数学教育案例精选市公开课金奖市赛课一等奖课件

数学教育案例精选程向阳第1页第1页案例1：这个孩子终归错在哪里？题曰：小强有9朵红花，小红有15朵，问小强再有多少朵花才干和小红一样多？生答：6朵，列式是9+6=15（朵）。师判：错。（扣6分，得94分，全班倒数第三）讨论：这个孩子终究错在哪里？分析：第一，不论数学关系还是最终结果都是正确；第二，他算式表示式与我们惯用表示形式不同。过去把这种形式应用题定位为减法应用题，已知条件放在左边，必须用减法计算。第2页第2页（续）第三，这个孩子不但对，并且尚有较好代数思想。由于他很清楚9+（）=15，到中高年级学简易方程时，这十分合理。反思：这样要求是否适当？面对这样事实，我们成人不能不思考是不是我们自己错了。再看一个对照例子（〈纽约时报〉上登载美国一个小学四年级课堂数学题）第3页第3页案例2：共有240人，每人需要一瓶饮料，饮料每箱12瓶，一共要买多少箱？我国这样题目是要求为除法应用题，还要求学生说出“道理”：看240箱里面有多少个12，其算式是240÷12=20（箱）。美国课堂上，学生有6、7中算法，有用除法；用加法“12+12+…”（这在我们看来是一个笨办法，他们却认为也是较好办法）；用减法“240-12-12…”；尚有用乘法；用列表办法；统计办法，等。能够用各种各样办法处理同一道题。第4页第4页案例2：共有240人，每人需要一瓶饮料，饮料每箱12瓶，一共要买多少箱？我们关注是全部人用一样方法解更多题（收敛思维）他们关注则是面对同一个问题情景，勉励不同学生采取不同处理问题策略（发散思维）终究哪种做法更加好，或是二者各有利弊？需要我们对这么问题多加思考！——摘自：刘兼《数学课程设计》高等教育出版社，第5页第5页案例3：如何数一丛花朵数？教师给学生们示范如何数一丛花朵数，然后让学生数书本上画一丛花。接着，问他们数出多少朵，如何数？生1：“10朵。我是把相同颜色花放在一起数，这里有四种颜色。”生2：“是10朵。我是从左到右，又从上到下数。”生3：“10朵。我像是走迷宫那样数。”这是一年级第二周上一课。面对一些刚从幼稚园上来儿童，回答包括着未来思想胚芽——“活生生”创造性思维策略胚芽第6页第6页讨论：生1不满足于老师示范按原有地理位置做法，而转了一个角度，把花重新抽象地分类。分类思维在数学上是主要。在直角坐标系上，按照函数自变量地理位置去分割求和去极限时，就是黎曼积分；而当我们转向分类思维，把函数值进行分割时，就得到另一个积分——勒贝格积分第7页第7页讨论：（续）生2直觉地感到仅仅由左到右地数，不能拟定花位置，因而他用了两个规则：由左到右，又由上到下。这正是描述平面上点位置需要有两个独立坐标意识萌芽。安知当年笛卡儿创造直角坐标系时，是不是经历了这样思考？！生3回答虽不那么有数学特点，但是很富有想象力，很有语文特点。第8页第8页案例4：鸡兔同笼问题解决议略笼子里有若干只鸡和兔，共有头3个，腿8条，问共有几只鸡，几只兔？处理这个问题普通能够用解二元一次方程组办法。用算术办法，过去长要求学生想象“假如笼里都是鸡”或“假设兔子提起两条腿”等问题，看起来有些“莫名其妙”，题目有些偏，许多人提议小学不应要求。能够换个角度，将重点不要放在详细解上，而是放在处理问题策略学习上。第9页第9页角度比距离更主要学生完全能够通过列表，利用猜想和检查等策略来处理它培养学生数感和预计能力，使学生经历建立假设、检查假设、判断假设过程头/个鸡/只兔/只腿/条303123121032183306第10页第10页案例5:小课题(Project)长作业在一个游戏中，参与者被要求向一个类似国际象棋棋盘方格盘中掷硬币。假如硬币接触到某一方格边界，游戏者就输了；如硬币滚出棋盘，游戏重新开始；假如硬币完全落在某个方格内部，则游戏者获胜。问:获胜几率有多大？（郑毓信，等。数学思维与数学办法论。上海教育出版社，，P451-453）第11页第11页问题特点与解这是一个真实意义问题(学生熟悉);处理着个问题需要综合应用数学知识方法，包含概率、几何、解析几何，等;有各种不同解法,包含试验和计算机模拟;还可引出很多有趣问题和有益方法.特殊化方法，即设硬币半径为r=3，方格边长s=10情况，(10-2x3)2/102=4/25第12页第12页如图所表示硬币半径为r，方格边长为sr=3赢输赢区输区获胜几率=（s-2r)2/s2赢区第13页第13页引申问题：若使得游戏是“公平”（即输赢几率都是1/2），问所用硬币半径应是多少？（可解方程（s-2r)2/s2=1/2，s=10，则r=1.46）假设方格盘上格子交替涂成红色和白色，而只有落入红色格子内才算胜，求获胜几率？若棋盘是正六边形？若硬币半径为10呢？正方形边长与钱币半径之间有如何关系？第14页第14页小课题研究成为一个主要趋势首先要有好问题（探究余地,思考空间）小课题学习是一个研究性学习(办法过程）学生自主学习，教师起引导作用（经历）对小课题评价主要不是看结果，而是注重过程（体验与感受）小课题内容要结合身边事物（情景）小课题学习过程是有趣（挑战性）第15页第15页案例6：“映射”力量中国象棋盘上马，从角上出发跳了9999步，问：能回到出发点吗？要是详细地试验这9999步各种跳法，1也不够。巧妙数学办法是：把棋盘上交叉点交替地染成黑色和白色，马走日字，单数步变色，双数步不变色。把点染成黑和白色，即设计了一个从格子点集到两元素{黑，白}映射。第16页第16页案例7：“符号”作用例设有11只茶杯，杯口所有朝上。若将其中4只杯子翻转过来，称为一次运动。问是否可通过有限次运动，使得茶杯杯口所有朝下？分析

最关键事情是“杯口向上”与“杯口向下”两种状态，用数学符号表示就是两种相反状态，自然会想到“+1”和“-1”最为适当。这样，每次运动就是将其中4个数改变符号，即用“-1”分别去乘4个数。原问题由此变成：能否通过有限次运动将11个“+1”所有变成“-1”。第17页第17页解：考虑11个数乘积：由于每次运动相称于将4个数都乘以-1，而(-1)4=+1，故无论通过多少次运动，11个数乘积将保持不变，从而不能把11个+1边为11个-1，也就是不能使11只杯子变为所有口朝下。符号在数学应用中作用，可见一斑。第18页第18页案例8：数学关联《美国数学课程原则》中“关联”原则学前期至级数学教育应当使所有学生都能够：结识到并应用数学观念间互相联系；理解数学观念是如何互相关联和互相依赖而成一个连贯整体；结识到并能应用数学于数学以外情境中。第19页第19页（一）结识到并应用

数学观念间互相联系数学是互相关联观念，应渗入到各年级水平数学学习中保持各种情境中综合学习充足利用数学联系，把从一个情境处理问题取得知识应用到解答另一情境中问题有些数学问题在表明数学中联系时尤其有效第20页第20页例1：利用联系，迁移情境小学：把整数减法知识与小数或分数减法联系起来初中：能结识到并将同一数学概念各种表征(representation)联系起来。如表示改变率比率和直线斜率间关系。高中：应能将代数和几何中观念联系起来第21页第21页例2：表明联系数学问题通过搜集和考察圆形物周长和直径，能够定量地研究圆直径和周长间关系初中学生也许会搜集和用图表示相关周长(C)和直径(d)两个变量数据他们会发觉所有点都很靠近一条过(0,0)直线，这表明C/d比值是个常数这样问题涉及到了测量、数据分析、几何、代数和数方面知识第22页第22页（二）理解数学观念是如何互相关联和互相依赖而成一个连贯整体当学生不停地接受学校数学教育，他们对待表面上不同同一数学结构能力也对应提升。比如：学前儿童至2年级学生会认出数数、数和图形中相同结构例子；小学生能找出算术运算中相同结构例子初中生能发觉有理数、百分比和线性关系间相同结构例子高中生应有充分准备发觉他们碰到许多数学观念间联络第23页第23页例3：计算正棱台体积和梯形面积办法之间联系小面积=ax/2x大面积=b(x+h)/2a梯形面积=小面积-大面积h=bx/2+bh/2-ax/2b依据相同性x/x+h=a/b，即bx=a(x+h)故，梯形面积=a(x+h)/2+bh/2-ax/2=h(a+b)/2第24页第24页（三）结识到并能应用数学于数学以外情境中9~级学生数学关联是如何？案例：Robinson教数学——探究性数学进一步地拓广——学习三角形和圆性质（直角三角形动态表示）最后一个要求：和实际生活或其它数学内容联系——蜡烛试验第25页第25页9~级数学关联是如何？应该逐步培养联络各种数学思想能力，加深了解为何不同解题方法会得到等价结果，尽管那些方法似乎很不同学生能够用从一个情况下得到了解来证实或否认在另一个情况下产生假设，并经过联络各种数学思想，发展自己对问题扎实了解第26页第26页案例7：Robinson教数学——探究性数学Robinson老师“我有一条忠实狗和一个形状为直角三角形院子。我想把狗栓住，皮带要越短越好，但要让狗到达院子任何角落。请想一下，我应当把皮带固定在哪里？”把学生分成3人一组，允许他们使用平时所有工具，包括圆规、直尺、计算器以及带几何软件计算机，要求想出一个办法来处理问题不久学生们进入了问题，并进行画图、讨论和试验第27页第27页学生探究过程我们在找把哪个点放在哪里？我不想把那个点放在太靠近三角形角上。我找到了！我们得让所有长度相等！于是，定出目的，即找到D位置，使得DA、DB和DC等长小组讨论后出结论：D必须是斜边中点尚有些人认为：D就像是一个圆圆心。第28页第28页当学生们渐渐趋向于同一想法时，老师在黑板写下了一个假设：直角三角形斜边中点与三角形三个顶点等距老师要求学生再分成小组讨论证实或给出一个反例老师强调了可能有好几个不同方法能够证实那个假设。第29页第29页学生探究证实建立坐标系想起了勾股定理A、B、C在一圆上得出基于圆内接三角形性质第二个证实第30页第30页学生探究证实（续）作出包括直角三角形三个顶点矩形讨论矩形对角线性质利用几何变换解法对称、相同、反射、全等第31页第31页教师总结表彰了学生们高质量工作和各种解法指出像全等这么一些基本数学思想，一直是此题各种解法中一部分而关于勾股定理议论则突出了此题和其它数学思想联络引导学生反思，他们看到了不同方法——坐标几何、欧氏几何和变换几何，是怎样联络在一起这些“数学工具箱”任何一件都可能成为处理日后某个问题关键第32页第32页进一步地拓广——学习三角形和圆性质此题目能够引导出诸多故意义摸索（1）在已知斜边情况下，考察一下所有他们能找到直角三角形集合（2）固定直角位置，看一下斜边为定长直角三角形集合直角三角形动态表示(a)共用一条斜边直角三角形直角顶点轨迹(b)斜边为定长，共用一个直角三角形斜边中点轨迹第33页第33页最后一个要求：能否和实际生活或其它数学内容联系起来学生在“剪贴壁报”上简介他们所看到联系（交流）绝大部分壁报描述了与原题类似情形，其中由于某种需要而必须找出一个直角三角形三个顶点等距点而有一个小组设计一个蜡烛试验：在大楼里某个漆黑天窗房间里演示在地上铺下一张画着一个直角三角形大白纸，并在各个顶点上放置三根高度同样蜡烛将其点燃，然后再在三角形中放置一个比蜡烛低物体，移动那个物体，让大家观测它三个影子长度大家看到，仅当那物体移动到斜边中点时，三个影长才相等——这是非常有趣现象第34页第34页教与学反思对三角形讨论结束，但远非工作结束教师重述了原题，并要大家考虑如何引申他告诉学生们：“毕竟不是所有后院都有直角或者是三角形形状。”这句话拟定了抽象和推广任务，促使学生去找到更多联系第35页第35页教师角色选题是十分主要，由于学生普通不会学到如何联系，除非他们正在解一些也许提醒他们进行联系题目由于课程设置把几何、代数和概率统计这些领域分割开来，因此教师要尤其积极地寻找这类综合性问题在教室里营造一个勉励学生处理问题摸索数学气氛以一个能够一题多解问题开始，勉励学生探究各种路径。不是简朴地把不正确判为错误，予以放弃，而是帮助学生从他们所说话里找出合理内核。当就所给问题尽了一切所能时候，仍要勉励学生推广所得到结论第36页第36页结语内涵丰富题目一个提倡思考环境以及使用各种数学工具便利条件都是帮助学生发展把数学当作一个联结整体这一能力主要原因第37页第37页案例9:一堂小学3年级算法课活动：让6名学生站在大家面前，教师提问，用什么办法拟定他们之间谁最高？讨论：分组讨论，酝酿处理问题办法交流：学生发表见解。如，站成一排比一比；用尺子量每个人身高。。。激发：教师发表见解，有6,60,600,6000个…?进一步交流：师生，生生互动，寻求处理问题有效算法——淘汰矮者，最后者最高。编程序：编写找出最大数程序，指导上机。第38页第38页案例10：三扇门问题游戏问题：有三扇门,其中有一扇门后有一部汽车,随意挑选一扇门.主持人将未选两扇门中一个无车门打开,此时再给你一次选择机会,问你换不换本来选择？（——美国《检阅》杂志一专栏题目）该问题有各种解法：如，主观直觉臆断；多次模拟试验；计算概率大小；统计分析推断，等第39页第39页（1）主观直觉臆断对这一问题回答进行过广泛调查，包括大、中、小学生，数学教师。大多数人认为，只要主持人打开一扇空门，剩余两扇门有车机会家就是同样，它们都是1/2，因此不必要重新选择，能够维持本来选择判断。第40页第40页（2）多次模拟试验对问题简化了解,主持人在第一次选定前还是之后打开空门意义是不同.假如主持人先打开空门，则剩下两扇门有奖概率各为1/2。不过假如选中一扇门再打开一扇空门，则剩下一扇门有奖概率会增加。模拟试验：如有100扇门，1000扇，10000扇门……情况会怎样呢？第41页第41页（3）直接概率计算设事件A0：第一次选择中奖；A：重新选择中奖；B：坚持原选择中奖，则P(A0)=1/3,P(-A0)=2/3.由全概公式P(A)=P(A0)x0+P(-A0)x1=1/3*0+2/3*1=2/3P(B)=P(A0)x1+P(-A0)x0=1/3*1+2/3*0=1/3故有P(A)>P(B)因此,主持人打开一扇空门后,重选机会大。第42页第42页（4）统计分析推断设1,2,3表示三扇门，v-有车，x-无车。假定做3n次试验，每次都随机地将车放在某一门后，当n充足大时，下面三种情况出现频率基本相同：各约n次123第一个vxx第二种xvx第三种xxv第43页第43页（续）试验各约n次。随机挑选一扇门，比如1号门，假如是第一个情况，主持人任意打开2,3号门之一，你不换可猜中车约n次；假如是第二种情况，主持人必打开3号门，于是你换选可猜中车约n次；假如是第三种情况，主持人必打开2号门，你换选又可猜中车约n次。在所有3n次中不换猜中车概率为1/3，换猜中车概率位2/3，要想有较大机会选中，应换。第44页第44页案例11:为何不能除以0？学过微积分人也许会这样回答：能除以0其结果将是无穷大，但是无穷大数事实上并不存在，因此不能除以0。这种说法把除以0原因与无限靠近0混为一谈，以至答非所问。真正原因是：弄清楚除法定义：满足方程bx=a数（或解）x是a除以b商，记作ab=x。第45页第45页首先用不是0数除以0试试看看10吧：设答案（商）为x，依据除法定义，x得满足0x=1.可是0乘以任何数都等于0，可见不存在满足方程x。就是说10在数学上无意义。那么00呢：依据除法定义，考察方程0x=0。无论x取什么值，方程都成立。方程0x=1没有数学意义，而方程0x=0虽有数学意义，但只执此端不足成理。不然话，00能够等于任何数，整个数学体系岂不全乱套。因此，00无意义。第46页第46页案例12:如何评价？第47页第47页案例13:微软招考员工一道面试题一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗。假定有下列条件：1、狗病不会传染，也不会不治而愈；2、狗主人不能直接看出自己狗是否有病,只能靠看别人狗和推理，来发觉自己狗是否有病；3、一旦主人发觉自己狗是一只病狗，就会在当天开枪打死这条狗；4、狗只能由他主人开枪打死。假如他们在一起，第一天没有枪声、第二天没有枪声……第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死？（不是“脑筋急转弯”！）第48页第48页提升数学素养

数学素养不是与生俱来，是在学习和实践中培养。教师在数学教学中，不但要向学生传授数学知识，更要让学生体会数学知识中蕴涵数学文化，理解“数学方式理性思维”，提升学生数学素养。第49页第49页“数学素养”通俗说法

—把所学数学知识都排除或忘掉后，剩余东西：从数学角度看问题出发点；有条理地理性思维，严密地思考、求证，简练、清楚、准确地表示；在处理问题时、总结工作时，逻辑推理意识和能力；对所从事工作，合理地量化和简化，周到地运筹帷幄。第50页第50页“数学素养”专业说法

摘自数学学科专业发展战略研究汇报

——教育部高等学校“数学与统计学教学指导委员会”积极探寻并善于抓住数学问题背景和本质素养；●纯熟地用准确、简明、规范数学语言表示自己数学思想素养；●含有良好科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新办法素养；

●对各种问题以“数学方式”理性思维，从多角度探寻处理问题办法素养；

●善于对现实世界中现象和过程进行合理简化和量化，建立数学模型素养。第51页第51页案例14:有限与无限问题设“有无限个房间”旅馆(希尔伯特)

1)客满后又来1位客人（“客满”涵义）

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空出了1号房间第52页第52页2)客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人

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空下了奇数号房间

第53页第53页3)客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人

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给出了一万个、又一万个空房间第54页第54页4)[思考]：客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？第55页第55页案例15:变换办法小王先快后慢，以不规则速度用100秒沿直线从A点走到B点，又先慢后快，以完全相反方式，从B点沿直线用100秒返回A点。问什么情况下，在A、B间存在一点C，使小王从A走到C时间等于他从B走到C时间？为何？

A————————————C———B第56页第56页（答：什么情况下都存在C点。）[“先快后慢”“先慢后快”“完全相反方式返回”、“问什么情况下”都是故意迷惑人。只要把小王换成替身大王就能处理问题，让他们分别从A、B同时出发，只要100秒时到达终点，无论中间怎么个快慢，甚至停一小会儿，总有一个相遇点，此点就是C。此题发展下去就是更深刻“不动点定理”。]第57页第57页案例16:为何不是1/2+1/3=2/5？为了变成同一大小，只要分割就OK½+1/33/6+2/6=5/6b/a+d/c=bc/ac+ad/ac=(bc+ad)/ac第58页第58页能够有这种算法1/2+2/3=3/5吗？按照分数运算法则这是结果错,可有些人认为这是个“美好”错误.其合理性在哪?例：甲、乙两次比赛结果分别是1:2;2:3如何描述两次比赛结果呢？显然1/2+2/3=7/6，是不尽合理。而1/2+2/3=（1+2）/（2+3）=3/5比较故意义。第59页第59页案例17:负数x负数为何是正数?理由从分派率中得来由于a个0是0，即a0=0，那么，可以这样表示，取a=-2另一方面，假设0=3-3a0=0(-1)(3-3)=(-2)3+(-2)(-3)a取-2;0取(3-3)由分派率由于这个式子值是0(-2)3+(-2)(-3)=0(-2)(-3)=6=-6移项到右边在直观上，由于负数和正数是相反，因此可以理解为负数乘负数就是相反反面返回本来正数。第60页第60页案例18:概念认同袋中有6个球（5白，1红），问拿出一个是什么球？小学低年级学生说是白；中年级学生说也许是红；高年级学生说拿白也许性大一些。小学低年级对概念只是有认同；高年级有初步概念；初中能够是逻辑；高中能够是形式。第61页第61页案例19:谁教你这样算？例:10公斤麦谷能够打8.5公斤面粉，问10吨麦谷能够出多少面粉？（这是一个很简朴问题）可直接解1吨=1000公斤,10吨=10000公斤即得8500公斤(或8.5吨)面粉。某生解得：10公斤麦谷有1.5公斤谷糠;10吨麦谷有1.5吨麦糠即1500公斤谷糠，又10吨=10000公斤，10000-1500=8500公斤.教师课堂评点：谁教你这样做，绕这样大一个圈子干什么？第62页第62页案例20:一堂小数小数公开课合肥长江路小学年青女教师精彩讲课，学生默契配合浑然一体，学生掌握、练习得都较好，眼看一堂优质公开课诞生了，按惯例在下课前3-4分钟时，向学生问：尚有无问题？有一学生举手，问：“过去学过乘法（正整数）都是积不小于因数，为何今天小数x小数积小于因数？”第63页第63页5老师回答：任何数1/2（几分之一）都比原数小。又有一生问:可不能够直接用小数小数?女教师没有回答，说留到下一节课再说，便急忙下课。课后，女教师大哭一场，认为最后两个学生问题，破坏了整个课堂教学效果。第64页第64页专家点评什么数任何因数=原因数？1任何数=任何数，而任何纯小数1都小于1，因此，任何纯小数任何因数都比原因数小。对于后一个问题，举一实例演算一下即可，结果是同样（ex:0.2