文档：三步法求解异面直线所成的角

三步法求解异面直线所成的角异面直线所成的角是指两条异面直线，经过空间任一点O作直线，由所成的锐角（或直角）。异面直线所成的角有别于同一平面的两直线所成的角，从定义、求解方法、化解问题的策略上都有所不同，下面就异面直线所成角定义的理解、求解步骤、“三步法”的具体应用进行举例分析：一、理解异面直线所成角的“定义”。异面直线所成角的定义向我们展示了两点，一是如何作所成的角：作两条异面直线的平行线，当然尽管定义中是过空间任意一点O作了两条平行线，但在实际应用中，为了简便，点O通常取在两条异面直线中的某一条上，然后只需作另一条的平行线即可。二是两异面直线所成角是锐角或直角而绝不能是钝角。这一点应值得注意，如果作平行线后算出的角是钝角，这时应取其补角作为两异面直线所成的角。这样也给出了两异面直线所成角的范围：；特别当两条异面直线所成角是直角时，称这两条直线互相垂直，记作二、求解异面直线所成角的“步骤”。求两条异面直线所成角关键是作出异面直线所成的角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交。值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置。依据以上作法，求解异面直线所成角的一般可归纳以下三步：（1）、作：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线。这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条上的一个特殊点。（2）、证：证明作出的角就是所求的角，主要是依据等角定理，平行线的性质等进行论证。（3）、求：将这个角放入一个三角形中，在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊三角形，便易求此角的大小，否则，要到以后才能求。三、“三步法”的具体应用以上求两条异面直线所角的步骤可简明归纳为三个字：“作、证、求”。运用这三步可以解决异面直线所成角的普遍问题，如在空间四边形、立方体中常有求异面直线的角问题，在近几年的高考中更是占据了相当高的频率，值得重视。1、空间四边形中例1、空间四边形中，AB=CD，AB与CD成角，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角。ABABCDEFG（1）解：取AC的中点G，连结GE，GF，分别为BC、AD的中点，，EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角。又由AB=CD，EG，FG分别为的中位线，，为等腰三角形，又AB、CD成角，，又EG//AB，就是EF与AB所成的角，EF和AB所成的角为。点评：求异面直线所成角的一般步骤是：（1）作：根据所成角的定义，平移法作出异面直线所成的角；（2）证：证明所作出的角为所求的角；（3）求：计算角值，常利用三角形。常用“作、证、求”来概括。2、立方体中ABCDABCDEFABCDABCDEF（2）分析：在立方体中，有关异面直线所成的角，一般通过平移将异面直线化为共面直线处理，也即是转化化归思想的运用。解：（1）、如图（2），因，因此与所成角即为AC与所成的角，即为，又考虑到为等边三角形，因此=；即与所成的角为；（2）、因为AB//CD，则所成的角即为CD与所成的角，即为，由于，为直角三角形，则，即所成的角为；（3）、如图（2）所示，EF，又，因此与EF所成的角即为AC与EF所成的角，而由于，则，，则与EF所成的角。点评：作为一类特殊有几何体，其中有关的异面直线所成角问题较多，既要从定义和求法的角度去理解，也要从正方体特有的性质去掌握，这样对于化解立方体中的涉及异面直线所成角问题必可轻松求解。3、高考题中（3）例3、（2007福建）如图（3），在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（）（3）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．分析：此题是一个以立方体为载体的异面直线所成角问题，要结合立方体所特有的性质和求异面直线所成角三步法进行求解。解：因为EF//，GH//，则异面直线与所成的角就是和所成的角，因立方体中，和所成的角为，即异面直线与所成的角为，因此选B。点评：这是一个涉及到立方体的异面直线所成角问题，只要结合立方体的性质，并采用“三步法”，便可巧解这类问题。要注意的是等价转换，即等角定理的应用一定要有依据。异面所成的角在高考中一直是个热点问题，但学生因对求解的步骤掌握不是很好，导致失分现象经常发生，特别是遇到解答题，更是因缺