，则其相继时刻的温度也较高；反之,i时刻点n的温度越低,则其相继时刻的温度也较低。(2)稳定性限制条件相应节点的显式差分方程中,项前的系数大于等于零例题4-3：大平板对称冷却第36页，共48页，202