变分法读书报告

变分法读书报告刘悬弓D组1310412161.变分法的起源变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数:它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达:一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。变分法的关键定理是欧拉一拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术,摩尔斯理论,或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。2.变分问题类型固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。1.古典变分问题举例1：最速降线问题（BrachistoroneorcurveofSteepestdescent）问题。这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰•伯努利提出的。设0、P是沿平面上不在同一直线上的两点，在所有连接0、P两点的平面直线中,求出一条曲线，使仅受重力作用且初速为零的质点从A到B沿该曲线运动时所需时间最短。

以O为原点建立平面指标坐标系，设P点的坐标(x,y),曲线方程设为11y=y(x)，0<x<x，且满足端点条件y(0)=0，y(x)=y。111设M(x,y)为曲线y=y(x)上任意一点，由能量守恒定律得1mgy= mv2v=J2gydy、

dtdy、

dt丿Vdxdt丿2 dx=°+尸吊x=0,t=所需时间为1+y'21+y'22gydx2短程线(测地线：Geodesic)问题：光滑曲面f(x,y,z)=O上给定A(x,y,z)和B(x,y,z)两点，求连接这两点的一条最短曲线。000111连接这两点的曲线方程为y=y(x),=z z(x),x<x<x01则其满足长度为1)f(x,y,z=)0L=jxiJ1+y'2(x)+z‘2(x)长度为1)x0

短程线问题即求上式在约束条件(1)下的最小值问题—条件最小值问题。3等周问题：在平面上给定长度为L的所有不相交的光滑封闭曲线中，求出一条能围成最大面积的曲线。设封闭曲线的参数方程为x=x(t),y=y(t), t<t<t(1)01中式x(t),y(t)连续可微，且x(t)二x(t),y(t)二y(t),其长度为0101所围成的面积为L二所围成的面积为L二J.顾+y‘2(t)dtto2)3)等周问题就是在满足等周条件(2)的所有曲线(1)中，求使积分(3)取得最大值的曲线。(2)最简泛函的变分问题求解设函数J[y(x)]=JxiF(x,y,y')dx的极值曲线y二y(x)一端固定，另一端在直线x=x上移动,1则另一端必满足自然边界条件线x=x上移动,1x=x]若极值曲线y=y(x)的端点在已知曲线y=申(x)上移动，则变分6x与5y有11关。若设函数J[y(x)]=JxiF(x,y,y')dx的极值曲线y=y(x)左端固定，另一端在x0已知曲线y=申(x)上移动，则另一端在直线x=x处必满足1[F+©二y'F]I= 0y'x=1x(3)条件极值的变分问题4：试求泛函J=-J2y''2dx的最小值。这里y=y(x)满足端点y(0)=1,20y'(0)=1，y(2)=0，y'(2)=0。解：引入两个变量y，y,令y=y，y=y'于是泛函变为1212J=—J2y''2dx (1)20约束条件为y—y'=0 (2)做辅助函数J」212[y22泛函（3）的欧拉方程组为—(y-J」212[y22泛函（3）的欧拉方程组为—(y-y')D(3)20-D—=dx九-—(y'=

dx24）由式（4）得也=0dx3积分得Y=ax+bX2式中a,b,c是积分常数,，因为Y=Y'=Y'，故21aby=X3+x2+ex+Di2 2于是有1 7 [\o"CurrentDocument"y=—X3+—X2+X+11 2 4<3 7 .y=—X3+—x2+1I12 2最后求得最小值为2 7 13J=J2(3x—2)dx=o2 43应用物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。P.de费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。拉格朗日把变分法用到动力学上。他引进广义坐标q,q,*„q动能T是q=（q,q，…,q）的函数,q表示广义速度。他又假定力有位势V，V是q的函数，又假定T+V是常量，即系统无耗散，令L=T-V，称为作用量，拉格朗日的最小作用原理是说真实的运动使作用量取极小值。通过欧拉方程，拉格朗日建立他的运动方程，据此推出了力学的主要定律，并解决了一些新的问题。这些工作都记载在他在1788年出版的《分析力学》一书中。二.直接法各种变分法的最后求解都可归结为解欧拉方程的边值问题。然而在一些特殊情况之下欧拉方程才能求出精确解，在大多数情况下，欧拉方程的精确解无法求出，因此需要另外的求解方法。1990年8月，第二届国际数学家代表大会在巴黎举