一维无限深势阱

2008.5QuantumMechanics§2.6一维无限深势阱2008.5QuantumMechanicsa金属U(x)U=U0U=U0EU=0x极限U=0EU→∞U→∞U(x)x0aⅠⅡⅢ

无限深方势阱（potentialwell）是实际情况的极端化和简化。粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱内自由运动在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力,不能到阱外。§2.6一维无限深势阱2008.5QuantumMechanics①势函数粒子在阱内自由运动不能到阱外一、薛定谔方程和波函数02008.5QuantumMechanics②哈密顿量③定态薛定谔方程阱内：0阱外：2008.5QuantumMechanics根据波函数有限的条件阱外1)阱外④分区求通解2008.5QuantumMechanics令2)阱内(为了方便将波函数脚标去掉)将方程写成通解式中A和B是待定常数2008.5QuantumMechanics⑤由波函数标准条件和边界条件定特解

在x=0处，波函数要连续，即

在x=a处，波函数要连续，即通解是2008.5QuantumMechanicsA已经为零了，B不能再为零了。即只能sin(ka)等于零要求故能量可能值但由上式2008.5QuantumMechanics

由波函数的归一性质定常数B得本征函数这组函数构成本征函数系。2008.5QuantumMechanics⑥定态波函数⑦概率密度2008.5QuantumMechanics

每个可能的值叫能量本征值讨论

束缚态粒子能量取值分立(能级概念)

能量量子化

基态：

最低能量不为零--波粒二象性的必然结果，因为静止的波是不存在的。2008.5QuantumMechanics

能级间距：L--阱宽

通常表达式写为当n很大时,能量趋于连续,量子效应不明显。2008.5QuantumMechanics本征能量和本征函数的可能取值小结：2008.5QuantumMechanics一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度oaao2008.5QuantumMechanics时，量子经典符合玻尔对应原理|2Ψn|an很大En0平均效应明显2008.5QuantumMechanics2、有限深方形势阱势的特点：空间反射对称0xa/2-a/2V0V0V(x)E2008.5QuantumMechanics写出分区定态方程在阱外(经典禁介区)令方程(1)变为其解为都是方程的解？2008.5QuantumMechanics现在是有限深的情况！2008.5QuantumMechanics在阱内(经典允许区)令则方程变为其解可以写为2008.5QuantumMechanics2008.5QuantumMechanics2008.5QuantumMechanics令则(5)式化为由有再利用(6)式,有2008.5QuantumMechanics试考虑：如何由求2008.5QuantumMechanics2008.5QuantumMechanics2008.5QuantumMechanics2008.5QuantumMechanics3、束缚态与分立谱的讨论

由以上分析可知，束缚态能量是分立的。相应动量也是分立的。我们也可从波函数变化规律来解释这一现象.由定态方程这是在束缚态边界条件下求解定态方程的结果。2008.5QuantumMechanics解为2008.5QuantumMechanics解为2008.5QuantumMechanics

据此可定性讨论能量可能取值及波函数的节点数。0xa/2-a/2V0V0V(x)E2008.5QuantumMechanics2008.5QuantumMechanics也不满足束缚态条件2008.5QuantumMechanics200