概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题习题与讲解

第六章参数估计习题6.1µX,X,X3是取自某总体容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，在方差存121．设在时指出哪一个估计的有效性最差？µˆ=X+13X+16X1µˆ=X+13X+13X1µˆ=X+16X+32X1（1）；（2）；（3）．236112321233123E(ˆ)=1E(X)+1E(X)+1E(X)=111µ+µ+µ=µ，36µ证：因23621123E(ˆ)=13E(X)+13E(X)+13E(X)=1311µ+µ+µ=µ，33µ2123E(ˆ)=1E(X)+1E(X)+2E(X)=1612µ+µ+µ=µ，63µ3663123µµµˆ,ˆ,ˆµ故都是总体均值的无偏估计；123Var(ˆ)=14Var(X)+19Var(X)+316Var(X)=1µσ2+σ21σ2=11436σ+因2，49361123Var(ˆ)=Var(X)+1Var(X)+1Var(X)=µ11σ2+12+12=1σσσ2，99999932123Var(ˆ)=316Var(X)+316Var(X)+94Var(X)=µ31σ2+12+σ4σ2=1σ2，363692123µµµµˆ有效性最好，ˆ其次，ˆ最差．µµ3Var(ˆ)<Var(ˆ)<Var(ˆ)故，即21321X,X,…,Xn是来自Exp()的样本，已知为1/的无偏估计，试说明1/X是否为的无偏估计．λλXλ2．设12λλX,X,…,Xn相互独立且都服从指数分布Exp()，即都服从伽玛分布Ga(1,)，12解：因∑nY=Xλ服从伽玛分布Ga(n,)，密度函数为由伽玛分布的可加性知ii=1λnp(y)=Γ(n)yn−1eΙ−yλy>0，Yλnλnλn+∞ye−λydy=⎛1⎞⎛n⎞∫+∞n则E⎜⎟=E⎜⎟=n∫Γ(n−1)=nn−1nλ，y⋅Γ(n)ye−λydy=Γ(n)0Γ(n)⋅n1−−n2λn−1⎝⎠X⎝⎠Y01/Xλ故不是的无偏估计．θˆθˆθˆ)>0()不是的无偏估计．，试证2θθ3．设是参数的无偏估计，且有Var(2ˆθˆθˆθˆθˆθθ+>θˆ()2θθE[()]=Var()[E()]=Var()+θ2的无偏估计．E()=证：因，有，故不是2222∑n4．设总体X~N(µ,σ2)，X1,…,Xn是来自该总体的一个样本．试c使c(X−X)2为的无σ确定常数2i+1ii=1偏估计．σ2，解：因E[(Xi+1−Xi)2]=Var(Xi+1−Xi)+[E(Xi+1−Xi)]2=Var(Xi+1)+Var(Xi)+[E(Xi+1)−E(Xi)]2=21⎡∑⎤∑n−1n−1σσEc(X−X)=cE[(X−X)2]=c⋅(n−1)⋅22=2c(n−1)则⎢2，2⎥⎣i+1i⎦i+1ii=1i=1∑⎤2⎥∑n−112(n−1)⎡n−1σc=Ec(X−X)=c(X−X)σ2的无偏估计．，即是2i+1i故当时，⎢2⎣i+1i⎦i=1i=15．设X,X,…,Xn是来自下列总体中抽取的简单样本，12⎧θp(x;)=⎨0,其他.22⎪⎩12(X+X)都是θX证明样本均值及的无偏估计，问何者更有效？(1)(n)⎛⎝11⎞2⎠=−+1~U(0,1)，2θθθYX证：因总体X~U⎜−,+⎟，有2则X=Y+−1X=Y+−1X=Y+−12，即1(X+X)=12(Y+Y)+−12，θθθθ，，222(1)(1)(n)(n)(1)(n)(1)(n)可得E(X)=E(Y)+−12=E(Y)+−=，Var(X)=Var(Y)1=1Var(Y)=1θθθ，2n12n因Y的密度函数与分布函数分别为⎧0,y<0;pY(y)=I0<y<1，F(y)=⎨⎪y,0≤y<1;Y⎪1,y≥1.⎩有Y(1)与Y(n)的密度函数分别为p(y)=n[1−F(y)]n−1p(y)=n(1−y)n−1Ιp(y)=n[F(y)]n−1p(y)=nyn−1Ι，，1YY0<y<1nYY0<y<1且(Y(1),Y(n))的联合密度函数为p(y,y)=n(n−1)[F(y)−F(y)]n−2p(y)p(y)Ιy(1)<y(n)1n(1)(n)Y(n)Y(1)Y(1)Y(n)=n(n−1)(y−y)n−2Ι，0<y(1)<y(n)<1(n)(1)∫y⋅n(1−y)dy=n⋅Γ(2)Γ(n)=1Γ(2+n)n+1∫nn+1E(Y)=1E(Y)=1y⋅nydy=则n1−，−n1，(1)(n)00∫y2⋅n(1−y)n−1dy=n⋅Γ(3)Γ(n)=2Γ(3+n)(n+1)(n+2)∫nE(Y2)=(1)1E(Y)=1y⋅nydy=，−n1，n+22(n)200∫∫∫∫yyy⋅n⋅(−1)d(y−y)n−1(n)(1)(n)(n)(1)E(YY)=(1)(n)1dyyyy⋅n(n−1)(y−y)n−2dy=1dy(n)(n)(1)(n)(n)(1)(1)(n)0000∫∫⎡⎤==1dy−nyy(y−y)n−1y+yn(y−y)n−1⋅ydy(n)(n)⎢⎣⎥⎦(n)(1)(n)(n)(1)(n)(1)(n)(1)000∫∫1n+21⎡⎤=⎥⎦1dy−y⋅(y−y)ny1yn+1dy=y=n+21，(n)⎢⎣n+2(n)(n)(n)(1)(n)(n)(n)00002⎛1⎞2nn⎛n⎞2nVar(Y)=(n+1)(n+2)−⎝⎜n+1⎠⎟=(n+1)2(n+2)Var(Y)=n+2−⎜⎝n+1⎠⎟=(n+1)2(n+2)，即，(1)(n)211n1Cov(Y,Y)=n+2−n+1⋅n+1=(n+1)2(n+2)且(1)(n)⎡1⎣2⎤1⎦21θθE(X+X)=[E(Y)+E(Y)]+−=可得，⎢⎥2(1)(n)(1)(n)⎡1⎣2⎤1⎥⎦42n+21Var(X+X)=[Var(Y)+Var(Y)+2Cov(Y,Y)]=4(n+1)2(n+2)=2(n+1)(n+2)，⎢(1)(n)(1)(n)(1)(n)⎡1⎣2⎤⎥θθ，因E(X)=，E(X+X)=⎢⎦(n)(1)12(X+X)都是θX故及的无偏估计；(1)(n)1⎡1⎣2⎤⎥⎦2(n+1)(n+2)1因当n>1时，Var(X)=12n>Var(X+X)=，⎢(1)(n)12(X+X)比样本均值更有效．X故(1)(n)4θθ6．设X1,X2,X3服从均匀分布U(0,)，试证X及4X(1)都是的无偏估计量，哪个更有效？3(3)解：因总体X的密度函数与分布函数分别为⎧0,x<0;p(x)=Ι，F(x)=⎪⎨x,0≤x<θ;1θθ⎪0<x<θθ1,x≥.⎩有X(1)与X(3)的密度函数分别为θθ3p(x)=3[1−F(x)]2p(x)=3(−x)3xθ32Ι，p(x)=3[F(x)]2p(x)=2Ι，0<x<θ0<x<θ13θθ3⎛⎞⎟⎠θθ∫3(−x)2dx=⎜θ2⋅x22−2θ⋅x33+⎟=3x4则E(X)=(1)θx⋅，⎜θ3⎝4400θ=3，4∫θx⋅3x23x4θdy=⋅E(X)=(3)θθ34300θθ3⎛⎞⎟⎠θθ2∫3(−x)2dx=⎜θ2⋅x33−2θ⋅x44+⎟=3x5E(X2)=(1)θx2⋅，⎜θ3⎝51000θ2，∫3x23x5θ=3dy=⋅5E(X2)=(3)θx⋅2θθ53300θθθθ2θ⎛3⎞23θ2⎛⎞3，Var(X)=3−⎜⎟=222即Var(X)=−⎜⎟=，10⎝4⎠805⎝4⎠80(1)(3)θθθ⎞43⎠34(3)⎛4⎝3θ因E(4X)=4⋅4=，E⎜X⎟=⋅=，(1)34θX故4X(1)及都是的无偏估计；3(3)Var(4X)=16⋅3θ2=3θVar⎜X⎟=⋅θθ2Var(4X)>Var⎜X⎟⎛4⎝3⎞163⎠⎛4⎝3⎞，22=，有因，80598015⎠(3)(1)(3)(1)4X4X(1)故比更有效．3(3)µσ7．设从均值为，方差为2>0的总体中，分别抽取容量为n和n的两独立样本，X和X分别是这1212Y=aX+bX都是µ两个样本的均值．试证，对于任意常数a,b（a+b=1），的无偏估计，并确定常12数a,b使Var(Y)达到最小．µµµµ解：因E(Y)=aE(X)+bE(X)=a+b=(a+b)=，12µ故Y是的无偏估计；σσ2⎛⎞n+na2−2a+1⎟σ2，Y=a2Var(X)+b2Var()X=a2⋅2+(1−a)2⋅=⎜⎜Var()因12⎟nnnn12nn12⎝⎠1222⎛+nn⎞+2d2ndnn2Var(Y)=⎜⋅2a−⎟σ2=0a=Var(Y)=σ⋅22>0，令，得1，且⎜12⎟1dannn2n+nda2nn12⎝⎠1212nn1n+nσ2．a=，b=1−a=故当12时，Var(Y)达到最小n+nn+n121212µσµ8．设总体X的均值为，方差为，X,…,Xn是来自该总体的一个样本，T(X,…,Xn)为的任一线性211XVar(X)Var(T)．无偏估计量．证明：与T的相关系数为∑nµT(X,L,X)=aX，i证：因T(X,…,Xn)为的任一线性无偏估计量，设11nii=1∑∑∑na=1，innµµ，即则E(T)=aE(X)=a=iiii=1i=1i=1因X1,…,Xn相互独立，当i≠j时，有Cov(Xi,Xj)=0，⎛1∑∑⎞∑∑σ2∑σ2X,aX⎟=Cov⎜⎛1X,aX⎟=⎞⎠aCov(X,X)=ia=nnnnn则Cov(X,T)=Cov⎝⎜⎜n，⎟⎝nnni=1niii⎠iiiiiii=1i=1i=1i=1σ因Var(X)=1nVar(X)=2=Cov(X,T)，nCov(X,T)Var(X)Var(X)Var(T)Var(X)．=Var(T)Corr(X,T)=Var(X)Var(T)=故与T的相关系数为Xσ9．设有k台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为（i=1,…,k）．用这些仪器独立iθ地对某一物理量各观察一次，分别得到X,…,Xk，设仪器都没有系统误差．问a,…,ak应取何值，11∑ˆkθθ成为的无偏估计，且方差达到最小？=aX方能使iii=14⎛∑⎞∑∑∑⎛⎞kθE()=E⎜ax⎟=aE(x)=a=⎜a⎟，⎜⎟⎝⎠iˆkkkθθi解：因⎜⎟⎝ii⎠iii=1i=1i=1i=1∑∑kˆkθθa=1=ax是的无偏估计，则当时，iiii=1i=1⎛∑⎞∑∑kσ2iθˆkkVar()=Var⎜ax⎟=a2Var(x)=a因2，i⎜⎟⎝ii⎠iii=1i=1i=1∑∑kkσa2ia=1讨论在时，2的条件极值，iii=1i=1∑⎛k⎜∑⎞+⎜a−1⎟，⎟λkσλL(a,L,a,)=a设拉格朗日函数2i2i1k⎝i⎠i=1i=1⎧∂Lσλ=2a+=0,⎪⎪21∂a11⎪LLLLL⎪∂L∂a∂Lk令⎨σλ=2a+=0,2⎪⎪⎪kk∑k=a−1=0,⎪∂λ⎩ii=1σ2−2+L+−2iλ=−a=得，，i=1,…,k，σσσσ−2++L−2k−2ki11σ∑−2ˆkθa==axθ故当，i=1,…,k时，是的无偏估计，且方差达到最小．iσσ−2k−2++iLiii=11θθθθθ=0处不可10．设X,X,…,Xn是来自N(,1)的样本，证明g()=||没有无偏估计（提示：利用g()在12导）．θθ证：反证法：假设T=T(X1,X2,…,Xn)是g()=||的任一无偏估计，∑1nX=X是的iθX=xθ条件下，样本条件分布与参数无关，因一个充分统计量，即在取定ni=1θ=θ=θXE(S)=E[E(T|X)]=E(T)g()||，与参数无关，且S是关于的函数，则S=E(T|X)S=S(X)g()=||的无偏估计，θθ可得是⎛1⎞⎝n⎠θXθN⎜,⎟，因X1,X2,…,Xn是来自N(,1)的样本，由正态分布可加性知服从正态分布E(S)=∫+∞S(x)⋅n−∞e−2n(x−θ)2dx=n⋅e2nθ2∫+∞nx2+nxS(x)⋅e−θdx，2−∞−则2π2π∫+∞−∞nθθ⋅S(x)e−2x2+nθxdx收敛，因E(S)=||，可知对任意的，反常积分5∫S(x)⋅e−nx2+n⋅|θ|⋅|x|dxθ+∞则由参数的任意性以及该反常积分在−∞与+∞两个方向的收敛性知收敛，2−∞⎡⎤∂⎢()⋅e−2nx2+nx⎥=S(x)⋅e−2nx2+nxn2nx2+n⋅(|θ|+1)⋅|x|，θθ−ex2+nθxnx≤e−Sx⋅nx，且|y|≤e⋅因|y|，有2θ∂⎢⎥⎦⎣⎡⎤∫∫∂+∞()⋅e−2nx2+n⋅(||+1)⋅|x|−∞−2nx2+θθ+∞⎢S(x)⋅enx⎥dx一致收敛，Sxdx则由的收敛性知θ∂⎢⎥⎦−∞⎣n⋅e−2nθ2∫+∞S(x)⋅e−2nx2+nθx−∞E(S)=可得θθθdx关于参数可导，与|E(S)=|在处不可导矛盾，=02πθθ故g()=||没有无偏估计．µσσ11．设总体X服从正态分布N(,2)，X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，为了得到标准差的估计量，考虑统计量：∑∑11nnY=1|X−X|X=X，n≥2，i，nnii=1i=1∑∑1nnY=n(n−1)|X−X|，n≥2，j2ii=1j=1σC与C，使得CY与C2Y2都是的无偏估计．1211求常数θ解：设Y~N(0,2)，有+∞θE[|Y|]=∫+∞|y|⋅−∞12πθe−2⋅θ2dy=2∫+∞y⋅212πθe−2θ2dy=−2y2e−22θ，yy2θ2=2ππ00X−X因是独立正态变量1X,X2,…,X的线性组合，niµµE(X−X)=E(X)−E(X)=−=0，且ii1⎛⎝1⎞n−1σ2，−2Cov⎜X,X⎟=n⎠σσ2Var(X−X)=Var(X)+Var(X)−2Cov(X,X)=2+nniiiii⎛n−1⎞2⋅n−1σ=2(n−1)σσ，X−X~N⎜0,⎟⎠E[|X−X|]=，i则2⎝nπnnπi∑2(n−1)2(n−1)11E[|X−X|]=C⋅⋅n⋅ni1n可得σ，nπE(CY)=CE(Y)=C⋅σ=C1nnπ11111i=1nπ2(n−1)C=σE[CY]=，是CY的无偏估计11σ故当时，；111µσ2)，X与X相互独立，都服从正态分布N(,ij当i≠j时，有E(Xi−Xj)=E(Xi)−E(Xj)=−=0，Var(Xi−Xj)=Var(Xi)+Var(Xj)=µµσ2+σ2=2σ2，62⋅2σ=2σ，π−X~N(0,22)，E[|X−X|]=σ则Xijπij−X=0，E[|Xi−Xj|]=0，当i=j时，Xij∑∑1E[|X−X|]=C⋅n(n−1)⋅(n2−n)212σ，πnnE(CY)=CE(Y)=C⋅n(n−1)σ=C2可得π22222ij2i=1j=1πC=σσE[CY]=，CY是的无偏估计．2222故当时，22习题6.21．从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h）：1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080，试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计．µˆ=x=1143.75µˆσ=s*=89.8523．；标准差的矩估计µ解：平均寿命的矩估计θ2．设总体X~U(0,)，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为：0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6，θ试对参数给出矩估计．ˆθθθθ==×2x21.34=2.68．解：因X~U(0,)，有E(X)=θ，即=2E(X)，故的矩估计23．设总体分布列如下，X,…,Xn是样本，试求未知参数的矩估计．1（1）P{X=k}=1，k=0,1,2,…,N−1N，（正整数）是未知参数；N（2）P{X=k}=(k−1)θ2(1−θ)k−2，k=2,3,…，θ0<<1．E(X)=1[0+1+L+(N−1)]=N−1，即N=2E(X)+1ˆN=2X+1；，故的矩估计N解：（1）因N2∑∑⎡∑+∞d2⎤d2+∞+∞θθθθθ2θ(1−)kE(X)=k⋅(k−1)2(1−)=(1−)=（2）因−k22kdθ2⎢⎣k=2⎥⎦dθ2k=2k=2d2⎡−θ⎤(1)2d2⎛1⎞θθθθ⎠22，=θ2=θ2⎜−2+⎟=2⋅=dθ2⎢θ⎥θθ1−(1−)d⎝⎣⎦232θ=则，E(X)2ˆθ=Xθ故的矩估计．4．设总体密度函数如下，X,…,Xn是样本，试求未知参数的矩估计．12θ2θ(−x)，0<x<，θθ>0；p(x;)=θ（1）θθθ（2）p(x;)=(+1)xθ，0<x<1，>0；θθxθ−0<x<1θ>0，，；1p(x;)=（3）1θ−x−µθµµθ，，x>>0．p(x;,)=e（4）θ7⎛⎞θxx2323⎠⎟θ∫θ22ˆ3XEX=x⋅(θ−x)dx=⎜θ⋅−⎟=()θθθ=解：（1）因，即=3E(X)，故的矩估计；⎜θ2⎝θ3200x10θ+1θ+22E(X)−1，，即=1−E(X)∫1θ+2θθθE(X)=x⋅(+1)xθdx=(+1)⋅=（2）因θ+202X−1；=1−Xˆθθ故的矩估计xθ+11θ+1θθ+1⎡⎤E(X)2∫1θθθ=E(X)=x⋅xθ−1dx=⋅=（3）因，即⎢1−E(X)⎦⎥，⎣00⎛X⎞2ˆθθ=⎜⎟⎟故的矩估计；⎜1−X⎝⎠∫+∞µ1θ−x−µdx=∫+∞x⋅(−1)deµ−x−µ−x−µ+∞∫−x−µ+∞eθµ−x−µ+∞dx=µ−θe=µ+θ，E(X)=xe⋅=−xe+（4）因θθθθµµx−µθx−µx−µ+∞θ∫+∞2xe−θdx=2+2E(X)µx−µE(X2)=∫+∞x2⋅e−dx=∫+∞x2⋅(−1)de−θ=−x2e−1θµθ+µµµ=µµθθ2+2+22，则Var(X)=E(X2)−[E(X)]=θ22，即θ=µ=E(X)−Var(X)，，Var(X)θˆµˆ=−θ=S*XS*．故的矩估计，µµ5．设总体为N(,1)，现对该总体观测n次，发现有k次观测值为正，使用频率替换方法求的估计．−µΦµµΦp=P{X>0}=P{X−>−}=1−Φ()=()，即µµ解：因=−1(p)，⎛k⎞ˆ=Φ(pˆ)=Φ⎜⎟．−−11⎝n⎠µµ故的矩估计6．甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a个错字，乙发现b个错字，其中共同发现的错字有c个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计：（1）该书样稿的总错字个数；（2）未被发现的错字数．解：（1）设N为该书样稿总错别字个数，且A、B分别表示甲、乙发现错别字，有A与B相互独立，pˆ=c=pˆpˆ=⋅ababN=c则P(AB)=P(A)P(B)，使用频率替换方法，即N，得，NNABABabˆN=故总错字个数N的矩估计；c（2）设k为未被发现的错字数，因P(AB)=1−P(AUB)=1−P(A)−P(B)+P(AB)，pˆ=k=1−pˆ−pˆ+pˆ=1−−+abc，即使用频率替换方法，即ABk=N−a−b+c，NNNNABABabˆˆk=N−a−b+c=−a−b+c．k的矩估计故未被发现的错字数c7．设总体X服从二项分布b(m,p)，其中m,p为未知参数，X,…,Xn为X的一个样本，求m与p的矩估18计．1−p=Var(X)E(X)E(X)=mp，Var(X)=mp(1−p)，有，．解：因Var(X)E(X)E(X)=m=E(X)−Var(X)X2，p的矩估计pˆ=1−S*2[E(X)]2p=1−则，，pmˆ=故m的矩估计X−S*2X习题6.31．设总体概率函数如下，X,…,Xn是样本，试求未知参数的最大似然估计．1θ（1）p(x;)=θxθ−0<x<1θ>0，，；1θθθ>1（2）p(x;)=cθx−(θ+1)，，已知，．x>cc>0∏nθnθθL()=xΙ=(xxLx)θ−1Ι解：（1）因θ−，0<x1,x2,L,xn<112i0<xi<112ni=1lnL()=n2ln+(−1)ln(xxLx)，θθθ当0<x1,x2,…,xn<1时，12nθ⎡⎤2令dlnL()n12θnnθ，得θ==+ln(xxLx)=0=−，即ln(xxLx)12n⎢ln(xxx)⎥，⎣L⎦dθ2θ12n12n⎡ˆθ=ln(XXLX)⎣⎤n2⎥；θ故的最大似然估计⎢⎦12n∏nθθθcθxΙ=ncnθ(xxLx)−(θ+1)Ι−θ+(1)ix>c12nx1,x2,L,xn>cL()=（2）因，ii=1θθθθ−(+1)ln(xx12…xn)，当x1,x2,…,xn>c时，lnL()=nln+nlncθ令dlnL()n=+nlnc−ln(xxLx)=0nln(xxLx)−nlncθ=，得，dθθ12n12nnˆθ=ln(XXLX)−nlncθ故的最大似然估计．12n2．设总体概率函数如下，X,…,Xn是样本，试求未知参数的最大似然估计．1θθ>0，c>0已知；θθ（1）p(x;)=ccx−(c+1)，x>，1θ−x−µθµµθ>0；（2）p(x;,)=e，，x>θθθθθθ>0．<x<(k+1)，（3）p(x;)=(k)−1，∏nθθθcxΙ=cnnc(xxLx)−(c+1)Ιc(c1)−+x>θx1,x2,L,xn>θi12nL()=解：（1）因，ii=1θθθθ显然越大，越大，θ但只有θx,x,…,xn>时，才有L()>0，nc12L()达到最大，即=min{x1,x2,…,xn}时，θˆ最大似然估计(1)θ=X=min{X,X,L,X}；12n故的9⎛1⎜∑⎞n∏x−µθ1e−=θnxi−nµ⎟⎟nθµθ⎜L(,)=1e−iΙ⎠Ι（2）因i，x1,x2,L,xn>µ⎝=1θxi>µi=1⎛∑⎞1θnµθµ=−nlnθ−⎜lnL(,)−µ⎟当x1,x2,…,xn>时，xn，⎜⎟⎠⎝ii=1θµdθ⎛∑⎞⎛∑⎞µ⎟令dlnL(,)n1θθ2⎝=1⎜nnµθ，解得µx−n⎟=x−，=−+⎜⎜x−n⎟=0⎟⎜ni⎠⎝i⎠i=1i=1⎛∑⎞⎟n1⎜−xi−nµµθ⎜⎝⎟⎠µθµx,x2,…,xn>时，才有L(,)>0，1e且显然越大，i=1越大，但只有θµ即=min{x1,x2,…,xn}时，L(,)才能达到最大，µµθˆµˆXXµ故的最大似然估计ˆ=X=min{,,,}，θ的最大似然估计=X−=−XXLX；(1)(1)12n∏nθθ(k)−1Ιθ=(k)−nΙL()=（3）因，θ<<+θx(k1)θ<<+θx1,x2,L,x(k1)nii=1θθθθθ(k)−n越大，但只有<x1,x2,…,xn<(k+1)时，才有L()>0，显然越小，1k+1即θ=θ()达到最大，max{x,x,L,x}时，L12nX1ˆθ故的最大似然估计为θ==max{,,,X}．XX(n)Lk+1k+112n3．设总体概率函数如下，X,…,Xn是样本，试求未知参数的最大似然估计．11θθ−|x|θ，>0；p(x;)=θe（1）2θθθ−1/2<x<+1/2；（2）p(x;)=1，1θ−θθθθθ<x<p(x;,)=（3），2．11221∑n∏1θ∑12θ11θ−|xi|，有nnθθθL()=e−θ=2nθnei=1lnL()=−nln2−nln−|x|，i解：（1）因|xi|i=1i=1θ∑∑令dlnL()11θθ21=，得nnθ=−n⋅+|x|i|x|，idθni=1i=1∑1ˆnθ故的最大似然估计θ=|X|；ini=1∏nθL()=Ι=Ιθ−1/2<,xx（2）因，<θ+1/2xnθ−1/2<<θ+1/2x,,Li12i=1即−1/2<x≤x(n)<+1/2，可得当−θθxθθ1/2<<x(1)+1/2时，都有L()=1，(1)(n)ˆθ故的最大似然估计是(x−1/2,x(1)+1/2)中任何一个值；θ(n)∏n1θ−θ1θθL(,)=Ι=(θ−θΙ（3）因，θ<<θ)nθ1<x1,x2,L,xn<θ212x1i2i=1212110θθθθθθθθ时，才有1显然越大且越小时，L(,2)越大，但只有1<x1,x,…,xn<L(,2)>0，12122θθθθ即1=min{x1,x2,…,xn}且2=max{x1,x2,…,xn}时，L(,2)达到最大，1θˆ=似然估计1θ=min{X,X,L,X}，X故的最大1(1)12nθˆ=X似然估计2θ=max{X,X,L,X}．的最大2(n)12n4．一地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数．假设这100次观察相互独立，求这地区石子中石灰石的比例p的最大似然估计．该地质学家所得的数据如下：样本中的石子数01234567890167解：总体X为样品的10块石子中属石灰石的石子数，10样品个数23262112310即X服从二项分布B(10,p)，其概率函数为⎛10⎞p(x)=⎜⎟px(1−p)10−x，x=1,2,…,10，⎜⎟x⎝⎠∑∑100100∏⎛10⎞∏⎛10⎞=⎜⎟⋅pxi(1−p)1000−i=1n100x因L(p)=⎜⎟p(1−p)i，⎜⎟xx10−xi⎜⎟ii=1x⎝⎠i⎝⎠i=1i=1i∑⎛10⎞∑⎛∑⎞⎟⎟i⎠100100100即lnL(p)=ln⎜⎟+⎜⎟x⋅lnp1000+⎜−x⋅ln(1−p)，⎜x⎝⎠i⎝i=1ii=1i=1∑1⎛∑⎞⎟1−p⎠∑∑dlnL(p)=x⋅−⎜1000−x⎟⋅1p=，得11X100100100100=0x，即pˆ=i令⎜dpp10001000i⎝iii=1i=1i=1i=1∑100x=0+1×1+6×2+7×3+1×9+0=499，i由于i=11pˆ=×499=0.499．故比例p的最大似然估计10005．在遗传学研究中经常要从截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为⎛m⎞⎜⎟pk(1−p)m−k⎜⎟kP{X=k;p}=⎝⎠,k=1,2,L,m．1−(1−p)m若已知m=2，X1,…,Xn是样本，试求p的最大似然估计．P{X=1}=2p(1−p)=2−2p，P{X=2}=1−(1−p)2p2p=2−p解：当m=2时，X只能取值1或2，且，1−(1−p)22−p⎛2−2p⎞−⎛x−1=(2−2p)2−xpx−1⎟⎜2−p⎟⎜2−p⎟⎠2−p⎠⎝⎞2xpP{X=x;p}=⎜即，x=1,2，⎜⎝∑∑nn(2−2p)p=(2−2p)2n−xpxi−n∏i2xxi−12−p−n因L(p)=ii=1(2−p)ni=1，i=1⎛∑⎞⎛∑⎞nn即lnL(p)=⎜⎜2n−x⎟⋅ln(2−2p)+⎜x−n⎟⋅lnp−nln(2−p)，⎟⎜⎟⎝i⎠⎝i⎠i=1i=111⎛∑⎞−2⎛∑⎞−1⋅−n⋅2−p=0，得2n2dlnL(p)1nn=⎜⎜2n−x⎟⋅+⎜x−n⎟p=2−=2−x令，⎟⎜⎟∑dp2−2pp⎝i⎠⎝i⎠nxi=1i=1ii=12pˆ=2−故p的最大似然估计．X6．已知在文学家萧伯纳的“AnIntelligentWoman’sGuidetoSocialism”一书中，一个句子的单词数X近µσ2)．今从该书中随机地取20个句子，似地服从对数正态分布，即Z=lnX~N(,这些句子中的单词数分别为52,24,15,67,15,22,63,26,16,32,7,33,28,14,7,29,10,6,59,30，E(X)=eµ+σ2求该书中一个句子单词数均值2的最大似然估计．解：因Z=lnX~N(µ,σ2)，∑∑11lnx=201(ln52+ln24++ln30)=3.09，µˆ==nnµ=zz则的最大似然估计Lnni=1iii=1σ2的最大似然估计∑1z−z=1∧σn2=s∗2=z()[(ln52−3.09)2+(ln24−3.09)220++L(ln30−3.09)2]=0.51，2nii=1∧E(X)=eE(X)=e2=e3.09+0.512=28.31．故由最大似然估计的不变性知µ+σ22的最大似然估计zs+*2zθθθ7．总体X~U(,2)，其中>0是未知参数，又X,…,Xn为取自该总体的样本，X为样本均值．1=32Xˆθθ（1）证明是参数的无偏估计和相合估计；θ（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？θ+2θ2(2θ−θ)2=3θVar()==1θ2，θθ()=EX解：（1）因X~U(,2)，有，X2121222232ˆˆθθ=θθθE()=E(X)=E(X)=⋅=X故，即是参数的无偏估计；33323θ2因Var()=94Var(X)=94nVar(X)=⋅41，有limE()=，limVar()0，ˆθˆˆθθθθ=2=9n1227nn→∞n→∞2ˆθ=Xθ故是参数的相合估计；3∏1θ1nθ（2）因L()=Ι=Ι，θ<x1,x2,L,xn<2θθθ<xi<2θni=11θθθ越小，越大，但只有<x1,x2,…,xn<2时，才有L()>0，θnθ显然即θ=1θ2max{x,x,L,x}时，L()达到最大，12n1=2X=1θˆ*为θmax{X,X,L,X}；故的最大似然估计2(n)12n12θx<;⎧0,⎪⎧1,θ<x<2θ;，分布函数为⎨⎩F(x)=⎪x−θθθ,≤x<2;p(x)=θ因X的密度函数为⎨θ⎪⎪0,其他.θx≥2.1,⎩⎧−θn(x)n−1⎪θθ,<x<2;p(x)=n[F(x)]p(x)=则X(n)的密度函数⎨θnn1−n⎪0,其他.⎩θθnθθ∫n(x−)n−1n(x−)n+12n+θ，2n1E(X)=θ2θθ(x−)⋅θE(X−)=dx=⋅=n+1因，有(n)θn+1n+1(n)nθθθθnθθE[(X−)2]=∫2θ(x−)2⋅θn(x−)n−1dx=⋅n(x−)n+22nθθθ2，n+2=n+2且θ(n)nθnn+2⎛n⎞n2θθ2θθVar(X)=Var(X−)=−⎜⎝n+1⎠⎟=(n+1)2(n+2)则2，(n)(n)E(*)=1E(X)=2(n+1)2n+1Var(*)=14Var(X)=θˆn4(n+1)2(n+2)ˆθ2，θθ≠θ，因2(n)(n)1n+12n+1X(n)θˆ*=Xθˆ=θθ才是的无偏估计，故不是参数的无偏估计，应该修偏为2(n)2n+12(n+1)nˆˆθθθ=θθ2=0，limE(*)=lim，limVar(*)=limn→∞因n→∞n→∞n→∞4(n+1)2(n+2)1θˆθ=θ是参数的相合估计．*X(n)故的最大似然估计2θθ8．设X,…,Xn是来自密度函数为p(x;)=e−(x−θ),x>的样本．1ˆ1θθ（1）求的最大似然估计，否是相合估计？是否是无偏估计？它是ˆ2θθ（2）求的矩估计，它是否是相合估计？是否是无偏估计？∑n∏ne−−xi+nθΙx1,x2,L,xn>θθL()=−θ)Ι=ei解：（1）似然函数，(xii=1x>θi=1∑n−+θxnθiθθL()达到最大，θ时，才有L()>0，e但只有x,x,…,xn>显然θ越大，越大，i=112即=min{x1,x2,…,xn}时，θˆθ=X=min{X,X,L,X}；12n故的最大似然估计1(1)因X的密度函数与分布函数分别为⎧⎨⎩>θe−(x−θ),x;⎧−1e−(x−θ),x;F(x)=⎨0,⎩>θθx≤.p(x)=θ0,x≤.则X(1)的密度函数为⎧⎨⎩>θne−n(x−θ),x;p(x)=n[1−F(x)]n−1p(x)=1θx≤.0,−θ服从指数分布Exp(n)，可得X(1)13E(X−)=1Var(X−θ)=1θ因，，nn2(1)(1)E()=E(X)=+1≠−)=n12，(1)ˆ1θˆVar()=Var(X)=Var(X，1θθθθ则n(1)(1)θˆ=Xθ故不是的无偏估计；1(1)⎛⎝1⎞n⎠θlimVar(θ)=lim1=0，n2n→∞ˆ1ˆ1θθlimE()=lim⎜+⎟=因，n→∞n→∞n→∞θˆ=Xθ故是的相合估计；1(1)θθθX−（2）因总体则E(X−)=E(X)−θX的密度函数为θp(x;)=e−(x−)θ,x>θ=1，即=E(X)−1，，有服从指数分布，Exp(1)ˆ2θθ=X−1；故的矩估计θθθ2，因E(X)=+1，Var(X)=Var(X−)=θ2Var()=Var(X)=1nVar(X)=ˆ2ˆθ2θθE()=E(X)−1=E(X)−1=则，，nˆ2θ=X−1是的无偏估计；θ故θlimE()=，limVar()=lim2=0，ˆ2ˆθ2θθ因nn→∞n→∞n→∞ˆ2θ=X−1是的相合估计．θ故θθθ9．设总体X~Exp(1/)，X1,…,Xn是样本，的矩估计和最大似然估计都是和X，它也是的相合估计ˆθ提示：考虑a=aX，找均方误差最小者）．X无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计（θθE(X)=，Var(X)=θ2，且X的密度函数为X~Exp(1/)，有证：因⎧1x⎪e−θ,x>0;p(x)=⎨θ⎪0,x≤0.⎩ˆθ=Xθθ=E(X)，即的矩估计为；故∑n∏1θ1θ1θnxθ−exiΙnθ−iΙ=iL()=e因似然函数，x1,x2,L,xn>0i=1x>0i=1∑1θnθθlnL()=−nln−x，i当x1,x2,…,xn>0时，i=1θ∑∑令dlnL()n1=−+10，得=nnθx=ix=x，idθθθ2ni=1i=1ˆθ=X最大似然估计也为；θ故的θ2，Var(X)=1Var(X)=因E(X)=E(X)=θ，nn14Xθ故是的无偏估计；θ因limE(X)=，limVar(X)=limn2=0，θn→∞n→∞n→∞Xθ故是的相合估计；θ2Var()=a2Var(X)=a2ˆaˆaˆaθθθθ=aXE()=aE(X)=a设，有，，nθθ2则MSE(X)=Var(X)+[E(X)−]2=2+(−)2=θθθ，nnθ⎛⎞MSE()=Var()+[E()−]2=a22+(a−)2=n+a2−2a+1⎟⎟a2ˆaˆaˆaθθθθθθθ⎜⎜2n⎝⎠⎡n+1⎜⎛⎝a−n⎞1⎤⎥=⎛⎝⎜n+1a2−2a+nn1⎞2θθ2，n+1+n+1⎠⎟2=⎢nn+1⎠⎟+n+1⎢⎣⎥⎦θ2θ2nn+1nXˆaˆθaθa==MSE()=MSE(X)=故当时，的均方误差小于的均方误差X．n+1n+1n10．为了估计湖中有多少条鱼，从中捞出1000条，标上记号后放回湖中，然后再捞出150条鱼，发现其中有10条鱼有记号．问湖中有多少条鱼，才能使150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率最大？1000p=N条鱼，有湖中每条鱼带记号的概率为，N解：设湖中有∑150x=10，X服从两点分布b(1,p)，从中抽取容量为150的样本X,X,…,X150，有12i看作总体i=1∑∑nnL(p)=∏n∑⎛∑⎞⎟⎟p(1−p)=pxi(1−p)n−xix⋅ln(1−p)，nn+⎜−，有lnL(p)=x⋅lnpn似然函数−x1x⎜iii=1i=1i⎝i⎠i=1i=1i=1∑1⎛∑⎞−1=0⎟1−p⎠∑dlnL(p)=x⋅+⎜n−x⎟⋅p1nnn=x=xpˆ=X，即p的最大似然估计为，i令，得⎜dppni⎝ii=1i=1i=110001000ˆ似然估计的不变性知N=XN=因，由最大，p1000ˆN==15000故湖中有条鱼时，才能使条鱼中出现条带记号的鱼的概率最大．150101×10150µσµσ11．证明：对正态分布N(,2)，若只有一个观测值，则,的最大似然估计不存在．212πσ(x−µ)2e−2σ2µσL(,)=证：若只有一个观测值，似然函数，21σµµ对于任一固定的，当=x时，L()取得最大值σ，2π11σσ但显然越小，越大，且可任意接近于0，即不存在最大值，σσ2π2πµσ,故似然估计不存在．2的最大习题6.4θθθ充分统计量，则1．设总体概率函数是p(x;)，X1,…,Xn是其样本，T=T(X1,…,Xn)是的对g()的任一15~MSE(g~)≤MSE(gˆ)．这说明，在均方误差准则下，人们只需要考虑gˆ=gE(gˆ|T)，证明：估计，令基于充分估计量的估计．~~~E(g)=E(gˆ)Var(g)≤Var(gˆ)，定理知，g=E(gˆ|T)解：因，由Rao-Blackwell故MSE(g~)=Var(g~)+[E(g~)−g()]2≤Var(gˆ)+[E(gˆ)−g()]2=MSE(gˆ)．θθθθT,T分别是,2的UMVUE，证明：对任意的（非零）常数a,b，aT1+bT2是a1+b2的UMVUE．121θθθθ2．设证：因T,T分别是,的UMVUE，1212θθϕϕϕϕ，且对任意的满足有E(T1)=1，E(T2)=E()=0的都有Cov(T1,)=Cov(T2,)=0，θϕϕϕ则E(aT1+bT2)=aE(T1)+bE(T2)=a1+b2，且Cov(aT1+bT2,)=aCov(T1,)+bCov(T2,)=0，故aT1+bT2是a1+b2的UMVUE．2θθθθθVar(gˆ)<+∞，则Cov(T,gˆ)≥0．T是g()的UMVUE，g是g()的无偏估计，证明，若ˆ3．设θE(gˆ)E(T)=g(θ)=−=E(gˆT)0，gˆT证：因和都是的无偏估计，有，即g()θCov(T,gˆ−T)=0，即T是g()的UMVUE，有Cov(T,gˆ)−Cov(T,T)=0，又因故Cov(T,gˆ)=Cov(T,T)≥0．1∑1∑nn4．设总体X~N(µ,σ==µσ(X−X)2分别为,2)，X1,…,Xn为样本，证明，XX，S22nn−1iii=1i=1的UMVUE．证：因X~N(µ,σµσ2的无偏估计，且样本X1,…,Xn的联合密度函数为2)，有是的无偏估计，XS2是∑n∏ne−2σ1212πσ(xi−µ)22σ21(x−µ)2µσne−p(x,L,x;,2)==i，i=1σ(2π)n1i=1∑n11∫+∞∫(xi−µ)2dxLdx=0，ϕϕϕ=+∞ϕ⋅e−对任意的满足E()=0的(x,…,xn)，有E()L2σ2i=1σ1(2π)n1n−∞−∞ϕµ求偏对E()=0两端关于导数，得∑ϕµ∂∑1n∂E()=0=1∫+∞∫−∞⋅σ1−(xi−µ)2n+∞ϕµ(x−)⋅edxdxσ2L2Li=1σ(2π)n2i1n−∞i=1∑n11∫+∞∫−∞1⋅σ(nx−n)⋅e−(xi−µ)2dxdx+∞ϕµ=σ2L2Li=1σ(2π)n21n−∞=σnE[(X−)]=σn[E(X)−E()]=nµϕϕµϕϕE(X)，σ222ϕϕϕϕE(X)=0，Cov(X,)=E(X)−E(X)⋅E()=0，则∑1nX=Xµ故是的UMVUE；nii=1ϕµE(X)=0对两端再关于求偏导数，得16∑ϕ∑1n∂E(X)=0=1∫+∞L∫+∞x⋅1−∞−(xi−µ)2dxdxnϕµ(x−)⋅eσ22L∂µσσ2i=1(2π)ni1n−∞i=1∑n11σ(2π)n∫+∞L∫+∞x⋅1−(xi−µ)2dxdxϕµ(nx−n)⋅e=σ22Lσ2i=11n−∞−∞=σnE[(X−)X]=σn[E(X2)−E(X)]=2nσ2µϕϕµϕϕE(X2)，2ϕ则E(X2)=0，σϕ对(2π)nE()=0两端关于σ2求偏导数，得∑σ∂σ2ϕ∑nn∂[(2π)nE()]=0=∫+∞∫12σ41−(xi−µ)2dxdxL1n+∞ϕµ⋅(x−)2⋅eL2σ2i=1i−∞−∞i=1∑n1⎛∑⎞21=∫+∞∫−∞−(xi−µ)2dxdxn+∞ϕµµ⋅2σ⎜x2−2nx+n⎟⋅eσ2L⎜2⎟L1i=1⎝i⎠n4−∞i=1σ⎡⎛∑⎞⎤=(2π)nnµµϕE⎜X2−2nX+n⎟⎢⎥⎜2⎟2σ⎣⎝i⎠⎦4i=1σ⎡⎢⎣⎛∑⎞µϕµϕ⎤σ2σ4⎛∑⎞X⎟，2⎟=(2π)n(2π)nnnϕϕE⎜X⎟−2nE(X)+nE()=E⎜⎥⎦⎜2i⎟2⎜2σ⎝⎠⎝i⎠4i=1i=1⎛∑⎞ϕn则E⎜⎜⎝X⎟=0，2i⎟⎠i=1⎡⎛∑⎞2⎟i⎠⎤1∑1⎛n−1⎝⎞∑n⎜X2−nX⎟2，有⎜⎟i⎠1nnϕϕ因S2=(X−X)2=E(S)=E⎜X⎟−nE(X)=0n−1⎢⎣⎥，2⎜2ϕn−1i=1i=1i⎝⎦i=1ϕϕϕ−E(S2)⋅E()=0，则Cov(S2,)=E(S2)∑1n−1n故S2=(X−X)i2是σ2的UMVUE．i=1∂2∂θ2θ5．设总体的概率函数为p(x;)，满足定义6.4.2的条件，若二阶导数p(x;θ)对一切的∈Θ存在，θ⎛∂2⎞证明费希尔信息量I()=−E⎜⎜θlnp(X;)⎟θ．⎟∂θ2⎝⎠证：因∂∂θlnp=⋅θ，∂θ2p∂1∂p∂2∂⎛∂⎞⎛∂⎞∂∂2p∂θ2⎛∂⎞⎠∂2p，lnp=⎜⋅⎟=−1⋅⎜⎟+1⋅1ppθp⎝⎠=−⎜lnp⎟+1⋅22⎜⎟θ∂θ∂θ∂∂θpp⎝p⎝⎠22⎛∂2⎞∂∂⎛∂⎞=−I(θ)+∫+∞1⋅∂2pθp∂2−∞⋅pdx=−I(θ)+∫+∞∂2⎛⎝⎞1ppdx22⎜⎟=−E⎜⎟⎟+E⎜⋅⎟⎟故Elnpθlnp⎠⎜⎜∂θ2θ∂θp∂⎝⎠⎝2⎠2−∞17∂2∂θ2⎝∫⎛+∞p(x)dx⎟⎠⎞=−I()．θ=−I()+θ⎜−∞θθθ6．设总体密度函数为p(x;)=xθ−1,0<x<1,>0，X1,…,Xn是样本．（1）求g()=1/的最大似然估计；θθθ（2）求g()的有效估计．∏nθθθ=n(xxLx)θ−1Ι0<xi<112n0<x1,x2,L,xn<1L()=xΙ解：（1）似然函数θ−i，1i=1θθθ−1)ln(xx当0<x1,x2,…,xn<1时，lnL()=nln+(…xn)，12θ令dlnL()nnnnˆθ=−θ=+ln(xxLx)=0=−=−，得，即，dθθ∑∑ln(xxLx)12nnnlnxlnX12niii=1i=1∑θˆ=−1nθθˆ=故g()=1/的最大似然估计为g1/lnX；nii=1（2）因E(lnX)=∫1lnx⋅xdx=∫1lnx⋅d(xθ)=xθlnx∫1xθ⋅1xdx=0−x1θ1θθ1−10=−θ−1θ，0000E(lnX)2=∫1(lnx)2⋅xdx=∫1(lnx)2d(xθ)=xθ(lnx)2∫1xθ⋅2lnxdx=−2E(lnX)=θ2−x2θ10θ−1，θ0002⎛1⎞1θ22则Var(lnX)=E(lnX)2−[E(lnX)]2=−⎜−⎟=，θθ⎝⎠2∑∑可得E(gˆ)=−11⎛1⎞1E(lnX)=−⋅n⋅⎜−⎟==g()，即gˆ=−1nnθθlnX是g()的无偏估计，θθnn⎝⎠niii=1i=1∑且Var(gˆ)=111θ21nθ2nVar(lnX)=⋅n⋅=，nn22ii=1因p(x;)=xθ−1I0<x<1，当0<x<1时，lnp(x;θ)=ln+(−1)lnx，θθθθ∂∂θlnp(x;)=1+lnx∂∂⎡∂2⎤1θ212θθθθlnp(x;)=−θ2I()=−Elnp(X;)=则，，即⎢⎥，θθ∂θ