等比数列专项练习题(精较版)

等比数列专项练习题(精较版)1、已知等比数列$\\{a_n\\}$的首项为3，公比为4，求$\\{a_n\\}$的第5项。：$\\{a_n\\}=\\{3,12,48,192,\\dots\\}$，第5项为$a_5=3\\times4^4=3\\times256=768$。2、已知等比数列$\\{a_n\\}$满足$a_1+a_2=6$，$a_2+a_3=24$，求$\\{a_n\\}$的公比与首项。解法一：利用等比数列通项公式$a_1+a_1r+a_1r^2+\\cdots=\\dfrac{a_1}{1-r}$将$a_1+a_2=6$，$a_2+a_3=24$代入，得到：$\\begin{cases}\\dfrac{a_1}{1-r}+\\dfrac{a_1r}{1-r}&=6\\\\\\dfrac{a_1r}{1-r}+\\dfrac{a_1r^2}{1-r}&=24\\end{cases}$解方程组，得到$a_1=2$，$r=4$。因此$\\{a_n\\}=\\{2,8,32,128,\\dots\\}$。解法二：利用等比数列的性质因为$a_1+a_2=6$，$a_2+a_3=24$，所以：$\\begin{cases}a_2-a_1=6-a_2\\\\a_3-a_2=24-a_3\\end{cases}$这意味着从$a_1$开始，相邻的两个数的差都相等。因此，$\\{a_n\\}$是一个等差数列，公差为$a_2-a_1=6-a_2$。但是$\\{a_n\\}$还是一个等比数列，公比为$q=\\dfrac{a_2}{a_1}=3$。因此，$a_1=2$，$r=q^{n-1}=4^{n-1}$，得到$\\{a_n\\}=\\{2,8,32,128,\\dots\\}$。3、已知数列$\\{a_n\\}$是一个等比数列，有$a_1=-2$，$a_1a_2=12$，求$\\{a_n\\}$的通项公式。因为$\\{a_n\\}$是等比数列，所以$a_1a_2=(a_1)^2r=12$，解得$r=6$。因此，$\\{a_n\\}=\\{-2,-12,72,\\dots\\}$，通项公式为$a_n=(-2)\\times6^{n-1}$。4、已知数列$\\{a_n\\}$是一个等比数列，有$a_1=2$，$a_2=5$，$a_5=80$，求$\\{a_n\\}$的通项公式。因为$\\{a_n\\}$是等比数列，所以$a_2=a_1r$，$a_5=a_1r^4=80$。解得$r=4$，因此$\\{a_n\\}=\\{2,8,32,128,512,\\dots\\}$，通项公式为$a_n=2\\times4^{n-1}$。5、已知$\\{a_n\\}$是一个等比数列，有$a_5=5a_1$，$a_7=9a_1$，求$a_1$和$a_2$。因为$\\{a_n\\}$是等比数列，所以$a_7=a_1r^6$，$a_5=a_1r^4$。因此$a_1r^4=5a_1$，$a_1r^6=9a_1$，解得$r^2=\\dfrac{9}{5}$，$r=\\pm\\dfrac{3}{\\sqrt{5}}$。因为$a_1$和$a_2$一定是一个正数一个负数，所以$r=-\\dfrac{3}{\\sqrt{5}}$。因此，$a_1r^3=-\\dfrac{27}{5}$，$a_2=a_1r=-\\dfrac{9}{\\sqrt{5}}$。6、已知等比数列$\\{a_n\\}$有$a_3=a_1$，$a_4=6$，求$a_2$和$a_1$。因为$a_3=a_1$，所以$a_4=a_3r=ar^3=6$，因此$r=\\sqrt[3]{\\dfrac{6}{a}}$。又因为$a_4=ar^3=6$，所以$a=\\dfrac{6}{r^3}=2$。因此$\\{a_n\\}=\\{2,2,2,6,\\dots\\}$，$a_1=2$，$a_2=a_1r=\\sqrt[3]{\\dfrac{6}{a}}=3$。7、已知等比数列$\\{a_n\\}$满足$a_1=1$，$a_2=2$，$a_2+a_3=8$，求$\\{a_n\\}$的通项公式。因为$a_2=2=a_1r$，所以$r=2$。因此$a_3=a_2r=4$，$a_2+a_3=6\e8$，说明$r=2$不符合题意。因此，我们尝试$r=-\\dfrac{1}{2}$。则$a_2=-\\dfrac{1}{2}$，$a_3=4$，$a_4=-8$。因此$\\{a_n\\}=\\{1,-\\dfrac{1}{2},4,-8,\\dots\\}$，通项公式为$a_n=(-2)^{n-2}$。8、已知等比数列$\\{a_n\\}$的前五项的和为$363$，$a_1=2$，$a_5=162$，求$\\{a_n\\}$的通项公式。设等比数列的公比为$r$，则有$a_5=a_1r^4=162$。因此$r=3$，$a_1=\\dfrac{1}{3}$，$a_5=162$。又因为$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=363$，所以：$a_1+3a_1+9a_1+27a_1+81a_1=363$解得$a_1=\\dfrac{3}{4}$，因此$