信号分析第四章：拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

本章要点FFF第三章连续时间信号的正交分解第四章拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换的收敛区拉普拉斯反变换F常用函数的拉普拉斯变换F拉普拉斯变换的性质线性系统的拉普拉斯变换分析法F1编辑ppt傅里叶变换在分析信号的频谱等方面是十分有效的，但在系统分析方面有不足之处：对时间函数限制严，是充分条件。不少函数不能直接按定义求如增长的指数函数

eat,a>0，傅里叶变换就不存在。不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应。求傅里叶反变换也比较麻烦。拉普拉斯变换2编辑ppt利用拉普拉斯变换进行系统分析有几个优点，其中包括：可以只用代数运算就可以求解线性非时变系统的微分方程。可以同时求得系统的全响应，即强迫响应和自由响应；或零输入响应和零状态响应。可以建立网络的S域模型，对动态网络进行拉普拉斯变换分析。拉普拉斯变换3编辑ppt拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换用e-tf(t)来保证傅里叶积分收敛令s=+j称为复频率称为复傅里叶变换或双边拉普拉斯变换。也称为象函数。称为拉普拉斯反变换，也称原函数。4编辑ppt单边拉普拉斯变换对于有始信号，称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。称为单边拉氏反变换或拉氏反变换。简记：f(t)F(s)

记F(s)=L[f(t)]记f(t)=L-1[F(s)]拉普拉斯变换5编辑ppt拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系傅里叶变换和拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特殊情况;双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。拉普拉斯变换6编辑ppt7单边拉普拉斯变换的收敛域若存在两个常数1和2，使得双边拉普拉斯变换的收敛域Re[s]＞1Re[s]＜2故收敛域为1＜Re[s]＜2收敛域收敛域拉普拉斯变换的收敛区Re[s]＞1若存在常数1，使故收敛域为Re[s]=＞1编辑ppt例1求f(t)=e-at(t)的拉普拉斯变换及其收敛域，其中：a>0

解：为保证收敛，有a+＞0，故收敛域为＞－a收敛域拉普拉斯变换的收敛区8编辑ppt例2求f(t)=-e-at(-t)的拉普拉斯变换及其收敛域，其中：a>0

解：为保证收敛，有a+<0，故收敛域为<-a收敛域拉普拉斯变换的收敛区9编辑ppt求双边信号

f(t)=-e–t(-t)+e-2t(t)的拉普拉斯变换及其收敛域。

解：第一项的收敛域

<－1，第二项的收敛域

＞－2，为保证收敛，取公共收敛域，其收敛域为－2<<－1。收敛域例3拉普拉斯变换的收敛区10编辑ppt说明f(t)的拉普拉斯变换仅在收敛域内存在，故求F(s)时应指明其收敛域。在实际存在的右边信号，只要取得足够大，总是满足绝对可积条件的。故单边拉普拉斯变换一定存在。所以，单边拉普拉斯变换一般不说明收敛域。两个函数的拉普拉斯变换可能一样，但时间函数(原函数)相差很大。这主要区别在于收敛域。见例１和例２。如果拉普拉斯变换的收敛域不包括j轴，那么傅里叶变换也不收敛。f(t)的拉普拉斯变换存在多个收敛域时，取其公共部分（重叠部分）为其收敛域。拉普拉斯变换的收敛区11编辑ppt三个基本函数的拉普拉斯变换指数函数

f(t)=es0t(t)s0为复常数。即令s0=

实数，则令s0=j

虚数，则常用函数的拉普拉斯变换12编辑ppt单位阶跃函数

(t)

令上例中s0=0。则单位冲激函数

(t)已知三个基本函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换13编辑ppt14线性微分积分时移频移拉普拉斯变换的性质复频域微分/积分编辑ppt15尺度变换终值定理卷积定理初值定理拉普拉斯变换的性质编辑ppt例1余弦函数

f(t)=cost·(t)应用线性性质:例2正弦函数

f

(t)=sint·(t)应用线性性质:例3单位斜坡函数

f

(t)=t(t)，因为：应用频域微分性质拉普拉斯变换的性质16编辑ppt例4指数余弦函数

f(t)=etcost·(t)应用频移性质:例5门函数（矩形波）

f

(t)=A[(t)-(t-T)]拉普拉斯变换的性质应用时移性质:17编辑ppt例6任意周期函数

若f1(t)F1(s),应用时移性质:设

f1(t)为周期函数的第一周期，则周期函数可表示为：拉普拉斯变换的性质18编辑ppt例7周期矩形波

f1(t)=

(t)-(t-1)，T=3例8冲激串

f1(t)=(t)拉普拉斯变换的性质因为19编辑ppt20例9锯齿波

方法一：用频域微分性质：方法二：用时域微分性质：拉普拉斯变换的性质编辑ppt例10

方法二：方法一：因为用频域微分性质应用频移性质应用时移性质：应用频域微分性质：拉普拉斯变换的性质21编辑ppt初值定理和终值定理的应用初值定理的应用条件：F(s)必须是真分式，若不是真分式，则应用长除法将F(s)化成一个整式与一个真分式F0(s)之和。函数f

(t)初值f

(0+)应等于f0(0+)的初值。终值定理的应用条件：F(s)的极点必须位于S平面的左半平面；F(s)在s=0处若有极点，也只能有一阶极点。由于在S平面的j轴上有一对共轭极点，故f

(t)不存在终值。例11

求下列各象函数反变换的初值与终值。22拉普拉斯变换的性质编辑ppt例12求下列各象函数反变换的初值与终值。拉普拉斯变换的性质23编辑ppt课堂练习题求下列函数的拉普拉斯变换。(1)(2)方法一：方法二：方法一：拉普拉斯变换的性质(2)(3)(4)(1)24编辑ppt(3)(4)课堂练习题拉普拉斯变换的性质方法二：(2)25编辑pptFFF拉普拉斯变换拉普拉斯变换的收敛区拉普拉斯反变换F常用函数的拉普拉斯变换F拉普拉斯变换的性质线性系统的拉普拉斯变换分析法F编辑ppt1.部分分式展开法用部分分式展开法求拉普拉斯反变换，一般为有理函数。单极点：D(s)=0的根也称为F(s)的极点。F(s)可展开成为n个不相等的单根。拉普拉斯反变换27编辑ppt例1已知，求f

(t)。解：拉普拉斯反变换部分分式展开法28编辑ppt29部分分式展开法多重极点：若D(s)=(s–p1)n,令

n=3F(s)可展开成拉普拉斯反变换29编辑ppt已知，求f

(t)。解：拉普拉斯反变换部分分式展开法例230编辑ppt31复数极点：若D(s)=(s–-j

)(s–+j

),其根为

p1,2=j

F(s)可展开成由于F(s)是S的实系数有理函数，应有拉普拉斯反变换部分分式展开法31编辑ppt复数极点：若D(s)=(s–-j

)(s–+j

),其根为

p1,2=j

F(s)可展开成拉普拉斯反变换部分分式展开法32编辑ppt例3已知，求f

(t)。解：解得部分分式展开法拉普拉斯反变换33编辑ppt若sk为单极点，则留数为：若sk为p重极点，则留数为：t<0封闭积分路线t>0封闭积分路线留数法拉普拉斯反变换34F(s)为无理函数时积分用留数法，大多数情况部分分式展开法可以解决编辑ppt解：留数法F(s)的一阶极点p1=-2，二阶极点p2=-1。故Res(p1)=Res(p2)故有拉普拉斯反变换留数法已知，求拉氏反变换f

(t)。例435编辑ppt拉普拉斯变换的性质拉普拉斯反变换应用拉氏变换的性质求反变换36编辑ppt解：应用时域微分性质：例5已知，求拉氏反变换f(t)。拉普拉斯反变换应用拉氏变换的性质求反变换37编辑ppt已知，求拉氏反变换f

(t)。解：令已知根据频移特性：根据周期函数的拉普拉斯变换：例6拉普拉斯反变换应用拉氏变换的性质求反变换38编辑pptFFF拉普拉斯变换拉普拉斯变换的收敛区拉普拉斯反变换F常用函数的拉普拉斯变换F拉普拉斯变换的性质线性系统的拉普拉斯变换分析法F39编辑ppt用拉氏变换求解线性常系数微分方程，主要用到拉氏变换的微分性质：对于一阶导数：对于二阶导数：对于三阶导数：线性系统的拉普拉斯变换分析法40编辑ppt例7：系统方程为，其中，求系统的响应。解：对微分方程进行拉氏变换为：线性系统的拉普拉斯变换分析法41编辑ppt线性系统的拉普拉斯变换分析法42编辑ppt可以分别求出零输入响应和零状态响应零状态响应零输入响应线性系统的拉普拉斯变换分析法零状态响应：由0-状态响应值为为0，系统由激励产生的响应。零输入响应：系统激励为零，由系统0-状态值产生的响应。系统激励43编辑ppt拉氏变换求微分方程的基本思想时域激励f(t)时间响应y(t)拉氏变换激励F(s)拉氏变换响应Y(s)微分方程描述解时域网络代数方程描述解复频域网络拉氏变换拉氏反变换存在的问题高阶电路的微分方程不易列出；电路中不可能只有一个电源，电路中存在多个电源怎么办？与以前所学知识无法联系，不能统一起来。线性系统的拉普拉斯变换分析法44编辑ppt电路元件的S域模型电阻元件时域模型复频域模型线性系统的拉普拉斯变换分析法45编辑ppt电感元件电路元件的S域模型线性系统的拉普拉斯变换分析法46编辑ppt电容元件电路元件的S域模型线性系统的拉普拉斯变换分析法47编辑pptRLC串联电路的S域模型设初始值为零状态响应零输入响应S域网络的电源分为激励源和初始电源。初始电源单独作用产生零输入响应；激励源单独作用产生零状态响应。线性系统的拉普拉斯变换分析法48编辑ppt49由于引入拉氏变换，和复频域阻抗

Z(s),正弦稳态分析中的所用的分析方法和定理，完全适用于复频域分析。由于初始条件化为信号源，由初始值引起的响应即零输入响应，由等效信号源（等效激励源）单独作用引起的零状态响应。线性系统的拉普拉斯变换分析法编辑ppt用拉氏变换分析动态电路的步骤:将网络中电源的时间函数进行拉氏变换；常用的拉氏变换有：常数AA/s,e-at(t)1/(s+a)画出Ｓ域电路图（特别注意初值电源）；电感、电容分别用其S域模型代替；检查初值电源的方向和数值；电源用其象函数(拉氏变换)代替；电路变量用其象函数代替：i(t)I(s),u(t)U(s)运用直流电路的方法求解象函数；反变换求原函数。线性系统的拉普拉斯变换分析法50编辑ppt如图所示电路中，开关K闭合已久，在t=0时K断开，试求电压uL1(t)。解：电路初始值为

i1(0-)=-2.5A,i2(0-)=5A,画S域模型.S域模型+-例8列回路方程：(30+2.5s)I2=100/s＋7.5线性系统的拉普拉斯变换分析法51编辑ppt故有：+-线性系统的拉普拉斯变换分析法52编辑ppt如图所示电路中，开关K闭合已久，在t=0时K断开，试求电容电压uC(t)。解：电路初始值为

iL(0-)=1A,uC(0-)=2V,画复频域模型S域模型例9线性系统的拉普拉斯变换分析法53编辑ppt复频域模型如图所示。用节点法：线性系统的拉普拉斯变换分析法54编辑ppt55课堂练习题求例9中的电压uC(t)的零输入响应uCzi(t)和零状态响应uCzs(t)零输入响应零状态响应线性系统的拉普拉斯变换分析法编辑ppt56

求零状态响应yzs(t)步骤（1）求激励f(t)的象函数F(s)=ℒ{f(t)}。（2）找出在s域中联系零状态响应与输入激励的运算形式的系统函数H(s)。H(s)=Yzs(s)F(s)

=零状态响应的拉氏变换输入的拉氏变换（3）求零状态响应yzs(t)的象函数Y(s)=F(s)H(s)。（4）求yzs(t)=ℒ-1{Y(s)}=ℒ-1{F(s)H(s)}

通过系统函数或者传递函数H(s)求零状态响应

线性系统的拉普拉斯变换分析法编辑ppt57求H(s)的常用方法：（1）由零状态下系统的微分方程经过LT求得例10：已知，求该系统的H(s)。解：对上式取零状态下的LT，得s2Yzs(s)+3sYzs(s)+2Yzs(s)=2sX(s)+3X(s)Yzs(s)(s2+3s+2)=X(s)(2s+3)s2+3s+2Yzs(s)X(s)=

2s+3H(s)=s2+3s+2Yzs(s)X(s)=

2s+3线性系统的拉普拉斯变换分析法（2）由系统的单位冲激响应经过LT求得，即ℒ{h(t)}=H(s)。编辑ppt58（3）对具体网络，可由零状态下