2020-2021中考数学-平行四边形的综合压轴题专题复习及详细答案

2020-2021中考数学一平行四边形的综合压轴题专题复习及详细答案一、平行四边形.在四边形ABC。中，ZB+ZD=180°,对角线AC平分NBAQ.（1）如图1,若ND46=120。，且/B=90。，试探究边A。、与对角线AC的数量关系并说明理由.（2）如图2,若将（1）中的条件"/6=90。〃去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3,若/D43=90。，探究边A。、A5与对角线AC的数量关系并说明理由.图1 图2【答案】（1）AC=AD+A5.证明见解析；（2）成立；（3）AO+AB=五4c.理由见解析.【解析】11试题分析：（1）结论：AC=AD+AB,只要证明AD=:yAC,AB=;yAC即可解决问题；（2）（1）中的结论成立.以C为顶点，AC为一边作NACE=60。，NACE的另一边交AB延长线于点E,只要证明^DACM△BEC即可解决问题；（3）结论：AD+AB=42AC.过点C作CE_LAC交AB的延长线于点E,只要证明4ACE是等腰直角三角形，△DACt△BEC即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB.理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，ND+ZB=180°,ZB=90°,ZD=90°,ZDAB=120°,AC平分NDAB,/.ZDAC=ZBAC=60°,</ZB=90°,

••AB=—AC,同理4。=54c.AC=AD+AB.NACE的另,/ZBAC=60°,△AEC为等边三角形,AC=AE=CE,•「ZD+ZABC=180°,ZDAB=120°,ZDCB=60°,/.ZDCA=ZBCE,---ZD+ZABC=180°,ZABC+ZEBC=180°,/.ZD=ZCBE,•NACE的另,/ZBAC=60°,△AEC为等边三角形,AC=AE=CE,•「ZD+ZABC=180°,ZDAB=120°,ZDCB=60°,/.ZDCA=ZBCE,---ZD+ZABC=180°,ZABC+ZEBC=180°,/.ZD=ZCBE,•/CA=CE,△DAC至△BEC,AD=BE,AC=AD+AB.(3)结论：AD+AB=y/2AC.理由如下：过点C作CE_LAC交AB的延长线于点E,/ZD+ZB=180°,ZDAB=90°,ZACE=90°,/.ZDCA=ZBCE,文:AC平分NDAB,ZCAB=45°,ZE=45°.AC=CE.又「ZD+ZABC=180°,ZD=ZCBE,△CDA^△CBE,「.AD=BE,「.AD+AB=AE.在RtAACE中，NCAB=45°,「.AE="°=、'，，2ACcos45°「•AD+AB=X2AC.2.问题发现：(1)如图①，点P为平行四边形ABCD内一点，请过点P画一条直线/，使其同时平分平行四边形ABCD的面积和周长.问题探究：(2)如图②，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴正半轴上，点B坐标为(8,6).已知点P(6,7)为矩形外一点，请过点P画一条同时平分矩形OABC面积和周长的直线l，说明理由并求出直线l，说明理由并求出直线l被矩形ABCD截得线段的长度.问题解决：(3)如图③，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABCD的边OA、OD分别在x轴、y轴正半轴上，DCIIx轴，AB〃y轴，且OA=OD=8,AB=CD=2，点P(10-5<2,10-5<2)为五边形内一点.请问：是否存在过点P的直线l，分别与边OA与BC交于点E、F，且同时平分五边形OABCD的面积和周长?若存在，请求出点E和点F的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1)作图见解析；(2)y=2x—5,3<5；(3)E(0,0),F(5,5).【解析】试题分析：(1)连接AC、BD交于点O,作直线PO,直线PO将平行四边形ABCD的面积和周长分别相等的两部分.(2)连接AC,BD交于点O'，过O'、P点的直线将矩形ABCD的面积和周长分为分别相等的两部分.(3)存在，直线y=x平分五边形OABCD面积、周长.试题解析：(1)作图如下:(2);P(6,7),O'(4,3),设试题解析：(1)作图如下:(2);P(6,7),O'(4,3),设POr:y=kx+6,6k+b=7 k=2{4k+b=3，{b=-5，y=2x-5,(5-、交X轴于N7，°V2J((11一、交BC于M—,6V2JMN二62+(115¥I22J(3)存在，直线y=x平分五边形OABCD面积、周长.丁P(10-5<2,10-5广)在直线y=X上，连OP交OA、BC于点E、F，设BC:y=kx+b，B(8,2)C(2,8)，8k+b=2 k=-1{2k+=8'{b=10'・•・直线BC:y=-X+10,联立｛y=-x+10y=xE(0,0),F(5,5).3.如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2,分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF,则图中的两个三角形就是互补三角形.（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3,在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI.①已知三个正方形面积分别是17、13、10,在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、匚、'•「：、、旧的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积.②若△ABC的面积为2,求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积.（图$） （图4）【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可.（2）根据互补三角形的定义证明即可.（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可.②平移△CHG到AMF,连接EM,IM,则AM=CH=BI,只要证明S、EFM=3S△ABC即可.试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD,△ABD和^ADC是互补三角形.上(图1)(2)如图2中，延长FA到点H,使得AH=AF,连接EH.EBC（邸）丁四边形ABDE,四边形ACGF是正方形，「.AB=AE,AF=AC,NBAE=NCAF=90°,「.NEAF+NBAC=180°,・•.△AEF和^ABC是两个互补三角形.「NEAH+NHAB=NBAC+NHAB=90°，「.NEAH=NBAC，;AF=AC，「.AH=AB，在4AEH和^ABC中,AE-AB【AH-AC「.△AEH^△ABC,-S△-S△AEF&AEhQABC-(3)①边长为「匚、'.「：、'」『的三角形如图4所示.「「Saabc=3x4-2-1-5-3=5-5，・二s六边形7+13+10+4x5.5=62.②如图3中，平移△CHG至UAMF,连接EM,IM,则AM=CH=BI,设NABC=x,「AMIICH,CH±BC,「.AM±BC,「.NEAM=90°+90°-x=180°-x,丁NDBI=360°-90°-90°-x=180°-x,:・NEAM=NDBI,丁AE=BD,「.△AEM^△DBI,;在4DBI和^ABC中，DB=AB,BI=BC,NDBI+NABC=180°,△DBI和^ABC是互补三角形，SAAEM-SAAEF-SAAFM_2,&EFM=3SAABC=6.考点：1、作图-应用与设计，2、三角形面积4.如图，四边形ABCD中，NBCD=ND=90°,E是边AB的中点.已知AD=1,AB=2.(1)设BC=x,CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当NB=70°时，求NAEC的度数；(3)当&ACE为直角三角形时，求边BC的长.DA【答案】(1)J=\；'—X2+2x+3 (0<X<3)；(2)NAEC=105°；(3)边BC的长为…1+%••万2或 .2【解析】试题分析：(1)过A作AH±BC于H,得到四边形ADCH为矩形.在△BAH中，由勾股定理即可得出结论.(2)取CD中点丁，连接TE,则TE是梯形中位线，得ETIIAD,ET±CD,NAET=NB=70°.又AD=AE=1,得到NAED=NADE=NDET=35°.由ET垂直平分CD，得NCET=NDET=35°,即可得到结论.

(3)分两种情况讨论：①当NAEC=90°时，易知△CBE合△CAE合△CAD，得NBCE=30°,解^ABH即可得到结论.②当NCAE=90°时，易知△CDA…BCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论.试题解析：解：(1)过A作AH±BC于H.由ND=NBCD=90°,得四边形ADCH为矩形.在^BAH中，AB=2,NBHA=90°,AH=y,HB=|x一1|,「.22=y2+|x一1|2,则y=-、：：—x2+2x+3 (0<x<3)(2)取CD中点丁，联结TE,则TE是梯形中位线，得ETIIAD,ETLCD,「.NAET=NB=70°.又AD=AE=1,「.NAED=NADE=NDET=35°.由ET垂直平分CD，得NCET=NDET=35°,「.NAEC=70°+35°=105°.（3）分两种情况讨论：①当NAEC=90°时，易知△CBE合△CAE合△CAD，得NBCE=30°,则在△ABH中，NB=60°,NAHB=90°,AB=2,得BH=1,于是BC=2.②当NCAE=90°时，易知△CDA-△BCA,又AC=BBC2—AB2=xx2—4,ADCA贝U =——ACCBADCA贝U =——ACCB(舍负)n. = nx= (舍负)xx2—4 x 2, , ,1+717易知NACE<90°,所以边BC的长为上士2综上所述：边BC的长为2或小卫.点睛：本题是四边形综合题.考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质.解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法.5.如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AEIIBC,过点D作DEIAB,DE与AC、AE分别交于点0、点E,连接EC.(1)求证:AD=EC；(2(2)当NBAC=RtN时，求证：四边形ADCE是菱形.【答案】(1)见解析(2)见解析.【解析】【分析】(1)先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形即可;(2)由NBAC=90°,AD是边BC上的中线，得AD=BD=CD，即可证明.【详解】(1)证明：:AEIIBC,DEIIAB,••・四边形ABDE是平行四边形，丁AD是边BC上的中线，又「AEIBC,••・四边形ADCE是平行四边形.⑵证明：・・./BAC=90°,AD是边BC上的中线.「.AD=CD丁四边形ADCE是平行四边形，「•四边形ADCE是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.6.(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点O作直线EFLBD,交AD于点E,交BC于点F,连接BE、DF,且BE平分NABD.①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出NEBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI,连接GD,H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J,连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；⑶把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF,使ADEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】(1)①详见解析；②60°.(2)IH=<3FH；(3)EG2=AG2+CE2.【解析】【分析】(1)①由△DOE咨△BOF,推出EO=OF,VOB=OD,推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB=ED即可.②先证明NABD=2NADB,推出NADB=30°,延长即可解决问题.IH=；3FH.只要证明^IJF是等边三角形即可.(3)结论：EG2=AG2+CE2.如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，先证明^DEG^△DEM，再证明^ECM是直角三角形即可解决问题.【详解】(1)①证明：如图1中，V四边形ABCD是矩形，「.ADIIBC,OB=OD,「.NEDO=NFBO,在^DOE和^BOF中，'/EDO=ZFBOoOD=OB ,/EOD=ZBOF「.△DOEM△BOF,「.EO=OF,VOB=OD,•・四边形EBFD是平行四边形，VEF±BD,OB=OD,「.EB=ED,•・四边形EBFD是菱形.②VBE平分/ABD,「.NABE=NEBD,VEB=ED，「.NEBD=NEDB,「NABD+NADB=90°,:,乙ADB=30°,NABD=60°,「.NABE=NEBO=NOBF=30°,「.NEBF=60°.(2)结论：IH=J3FH.理由：如图2中，延长BE到M，使得EM=EJ,连接MJ.Af丁四边形EBFD是菱形，NB=60°,EB=BF=ED,DEHBF,「.NJDH=NFGH,在4DHJ和4GHF中，叱DHG=/GHF<DH=GH ,/JDH=/FGH」.△DJ△GHF,「.DJ=FG,JH=HF,EJ=BG=EM=BI,「.BE=IM=BF,丁NMEJ=NB=60°,・•.△MEJ是等边三角形，「.MJ=EM=NI,NM=NB=60°在^BIF和^MJI中，|BI=MJ</B=ZM,、BF=IM「.△BIF^△MJI,二IJ=IF,NBFI=NMIJ,丁HJ=HF,AIH±JF,「NBFI+NBIF=120°,ANMIJ+NBIF=120°,ANJIF=60°,A△JIF是等边三角形，在RtAIHF中，:NIHF=90°,NIFH=60°,ANFIH=30°，・，IH=3：3FH.(3)结论：EG2=AG2+CE2.理由：如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，「乙FAD+NDEF=90°,・•.AFED四点共圆，「.NEDF=NDAE=45°,NADC=90°,「.NADF+NEDC=45°,丁NADF=NCDM,「.NCDM+NCDE=45°=NEDG,在^DEM和^DEG中，产=DE</EDG=/EDM,DG=DM△DEGM△DEM,「.GE=EM,丁NDCM=NDAG=NACD=45°,AG=CM,「.NECM=90°「.EC2+CM2=EM2,;EG=EM,AG=CM,「.GE2=AG2+CE2.【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题..图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.(1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上，且NMON=90°；(2)在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余(画出一种即可).

图1 图1 图2【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.【解析】试题分析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N,连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可.试题解析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN，如图1所示；图1（2）等腰直角三角形MON面积是5，因此正方形面积是20，如图2所示；于是根据勾股定理画出图3：A A图2 图m考点：1.作图-应用与设计作图；2.勾股定理..如图，在△ABC中，NACB=90°,NCAB=30°,以线段AB为边向外作等边^ABD,点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.

（1（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6,求平行四边形ADBC的面积.【答案】⑴见解析；⑵S平行四边形adbc=半【解析】【分析】1BE=^AB1BE=^AB,得到NBCE=NEBC=60°.由（1）在RtAABC中，E为AB的中点，则CE=-AB△AE碎△BEC，得NAFE=NBCE=60°.又ND=60°，得NAFE=ND=60度.所以FCIIBD，又因为NBAD=NABC=60°，所以ADIIBC，即FD〃BC，则四边形BCFD是平行四边形.（2）在RSABC中，求出BC，AC即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在^ABC中，NACB=90°，NCAB=30°，「.NABC=60°，在等边△ABD中，NBAD=60°，:.NBAD=NABC=60°，;E为AB的中点，，AE=BE，又＜NAEF=NBEC，11・•.△AEF^△3£^在4ABC中，NACB=90°，E为AB的中点，「.CE=AB，BE=—AB，2 2「.CE=AE，「.NEAC=NECA=30°，」.NBCE=NEBC=60°，又.「△AE碎△BEC，:・NAFE=NBCE=60°，又.「ND=60°，:.NAFE=ND=60°，」.FCIIBD，X■:NBAD=NABC=60°，,ADIIBC，即FDIIBC，・四边形BCFD是平行四边形；⑵解：在R3ABe中，・••/BAC=30°，AB=6, BC=AF=3,AC=3\"，.•・s平行四边形BCFD="3%：3=9回，平行四边形ADBC'△BCFD="3%：3=9回，平行四边形ADBC2 2【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.9.如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，140），直线AB：y=3x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点凡过点E作EF±x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH.（1）求边EF的长；

(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒<10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直①(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒<10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直①当点F1移动到点B时，求t的值；设平移的时间为t秒(t>0).①10；②120；请直接写出此时正方形E1F1G1H1与工APE②当邑，H1两点中有一点移动到直线DE上时重叠部分的面积.【答案】(1)EF=15；(2)【解析】【分析】(1)根据已知点E(30,0)(0,40)4，求出直线DE的直线解析式y=-3x+40,可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；(2)①易求B(0,5),当点F1移动到点B时，t=10<10八;10=10；②F点移动到F'的距离是、/10t,NF1F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE上时，在RtAF'NF中，MH'EM=NG'=15-F'N=15-3t,在RtADMH'中， 一EM451023t=4,S=—x(12+—)x11=--2 4 8PK1当点G运动到直线DE上时，在RtAF'PK中，=-,FK3PK=t-3,F'K=3t-9,在RtAPKG'中PKKG一15—3t+9 3,t=7,S=15x(15-7)=120.【详解】(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点E(30,0),点D(0,40),「30k+b=0k-3,b=404「•y=-§x+40,直线AB与直线DE的交点P(21,12),

由题意知F(30,15),「.EF=15；(2)①易求B(0,5),・•.BF=10v10,「•当点F1移动到点B时，t=10<10+<10=10；②当点H运动到直线DE上时，F点移动到F'的距离是710t,NF1在RtAF'NF中，——;=-,NF3「.FN=t,F'N=3t,丁MH'=FN=t,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在RtADMH'中，MH4EM-3,,t_4-15—3t—3,「.t^4,「.EM=3,MH'=4,01八c45、「1023二S=义(12+ )义11= 2 4 8当点G运动到直线DE上时，F点移动到F'的距离是＜10t,;PF=3,/i0,•.PF'=<10t-3<10,在RtAF'PK中，PK_1FK—3，「.PK=t-3,F'K=3t-9,PK t—3 4在R3PKG中，词=15中=3，二t=7,•・S=15x(15-7)=120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键.10.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF=AE，连接DE,DF,EF.FH平分/EFB交BD于点H.(1)求证：DE1DF；(2)求证：DH=DF：(3)过点H作HM±EF于点M，用等式表示线段AB,HM与EF之间的数量关系，并证明.C【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)EF=2AB—2HM，证明详见解析.【解析】【分析】(1)根据正方形性质，CF=AE得到DE1DF.(2)由△AED也△(?"),得。石=。齐.由/A5C=9。。，平分/A3C,得ZDBF=45。.因为b“平分ZEFB,所以ZEFH=/BFH.由于ZDHF=ZDBF+ZBFH=45。+/BFH,ZDFH=ZDFE+ZEFH=45。+/EFH,所以DH=DF.(3)过点〃作HN_L5C于点N,由正方形性质，得BD="AB?+402=近AB.由FH平分/£用,HM1EF,HN1BC,得HM=HN,因为/HBN=45°,ZHNB=90°,所以 =-^―=&HN=^HM.sin45°df由£/=———-=>/2DF=42DH,得EF=2AB—2HM.cos45【详解】(1)证明：二.四边形是正方形，..AD=CD,ZEAD=/BCD=ZADC=90°.ZEAD=ZFCD=90°.CF=AEo..AAED^ACFD...ZADE=ZCDF...ZEDF=ZEDC+ZCDF=/EDC+/ADE=ZADC=90°.DEIDF.(2)证明：:aaed^acfd,DE=DF.・//ED/=90。，ZDEF=ZDFE=45°.ZABC=90°, 平分ZABC,..ZDBF=45°.vFH平分/EFB,/EFH=/BFH..ZDHF=/DBF+ZBFH=45°+ZBFHfZDFH=/DFE+/EFH=45°+ZEFH,ZDHF=/DFH.DH=DF.(3)EF=2AB-2HM.证明：过点〃作HNL6C于点N,如图，正方形ABCD中，AB=AD,/BAD=90。，「•BD=、、'AB2+AD2=<2AB.FH平分/EFB,HM1EF,HN1BC,HM=HN./HBN=45。,/HNB=90。，「.BH=HN=RHN=<2HMsin45。「•DH=BD-BH=22.AB-<2HM.•EF=DF=<2DF=<2DH,cos45。EF=2AB—2HM.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数11.菱形ABCD中、NBAD=120°,点。为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E,将射线OM绕点。逆时针旋转60°,得到射线OM射线ON与直线CD相交于点F.(1)如图①，点。与点A重合时，点E,F分别在线段BC,CD上，请直接写出CE,CF,CA三条段段之间的数量关系；1(2)如图②，点。在CA的延长线上，且OA=-AC,E,F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE,CF,CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；(3)点。在线段AC上，若AB=6,BO=2^7,当CF=1时，请直接写出BE的长.【答案】(1【答案】(1)CA=CE+CF.(2)CF-CE=4AC.(3)BE的值为3或5或1.各月图【解析】【分析】(1)如图①中，结论：CA=CE+CF.只要证明^AD碎△ACE(SAS)即可解决问题;4(2)结论：CF-CE=3AC.如图②中，如图作OGIIAD交CF于6,则4OGC是等边三角形.只要证明△FOG^△EOC(ASA)即可解决问题;(3)分四种情形画出图形分别求解即可解决问题.【详解】(1)如图①中，结论：CA=CE+CF.理由：:四边形ABCD是菱形，NBAD=120°AB=AD=DC=BC,NBAC=NDAC=60°・•.△ABC,△ACD都是等边三角形，丁NDAC=NEAF=60°,「.NDAF=NCAE,;CA=AD,ND=NACE=60°,「.△AD碎△ACE(SAS),「.DF=CE,「.CE+CF=CF+DF=CD=AC,「.CA=CE+CF.(2)结论：CF-CE=4AC.理由：如图②中，如图作OGIIAD交CF于6,则4OGC是等边三角形.

ArZGOC=ZFOE=60°,ArZGOC=ZFOE=60°,ZFOG=ZEOC,OG=OC,ZOGF=ZACE=120°,△FOG^△EOC(ASA),CE=FG,OC=OG,CA=CD,OA=DG,CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+—AC=yAC,CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+—AC=yAC,(3)作BH_LAC于H.AB=6,AH=CH=3,BH=3/,如图③；中，当点。在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时.:06=277,:06=277,oh=Vob2bh2=i,/.OC=3+1=4,由(1)可知：CO=CE+CF,・-0C=4,CF=1,CE=3,BE=6-3=3.如图③-2中，当点。在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时.由（2）可知：CE-CF=OC,CE=4+1=5,「.BE=1.如图③-3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时.同法可证：OC=CE+CF,;OC=CH-OH=3-1=2,CF=1,「.CE=1,「.BE=6-1=5.如图③-4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时.同法可知：CE-CF=OC,「.CE=2+1=3,「.BE=3,综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.12.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(-6,0)、点C(0,6),若正方形OABC绕点O顺时针旋转，得正方形OA'B'C',记旋转角为a：(1)如图①，当a=45°时，求BC与A'B"的交点D的坐标；(2)如图②，当a=60°时，求点B'的坐标；(3)若P为线段BC'的中点，求AP长的取值范围(直接写出结果即可).图①图②【答案】(1)(6—6<2,6)；(2)(3、回—3,3+3<3)；(3)3<2—3剟AP3v2+3.【解析】【分析】(1)当a=45°时，延长OA,经过点B,在RtABA’D中，NOBC=45°,A/B=6<2—6，可求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；(2)过点C'作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B'作MN的垂线，垂足为N,证明△OMC"△C’NB’,可得C,N=OM=3<3,BZN=CZM=3,即可得出点B’的坐标；(3)连接OB,AC相交于点K,则K是OB的中点，因为P为线段BC'的中点，所以PK=15OC'=3,即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围.【详解】解：(1)A(-6,0)、C(0,6),O(0,0),•・四边形OABC是边长为6的正方形，当a=45。时，如图①，延长OA经过点B,OB=6<2,OA/=OA=6,NOBC=45°,二A'B=6<2-6,•二BD=(6<2-6)X\/2=12-6<2,・•.CD=6-(12—6<2)=6<2—6,

・•・BC与A'B'的交点D的坐标为(6—6v,2,6)；图①(2)如图②，过点C'作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B'作MN的垂线，垂足为N,「乙OC'B'=90°,」.乙OC'M=90°-乙B'C'N=NC'B'N,丁OC'=B'C',NOMC'=NC'NB'=90°,「.△OMC0△C'NB'(AAS),当a=60°时，「NA'OC'=90°,OC'=6,「.NC'OM=30°,「.C‘N=OM=3y,B'N=C'M=3\••点B"的坐标为、行—3,3+3；3(图②(3)如图③，连接OB,AC相交于点K,则K是OB的中点，丁P为线段BC的中点，1•PK=-OC/=3,2•P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，;AK=3&,AP最大值为3<2+3,AP的最小值为3V2—3,AP长的取值范围为3c-3剟AP3+2+3.图③【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理.（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹.13.在VABC中，乙ABC=90o,BD为AC边上的中线，过点C作CE±BD于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.（D求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=5,CF=<7，求四边形BDFG的周长.CG【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得到/CFA=90o，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，（2）利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG为平行四边形，再利用（1）得结论即可得证，（3）设GF=X，则AF=5—X，利用菱形的性质和勾股定理得到CF、AF和AC之间的关系，解出X即可.【详解】（1）证明：QAG//BD,CF1BD,CF1AG,又QD为AC的中点，DF=1AC,2八 1…又QBD=-AC,•.BD=DF,2)证明：QBD//GF,BD=FG,•・四边形BDFG为平行四边形，又QBD=DF,•・四边形BDFG为菱形，(3)解：设GF=x，则AF=5-x,AC=2x,在RtVAFC中，(2x)2=(<7)2+(5-x)2,16/解得：x1=2,x2=-(舍去)，1 2 3二.GF=2,•••菱形BDFG的周长为8.【点睛】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键.14.如图，在菱形ABCD中，AB=6,NABC=60°,AH±BC于点H.动点E从点B出发，沿线段BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动.过点E作EFLAB,垂足为点F.点E出发后，以EF为边向上作等边三角形EFG,设点E的运动时间为t秒，△EFG和^AHC的重合部分面积为S.CE=(含t的代数式表示).(2)求点G落在线段AC上时t的值.(3)当S>0时，求S与t之间的函数关系式.(4)点P在点E出发的同时从点A出发沿A-H-A以每秒2'」个单位长度的速度作往复运动，当点E停止运动时，点P随之停止运动，直接写出点P在^EFG内部时t的取值范围.3 个【答案】(1)6-2t；(2)t=2；(3)当‘<tW2时，S='t2+「t-3「；当2<t<3时，S=-65/29仃333 12F+丁丁；(4)：：<t<；.【解析】试题分析：(1)由菱形的性质得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；(2)由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出NACB=60°,由等边三角形的性质和三角函数得出NGEF=60°，GE=EF=BE・sin60°=''t，证出NGEC=90°，由三角函数求GE出CE="n'”=t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；3(3)分两种情况：①当:：<仁2时，';△EFG的面积-△NFN的面积，即可得出结果；②当2<t<3时，由①的结果容易得出结论；3(4)由题意得出t=」时，点P与H重合，E与H重合，得出点P在^EFG内部时，t的不等式，解不等式即可.试题解析：(1)根据题意得：BE=2t,丁四边形ABCD是菱形，BC=AB=6,「.CE=BC-BE=6-2t；(2)点G落在线段AC上时，如图1所示：<1丁四边形ABCD是菱形，「.AB=BC,丁NABC=60°,・•.△ABC是等边三角形，「.NACB=60°,「△EFG是等边三角形，「.NGEF=60°,GE=EF=BE・sin60°=厂t,;EF±AB,「.NBEF=90°-60°=30°,「.NGEB=90°,「.NGEC=90°,GE 匕「.CE=I：l:，，i ；=t,;BE+CE=BC,」.2t+t=6,解得：t=2；(3)分两种情况：①当：'<K2时，如图2所示:圉2尸Q£S=AEFG的面积-△NFN的面积=-x-：x(\'t)2-'x,x(-；+2」)2=；t2+\'t-3、’,2/即S=；t2+\：t-3\1;TOC\o"1-5"\h\z2、用 '4S= t2+、：t-3、：-:(3、：t-6、・：)2,653 29/3九3即S=--:t2+'t-'；、H 3 3(4);AH=AB・sin60°=6x二=3、：，3、匕2、：=’,3+2=」，3「.t=:时，点P与H重合，E与H重合，八H