高考数学命题趋势预测

2011年高考数学命题趋势预测

纵观2010年全国及十几个省份的高考试题，在继承创新和保持整体稳定的前提下，加大了改革创新的力度，形成“立意鲜明，背景新颖，百花齐放、百家争鸣”的特点。既有利于中学课程改革的实施，也有利于高校创新人才的选拔。2011年高考数学考点总体上不会有大的变化，重点还将是函数、三角、不等式、数列、解析几何、立体几何和概率，但在保持总体稳定的基础上，2011年考点将会沿着2009、2010年改革步伐，继续向前推进，以达到推进高中课改的要求，以有利于对学生创新能力和后继学习数学能力的提高。下面将以近年来高考数学出现的新亮点为例，以此预测2011年高考命题新趋势。一、向量知识综合化向量作为新增内容之一，自一开始引入中学数学教材就备受高考命题者的青睐，成为高考的一个亮点。这是因为向量不仅拥有一套优良运算通性的数学体系，而且向量知识、向量观点在数学很多分支都有着广泛的应用，平面向量具有几何形式与代数形式的双重身份，能融数形一体，从而使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为数学多项内容的媒介。向量在2011年的高考中将向综合化发展，向量与三角、数列、函数和解析几何等章节在高考中将综合命题，而向量与解析几何综合交汇命题在2011年高考中应值得注意。分析本小题主要考查双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想方法和综合解决问题的能力。点评本题构思新颖，容易读懂，但处理起来有一定的难度，对考生的能力提出了较高的要求，它反映出平面向量已经从高考的背后走向前台，已由单一的形式给出条件向综合的形式发展。可以看出以解析几何知识为载体，以向量为工具，以考查轨迹方程曲线性质和向量有关公式及其应用为目标，是2010年高考卷在向量与解析几何交汇点上设置试题的显著特点，向量将在2011年的高考中向综合化的形式发展。二、导数知识工具化由于导数的广泛应用，为我们解决有关函数问题提供了一般性的方法。中学数学引入导数的内容使数学内容增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域，导数知识为我们研究函数问题提供了一种很好的工具，利用导数知识可以很好地研究和解决不等式、数列和函数问题。在2009、2010年的高考试卷中有些不等式证明和数列题目可用导数知识来解决，把不等式证明变成函数求其值域，而数列问题变成函数问题研究其单调性。可以预测在2011年的高考试题中导数的工具性将会越来越明显，这也为后继学习作准备，但其实质不会改变，其实质是利用导数知识来求函数的单调性，再利用函数单调性求解。点评本小题考查了函数的导数，函数的极值的判定，闭区间上二次函数的最值。等差数列基础知识的综合应用，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力，利用导数方法来求函数的单调性，再利用不等式和单调性的知识来求解，它充分体现了导数处理问题的工具性。通过将新课程内容和传统内容相结合，可以加强能力考查的力度，加强试题的综合性，同时可以使试题具有比较广泛的实际意义，它体现了导数作为工具分析和解决一些函数性问题的方法，这类问题使用传统教材的方法无法解决。同时，新课程增加的新内容的考查形式和要求已经发生变化，导数已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。三、立体几何知识探索化随着新一轮课程改革的不断向前推进，高考数学命题已从理论和实践上发生了深刻的变化。其中立体几何已成为数学学科高考改革与创新的一块肥沃的“土壤”和“试验田”。新考纲对考生的空间想象能力的考查提出了“能够想象几何图形的运动和变化情况”的更高要求。因此立体几何中除了固定的线段、线面、面面关系外，还渗透了一些“动态”的点、线和面，给“静态”的立体几何赋予了新的活力、新的亮点，为立体几何向探索性发展创造了条件。例3（辽宁卷）已知正方形ABCD。E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如右上图所示，记二面角A-DE-C的大小为θ（0＜θ＜π）。（Ⅰ）证明BF∥平面ADE；（Ⅱ）若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角θ的余弦值。解析(Ⅰ)证明：E、F分别为正方形ABCD的边AB、CD的中点，所以EB∥FD，且EB=FD，所以四边形EBFD为平行四边形。所以BF∥ED。因为ED平面AED，而BF平面AED，所以BF∥平面ADE。（Ⅱ）解点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上。过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G，连接GC、GD。因为△ACD为正三角形，所以AC=AD，所以CG=GD。因为G在CD的垂直平分线上，所以点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过G作GH垂直ED于H，连接AH，则AH⊥DE，所以∠AHG为二面角A-DE-C的平面角。即∠AHG=θ。设原正方形的边长为2a，连接AF。点评本小题考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力。本题通过开放条件、结论，让学生的思维在创造的气氛中得到锻炼与发展，并让学生在开放探索中发散思维，从而使学生的主体意识得到唤起，创新精神得以呈现。以立体几何为载体的探索性问题将成为2011年高考命题的热点之一，值得大家重视的是对一些探索性问题常用向量法去思考，这样思路清晰，目标明确，从而大大降低求解难度。四、概率与统计模型生活化概率与统计是高中新增加的内容之一，在高考中概率是必考的内容，且常以一道大题的形式出现，概率知识时常作为应用题来考查，题目的材料越来越接近生活。例4（北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案。方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过。假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a、b、c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响。求：（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小。（说明理由）解析设三门考试课程考试通过的事件分别为A、B、C，相应的概率为a、b、c点评本小题考查概率的基本知识及应用概率知识解决实际问题的能力。用概率知识解决生活中的实际问题，应该是2011年命题的趋势，对于这类问题在乎时复习中要做到真正理解各种概率、期望和方差的实际意义，在具体题目中能够熟练和建立其数学模型，计算出概率、期望或方差之值，再回到题目中解决其实际问题。除了以上之外，2010年高考中崭露头角的，也必将是2011年命题的热点内容的还有：1.数列、函数知识高等化数列、函数知识是历年高考的重点，也是其难点。近两年高考中高等数学思想时常在高考的数列、函数中出现，如天津卷的第20题、上海卷第21小题等，主要考查等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，同时考查分类讨论的思想方法，而函数表现在对区间的划分，导数研究其性质，同时要注意高等数学思想也常在不等式中出现。这样既考查了学生的创新意识，又考查了学生的后继学习数学的能力。2.研究性学习内容具体化研究性学习是当前课程改革的一个重要方面，为了进一步推进研究性学习在中学数学过程中的开展，研究性学习内容在2010年的高考试题中有所体现。如上海卷第22小题等。在2011年高考中对于研究性学习内容大家首先要关注课本的五个研究性学习内容，同时要用研究性学习思想方法处理高考中的一些题目。3.线性规划的应用化2010年高考卷中的线性规划应用性问题是一个新的亮点，如浙江卷的