关于彩票问题的数学模型【Word版】

关于彩票问题的数学模型类号】O211【文献标识码】A【文章编号】1006－9682（2011）12－0052－02数学课程教学中的数学建模方法一般可以描述为，对于现实世界中的特定对象，为了特定目的，根据特有的内在规律性，作出一些必要简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。数学建模在国民经济和社会活动许多方面，如分析与设计、预报与决策、控制与优化、规划与管理，都有大量应用。是理论与实践相联系的桥梁，有利于培养大学生实践能力和综合素质。探索其它数学课程面向实践的教学方法，进一步提高大学生实践能力，对激发大学生的学习热情，有着重要意义。是概率论中的一个重要概念，应用较广泛。在教学过程中引入实际问题，如风险型决策、保费计算、存取模型等，引导学生运用数学期望等数学知识研究解决，取得了较好的教学效果。常生活中很常见的现象，也可以用数学模型的方法加以分析。人们带一大笔现金出门，有些人可能会放在一个地方，有些人可能会分开放。就这个现象，我要求学生说说自己的观点并分析。望的角度出发，学生很容易得到，这些现金放一个最安全的地方最好。但有学生从感觉上认为分开放比较好，希望知道原因。涉及效用理论。事实上，人的思维并不是完全数学性的，例如，获得10000元与二分之一机会获得25000元两个选项，从期望角度，当然后一选项较好，但很多人会选择前一选项。现金出门，损失1万元相比损失一半，不仅是数值上的2倍，更有现金全部损失的一系列严重后果。可以考虑用一个指标来说明这种考虑包含现金数损失并考虑其他因素的损失程度。就这个问题建立了数学模型。元现金，比较两种方案：放在一个最安全的地方。平分两半放两个地方。现金损失概率分别为P1、P2，P1《P2。损失期望E1＝P1。损失期望E2＝（P1＋P2）。角度，方案1较好。损失效用，记损失1万元及0.5万元的损失程度分别为：2，U1》2U2损失预期效用EU1＝P1U1。损失预期效用EU2＝P1U2＋P2U2。则方案2较好；如果，则方案1模型效用函数奖项的奖金为M1，M2，…，MN。为P1，P2，…，PN。合适的效用函数U（X）。预期效用EU＝U（MK）PK。中效用函数的确定是关键。，当获利较小时，人们属于风险喜好型；当获利到达一定数额后，人们会转变为风险厌恶型。并且从风险喜好到风险厌恶的转折点与个人财富相关，财富越多转折点越高。定义一个S形的效用函数：＝1－σ可以依照收入水平确定，如某人年平均收入为5万元，取30年总收入150万元的效用为0.95，可以确定这个参数。方法是将彩民分为冒险型、中立型和避险型，并调查三类人数占彩民总数的比例，采用加权平均的方法，得到一个体现彩票吸引力的综合指标。、中立型和避险型彩民的效用函数为：）＝1－，X≥0，I＝1，2，3。占彩民总数的比例为R1，R2，R3，定义彩票吸引力函数为：I（X）RI这个指标，可以说明不同彩票的吸引力，也能说明人们购买彩票的动力。例子很难用效用方法做出解释。商家在顾客购买商品后提供两个方案进行促销活动：优惠5％。从10黑10白围棋子中摸取10个，如果全是黑的或全是白的，则同样商品再免费送一件。还是有人选择方案2，通过计算发现方案2的优惠率约为十万分之一，也就是1000元的商品优惠1分钱。如果直接说1000元的商品优惠1分钱，恐怕没有人会选择，选择方案2的原因在于概率误判。当人们遇到较小概率时，在感觉上会误认大些，而且越小的概率相对误判程度越大。当然对接近1的概率，与1的差距也会同样误判。例子后，学生给出了彩票问题相应的模型。概率误判函数奖项的奖金为M1，M2，…，MN。为P1，P2，…，PN。合适的概率误判函数W（X）。误判期望EW＝MKW（PK）。究表明，人们倾向于高估低概率事件的出现，低估高概率事件的出现；高估有利事件的出现，低估不利事件的出现。概率误判函数W（X）可以根据这个研究来确定。对概率0，0.5，1不会产生误判，对接近0和1的概率会误判，而且越接近0误判程度越大，越接近1对概率与1的差误判程度越大。误判函数：≤0.5时，误判系数为，假设某彩民将0.001判为0.01，即误判系数为