现代控制理论

第一章控制系统的状态空间描述4、根据系统传递函数的方块图建立状态空间表达式步骤：

1）将系统的各个环节变换成相应的模拟结构图；

2）将积分器的输出选为系统的状态变量，由模拟结构图写出系统的状态方程和输出方程。1/s

典型环节转换成结构图例1（见书）图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量）：则有：写成矩阵形式：前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式,下面将介绍其逆问题,即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵。已知MIMO线性定常系统的状态空间表达式为其中x为n维状态向量;u为r维输入向量;y为m维输出向量。1.4从状态空间表达式求系统传递函数（阵）对上式取拉氏变换,有其中X(s)、U(s)和Y(s)分别为x(t)、u(t)和y(t)的拉氏变换;x(0)为x(t)的在初始时刻t=0的值。由于传递函数阵描述的是系统输入输出间动态传递关系,不考虑系统初始条件的影响。因此令x(0)=0,于是由状态方程的拉氏变换式有X(s)=(sI-A)-1BU(s)将上述X(s)代入输出方程,有

Y(s)=[C(sI-A)-1B+D]U(s)

线性定常连续系统的传递函数阵为

G(s)=C(sI-A)-1B+D

若对于输入与输出间无直接关联项(即D=0)的系统,则有

G(s)=C(sI-A)-1B对r维输入、m维输出的MIMO系统,若其输入输出的拉氏变换分别为U(s)和Y(s),则系统的输入输出间的动态关系可表示为Y(s)=G(s)U(s)其中G(s)称为传递函数阵,其每个元素为标量传递函数。G(s)的形式为其中Gij(s)描述了第i个输出与第j个输入之间的动态传递关系。

SISO系统，用传递函数G(s)描述，G(s)是一个元素；MIMO系统，多个输入对多个输出，故引入传递函数矩阵G(s)，G(s)是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；同一系统，不同的状态空间表达式对应的传递函数阵应是相同的。即描述系统输入与输出间动态传递关系的传递函数阵对状态变换具有不变性。[例]求由所表述系统的W(s)[解]：由传递函数矩阵公式得：根据矩阵求逆公式：求得：求得传递函数阵为：1.5组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵已知两独立子系统的状态空间描述和传递函数如下研究系统三种连接下的数学模型1）串联2）并联3）反馈1)并联连接并联连接组合系统结构图设两个子系统的传递函数阵为其对应的状态空间表达式分别为从图可知u1=u2=u

y1+y2=y故可导出并联联结组合系统的状态空间模型为因此,由上述状态空间表达式可知,并联组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。由组合系统的状态空间表达式可求得组合系统的传递函数阵为并联组合系统的传递函数阵为各并联子系统的传递函数阵之和。2)串联连接串联联接组合系统方块结构图设图所示的串联联结的组合系统的两个子系统的传递函数阵分别和并联连结的结构相同,其对应的状态空间表达式也分别相同。从图可知

u1=u

u2=y1y2=y因此可导出串联组合系统的状态空间方程为相应的输出方程为串联连接组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。由串联组合系统的状态空间模型可求得组合系统的传递函数阵为串联联结组合系统的传递函数阵为串联系统各子系统的传递函数阵的顺序乘积。应当注意,由于矩阵不满足乘法交换律,故在上式中G1(s)和G2(s)的位置不能颠倒,它们的顺序与它们在系统中的串联联结顺序一致。3)反馈连接反馈连接组合系统结构图设对应于图所示的反馈联结组合系统的两个子系统的传递函数阵为其对应的状态空间模型分别为从图可知u1=u-y2

u2=y1=y因此可导出反馈组合系统的状态空间模型为即有反馈联结组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。Y(s)=G0(s)U1(s)=G0(s)[U(s)-Y2(s)]=G0(s)[U(s)-F(s)Y(s)]

[I+G0(s)F(s)]Y(s)=G0(s)U(s)

Y(s)=[I+G0(s)F(s)]-1G0(s)U(s)反馈联结组合系统的传递函数为G(s)=[I+G0(s)F(s)]-1G0(s)

或G(s)=G0(s)[I+F(s)G0(s)]-1由反馈联结组合系统的联结图可知状态空间模型不具有唯一性.原因:状态变量的不同选择两个问题:各种不同选择的状态变量之间,以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何?如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式的状态空间模型,以降低系统的分析问题和设计问题的难度。1.6状态向量的线性变换和状态空间表达式的特征标准型1.系统状态的线性变换对于一个n阶动态系统,可通过选择适当的n个状态变量以建立状态空间模型来描述它。n个状态变量的选择却不是唯一的。这一点可利用线性代数中的基底不唯一来理解。一个n维线性独立的状态变量向量,在n维状态空间中构成一个坐标系,即相当于空间中的一个基底。根据线性代数知识,在这个空间中还存在另外的坐标系,且与原坐标系存在一个线性变换关系。1.6.1状态空间的线性变换上述状态变量向量x与

间的变换,称为状态的线性变换。由线性代数知识可知,它们之间必有如下变换关系设描述同一个线性状态空间的两个n维的状态变量向量分别为其中P为nn维的非奇异变换矩阵。值得指出的是:变换矩阵P只有为非奇异的,才能使x和

间的变换关系是等价的、唯一的和可逆的。两种表达式之间存在什么关系?2.状态空间模型的线性变换设在状态变量x和

下,系统状态空间模型分别为将变换关系x=P

代入(A,B,C,D)的状态方程中有由于变换矩阵P非奇异,因此有则有系统的初始条件也必须作相应的变换,即将上式与状态空间模型

比较,则线性系统(A,B,C,D)在线性变换矩阵P下的各矩阵具有如下对应关系其中t0为系统运动的初始时刻。1.6.2系统特征值的不变性与系统的不变量由前面的讨论可知,当选择不同的状态变量,则获得不同的状态空间模型描述。实际上,状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下对系统的一种描述,它随状态变量选择的不同而不同,并不具有唯一性和不变性。那么,到底系统在状态空间中有哪些描述,哪些性质是不变的,是不随状态变量的选取不同而变化的?线性定常系统的特征结构由特征值和特征向量所表征。系统的特征结构对系统运动的特性和行为具有重要的影响,决定了系统的基本特性。1.

系统的特征值和特征向量状态空间的线性变换,只是改变了描述系统的角度(或说坐标系),系统的本质特征应保持不变。对于线性定常系统来说,系统的特征值(极点)决定了系统的基本特性。特征值应是系统不变的本质特征之一。系统经状态线性变换后,其本质特征之一的特征值应保持不变,亦即状态线性变换不改变系统的基本特性。下面先讨论矩阵特征值和特征向量的定义。定义1

设v是n维非零向量,A是nn矩阵。若方程组Av=v成立,则称为矩阵A的特征值,非零向量v为所对应的矩阵A的特征向量。将上述特征值的定义式写为(I-A)v=0其中I为n×n的单位矩阵。因此,由代数方程论可知,上式有非零特征向量v的解的充要条件为|I-A|=0并称上式为矩阵A的特征方程,而|I-A|为A的特征多项式。将|I-A|展开，可得|I-A|=n+a1n-1+…+an-1+an=0其中ai(i=1,2,…,n)称为特征多项式的系数。因此,nn维的矩阵A的特征多项式为n阶多项式。若矩阵A为实矩阵,则对应的特征方程为一实系数代数方程,共有n个根。这n个根或为实数,或为成对出现的共轭复数。求解矩阵特征值的方法即为求解矩阵A的特征方程。n阶的特征方程的n个根1,2,…,n即为矩阵A的n个特征值。在得到特征值i后,由定义可求得矩阵对应于i的特征向量vi。矩阵特征值的概念可推广至线性定常系统(A,B,C,D)。定义2对于线性定常系统(A,B,C,D),系统的特征值即为系统矩阵A的特征值。关于系统特征值,几点注记:A.

一个n维线性定常系统必然有n个特征值与之对应。B.

对于物理上可实现的系统,其系统矩阵必为实矩阵。因此,线性定常系统的特征多项式必为实系数多项式,即系统的特征值或为实数,或为成对出现的共轭复数。2.系统特征值的不变性系统的特征值表征了系统本质的特征。而线性变换只是相当于对系统从另外一个角度来描述而已,并未改变系统的本质。刻划了系统本质特征的系统特征值应不随线性变换而改变,即有如下结论:线性定常系统特征值对线性变换具有不变性。对于这个结论,亦可证明如下:设系统原状态空间模型中的系统矩阵为A,经线性变换后,系统矩阵为可见,系统经线性变换后,其特征值不变。矩阵

的特征多项式为即证明了A的特征多项式等于的

特征多项式。|I-A|=n+a1n-1+…+an-1+an=03.特征向量的计算如何求解特征值i对应的特征向量?求解特征向量,即求如下齐次矩阵代数方程的非零解(iI-A)vi=0由于i为A的特征值,故iI-A不可逆。因此,由代数方程理论可知,该方程组的解并不唯一。由特征向量的定义可知,我们需求解的是线性独立的特征向量。实际上,具体求特征向量时,可假定其特征向量的某个或几个元素的值,然后再求得该特征向量其他元素的值。当特征方程存在重根时,线性独立的特征向量可能不唯一。因此,就产生如下问题:问题:

对应于特征值i究竟有几个独立的特征向量?答案:

矩阵的重特征值i所对应的线性独立的特征向量可能不止一个。它的独立特征向量的数目等价于系统的维数与线性方程组的线性独立的方程数之差,即为n-rank(iI-A)其中rank为矩阵的秩。因此,r重的特征值可能存在1至r个线性独立的特征向量。由此,导出如下问题:独立的特征向量数到底有什么意义？它与特征值的重数之间有何关系?下面引入代数重数与几何重数两个概念。代数重数。由特征方程求得的特征值i的重数称为特征值i的代数重数。几何重数。特征值i线性独立的特征向量数称为特征值i的几何重数。例

求如下矩阵的特征向量解1.

由特征方程|I-A|=0求得系统的特征值。解该特征方程,可求得系统的特征值为1=1

2=3=2即2为系统的二重特征值,其代数重数为22.

计算1=1的特征向量。按定义有(1I-A)v1=0即解之得特征向量v1的通解为v1=[v11

v112v11]令v11=1,解之得v1=[v11

v12

v13]=[112]3.

计算重特征值2=3=2的特征向量。按定义有(2I-A)v2=0即由于n-rank(2I-A)=2因此,特征值应有2个独立特征向量,故该重特征值的几何重数亦为2。解之得特征向量v2的通解为v2=[v21

v22

v21]令v21=1,v22=0和1,解之得v2=[101]

和v3=[111]即重特征值2有两个线性独立的特征向量。4.广义特征向量某些重特征值的线性独立特征向量数(几何重数)小于其代数重数,从而使得矩阵所有特征值所对应的线性独立特征向量数之和小于矩阵维数。为此,为能进行空间的结构分解和分析,下面引入一组辅助的空间变换基向量--广义特征向量。定义

广义特征向量是重特征值i所对应的某个线性独立的特征向量vj满足如下方程组的向量vj,k:解上述方程组一直到无解为止,就可求得特征值i的特征向量vj所对应的所有广义特征向量vj,k。重特征值i的特征向量vj的广义特征向量vj,1,vj,2,…组成的向量链称为i的特征向量vj对应的特征向量链。广义特征向量并不是矩阵的特征向量,它只是与对应的特征向量组成该矩阵在n维线性空间中的一个不变子空间。矩阵的所有特征向量和广义特征向量线性独立,并且构成n维线性空间的一组基底。下面通过一个例子来简单介绍线性空间的特征子空间分解。例,某5维线性空间,存在一个3重特征值和一个2重特征值。3重特征值有2个独立特征向量,2重特征值有1个独立特征向量。则该线性空间可分解为如下3个独立的不变特征子空间。若该5维线性空间,3重特征值有1个独立特征向量,2重特征值有2个独立特征向量。则该线性空间可分解为如下3个独立的不变特征子空间。例

求如下矩阵的特征向量和广义特征向量解1.

由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=2=3=-1即-1为系统的三重特征值,其代数重数为3。2.

计算对应于三重特征值-1的特征向量。按定义有(1I-A)v1=0即由于n-rank(1I-A)=2

因此,该特征值应有2个独立特征向量,故该重特征值的几何重数亦为2。由于该重特征值的几何重数小于代数重数，因此存在广义特征向量。解之得如下特征向量的通解式v1=[v11

v12-(v11+v12)/2]分别令两组独立的{v11

v12}即可求得三重特征值1的两个线性独立的特征向量。三重特征值-1只有两个线性独立特征向量,其几何重数为2。因此,重特征值-1的两个独立特征向量中有一个一定存在广义特征向量。下面通过求广义特征向量来辅助决定选取合适的v11和v12。3.

计算对应于特征向量的广义特征向量。特征向量v1的广义特征向量v1,2满足

(1I-A)v1,2=-v1即因此,根据方程的可解性,存在广义特征向量的特征向量v1中的v11和v12满足v11=-3v123倍关系此时的广义特征向量的解为v1,2=[r1

r2-(r1+r2-v12)/2]其中r1和r2为任意数。因此存在广义特征向量的特征向量v1为和其对应的广义特征向量可以分别取为v1=[v11

v12-(v11+v12)/2]=[-3v12

v12

v12]=[1-1/3-1/3]v1,2=[r1

r2-(r1+r2-v12)/2]

=[12/3-1]另外一个不存在广义特征向量的三重特征值1的特征向量为v2=[v11

v12-(v11+v12)/2]=[10-1/2]本例共求得3个特征向量和广义特征向量。由于矩阵A的维数为33,因此对应于上述特征向量和广义特征向量,已不存在其他广义特征向量。1.6.3线性系统状态空间表达式的特征规范型以特征值表征的标准型1、对角线规范型对角线规范形是指系统矩阵A为对角线矩阵的一类状态空间模型。对于该类状态空间模型,由于在系统分析和综合时,清晰直观,使问题得以简化该类系统可简化成n个一阶惯性环节的并联故在状态空间分析法中是较重要的一类特殊状态空间模型。任何具有n个线性独立特征向量的状态空间模型一定能经状态变换变换成对角线规范形。结论

已知线性定常系统的状态方程为其中系统矩阵若A的n个特征值1,2,…,n所对应的特征向量线性独立,则必存在变换矩阵P,使其进行状态变换x=P

后为对角线规范形,即系统的状态方程为为对角线矩阵,并且变换矩阵P可取为P=[p1

p2…pn]其中pi为矩阵A对应于特征值i的特征向量。证明若pi为对应与特征值i的独立特征向量,则必有Api=ipi因此有[Ap1

Ap2…Apn]=[1p1

2p2…npn]对上式两边分别有

[Ap1

Ap2…Apn]=A[p1

p2…pn]=AP故AP=Pdiag{12…n}即P-1AP=diag{12…n}即证明了结论。对原状态方程进行线性变换

后,可得[例]：关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性考虑系统为：非奇异变换后1）若选择非奇异变换阵T为：结论：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，非唯一性2）若选择非奇异变换阵T为：对角线矩阵[例]

线性定常系统，其中：将此状态方程化为对角线标准型.当时，2)确定非奇异矩阵P[解]:1)求其特征值:取:当时，取:同理当时，得:3）求对角线标准型为：2、约旦规范形若系统存在重特征值且线性独立特征向量数小于该特征值的重数时,则系统矩阵A不能变换成对角线矩阵。在此种情况下,A可变换成约旦矩阵,系统表达式可变换成约旦规范形。下面将分别讨论约旦块和约旦矩阵约旦规范形及其计算1）约旦块和约旦矩阵矩阵的约旦块的定义为由l个约旦块Ji组成的块对角的矩阵称为约旦矩阵,如J=block-diag{J1

J2…Jl}下述矩阵均为约旦矩阵上述第一个约旦矩阵有两个约旦块,分别为11维的特征值2的约旦块和33维的特征值-1的约旦块;第二个约旦矩阵有三个约旦块,分别为11维的特征值3的约旦块以及11维和22维的特征值-1的两个约旦块。对角线矩阵可视为约旦矩阵的特例,其每个约旦块的维数为11。2)约旦规范形及其计算定义系统矩阵A为约旦矩阵的状态空间模型称为约旦规范形。与对角线规范形一样,约旦规范形也是线性定常系统的状态空间分析中一种重要的状态空间模型。下面讨论一般状态空间模型与约旦规范形之间的线性变换的计算问题。对于任何有重特征值且其线性独立特征向量数小于其维数的矩阵,虽然不能通过相似变换化成对角线矩阵,但可经相似变换化为约旦矩阵。状态空间模型变换与对角线规范形、约旦矩阵规范形的关系?一般状态空间表达式对角线规范形约旦规范形n个独立特征向量代数重数=几何重数代数重数>几何重数n个独立特征向量与广义特征向量特例线性变换若将对角线矩阵视为约旦矩阵的特例的话,则任何矩阵皆可经相似变换化为约旦矩阵。相应地,任何状态空间模型都可经状态变换变换成约旦规范形。对角线矩阵：各状态变量间是完全解耦的。约当型矩阵：各状态变量间最简单的耦合形式，每个变量至多和下一个变量有关联。任何矩阵都可变换成约旦矩阵,但能变换成有几个约旦块的约旦矩阵,则与系统的特征向量有关。对此有如下结论:矩阵所变换成的约旦矩阵的约旦块数等于该矩阵的线性独立特征向量数(即几何重数)。注意：对于每个特征值，其独立特征矢量的个数为具有重特征根，但A独立的特征向量的个数仍然为n个：由线性代数矩阵的对角化可知，此时，仍能变换成对角线标准型。具有重特征根，且A独立的特征向量的个数小于n个：这种情况下，不能变换成对角线标准型。故引入约当标准型。要进行线性变换，需增加广义特征矢量，构成P变换阵结论

已知线性定常系统的状态方程为x’=Ax+Bu若A的共有p(p<n)个互异的特征值,l(pln)个线性独立特征向量pi及相应的广义特征向量pi,j(i=1,2,…,l;j=1,2,…,mi),则必存在变换矩阵P,使其进行状态变换x=P

后为约旦规范形,即系统的状态方程为其中系统矩阵为约旦矩阵,并且变换矩阵P可取为P=[P1P2

…Pl]变换矩阵

P=[P1P2

…Pl]中的Pi为矩阵A对应于线性独立特征向量pi的特征向量链组成的分块矩阵例

试将下列状态空间模型变换为约旦规范形解1.

先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=2=3=2

4=-12.

求特征值所对应的特征向量。求得特征值2由如下两个线性独立特征向量P1,1=[11-11/3]P2,1=[100-1]p2,1的广义特征向量为P2,2=[110-1]特征值-1的特征向量为P3,1=[0001]3.

取A的特征向量和广义特征向量组成变换矩阵P并求逆阵P-1,即有4.

计算各矩阵3）当A阵为友矩阵对线性定常系统，如果其特征值互异，且系数矩阵A是友矩阵，则将系统状态方程化为对角线标准型的非奇异矩阵P是一个范德蒙矩阵，具有如下形式：其特征多项式为|I-A|=n+a1n-1+…+an-1+an即该类矩阵的最后一行与特征多项式的系数一一对应。该类特殊系统矩阵A称为友矩阵。单位矩阵友矩阵的特征向量的特点:当特征值为i时,其对应的特征向量为该结论可由下式证明。即pi为友矩阵的特征值i对应的特征向量。因此,当友矩阵的特征