参数估计的例题

总体均值的区间估计一、一个总体样本取自总体方差己知的正态分布总体TOC\o"1-5"\h\z（一（这是重复抽样，若不重复需修_O'_PX—<^<X+z（7〃^'22正加修正系数，公式略。下均同）（这是重复抽样，若不重复需修例如，某制造厂质量管理部门的负责人希望估计移交给接收部门的5500包原材料的平均重量。一个由250包原材料组成的随机样本所给出的平均值X=65千克。总体标准差o=15千克。试构造总体未知的平均值日的置信区间，假定95%的置信区间已能令人满意，并假定总体为正态分布。查标准正态分布表，与置信水平95%相对应的Z值为：澈=z005=z0.025=L96。所以22总体平均数的置信区间为：—一一.一一15x土zo/\n=65土1.96x或<2502=65±1.86即在63.14〜66.86千克之间。于是，我们有95%的把握说总体平均值日介于63.14和66.86克之间。样本取自总体方差已知的非正态分布总体（大样本）O『<日<X+za例，某职业介绍所的职员从申请某一职业的1000名申请者中采用不重复抽样方式随机抽取了200名申请者，借此来估计1000名申请者考试的平均成绩。已知由200名申请者构成的样本平均分X=78分，由已往经验已知总体方差为90,但该职员不知总体服从何种分布，试求日的90%的置信区间。o二匹=禁x【网淄=0.60X5N—1.1200V1000—1当要求可靠程度为90%时，查表得z=1.645，所以：a2P(78—1.645x0.60<r<78+1.645x0.60)=0.90P(77<r<79)=0.90从而我们可以有90%的把握说，总体平均值处在77〜79分之间。总体方差未知的小样本(正态总体)—SS.P(x—t—■=<r<x+1f—)=1—以2，(R1)2，((l1)例如，为了估计1分钟1次广告的平均费用，抽出了15个电视台的随机样本。样本的平均值X=2000元，其标准差S=1000元。假定所有被抽样的这类电视台近似服从正态分布，试构造总体平均值为95%的置信区间。自由度n-1=14的t分布表，与置信水平95%相应的t值为：(^—1)=t0.025(14)=2-142故置信区间为：__SX—t-，(n—1顶W<X+t°，(n—1)专

222000+2.14X258.2，即(1447.5，2552.5)显然我们有95%的把握说明，总体平均数处在1447.5〜2552.5元之间。总体方差末知的大样本P(X—Z<R<X+ZS)=1—以TOC\o"1-5"\h\z°，Jn°4n22例如，某百货店通过100位顾客的随机样本研究购买额。均值和标准差分别为24.75元和5.50元，试构造总体均值的90%的置信区间。z°=七皿=^0.05=L6422X—ZX<r<X+ZS°，、"n°、n2224.75±1.64x-55^<100=24.75±0.90即(23.85，25.65)因此，我们有90%的把握说总体平均数落在23.85元和25.65元之间。二、两个总体1.两个方差已知的正态总体

(x-x)土z^2例如，某银行负责人想知道存户存入两家银行的钱数，他从每一家银行各抽选了一个由25个存户组成的随机样本。样本平均数为：银行A,七=45。元；银行B，无广325元。两个总体均服从方差分别加：=75。和b言=85。的正态分布。试构造％f的95%的置信区间。750850750850(450—325)—1.96x1,(450—325)+1.96x■1\2525弋2525即(109.32,140.68)，这就意味着有95%的把握认为总体均值之差在109.32〜140.68元之间。2.两个方差末知但相等的正态总体(x—x)±tS|—+12以Mlnn2l12(n-1)s2+(n-1)s2s2=—1122pn+n—2例如，某工厂中有两台生产金属棒的机器。一个随机样本由机器A生产的11根金属棒组成，另一个随机样本由机器B生产的21根金属棒组成。两个样本分别给出两台机器所生产金属棒的长度数据：xA=6.10英寸，xB=5.95英寸；S2=0.018，s；=0.020。假定两个总体近似服从正态分布，且总体方差相等，试构造四a-^b的95%的置信区间。根据总体方差相等的假设，可以算出共同方差b2的一个估计值s2:p(n-1)s2+(n-1)s2(11-1)x0.018+(21-1)x0.02011+21-2s2=—AABB11+21-2pn+n-2匕-%的置信区间为:1——+—nn.11=0.15±0.10自由度11+21—2=30，可靠性为95%，t=2.042，代入上式得:a2(6.10-5.95)±2.042x(0.019x航+方

所以两台机器所生产金属的平均长度差别在0.05〜0.25英寸之间，这种估计的可靠性为95%。3.两个方差未知且不等的正态总体2df=S.11=0.15±0.10所以两台机器所生产金属的平均长度差别在0.05〜0.25英寸之间，这种估计的可靠性为95%。3.两个方差未知且不等的正态总体2df=S2s2++TInnJ

12-

(S2/n)2+(s2/n)2

n

1例如，假定上例中的两个总体方差不等，试构造匕-%的95%的置信区间。此时，其自由度df'为:df=(0.0180.020)

hr、Jr23(0.018/11)2(0.020/21)211+21查95%可靠性和自由度为23的，分布表，得2.07，代入公式得:(6.10-5.95)土2.07x、口°018+螳=0.15±0.11214.两个方差未知的非正态总体对于一般不服从正态分布的两个总体，我们往往依据中心极限定理采用大样本抽样方法。,——…s2s2（气-X2）±z[f+f2例如，A、B两所大学某学期期末数学考试采用同一试题。A校认为该校学生数学考试成绩能比B校高出10分。为了证实这一说法。主管部门从两校各抽取一个随机样本并得到如下数据：nA=75人，nB=80人，XA=78.6分，％=73.8分，SA=8.2分，SB=7.4分。试在95%的置信程度下确定两校平均分数之差的置信区间。根据已知数据可算得：，S2s2'8.227.42=126（分），f+f=」+:nAnB\7580Z005=Z0025=L96，从而其置信区间为:=126（分）2(孔-XB)土zf+f=(78.6-73.8)±1.96x1.262*AB=4.8±2.5即(2.3，7.3)因此，我们有95%的把握说A、B两校数学考试成绩之差在2.3〜7.3分之间。这一结果说明A校的平均成绩确实高于B校，但并未高出10分。总体比率的区间估计一、一个总体如果nP和n(1-P)两者皆大于5,并且n相对总体容量来说很小，则P的近似100(1一a)%的置信区间由下式给出：\p(1-p)P±zJaVnn如果我们研究的总体是有限的，尤其是抽样比重较大时，即->0.05时，就要采用有N限总体修正系数，从而P的区间估计公式为：p±zlp(1-p)N^Pa\nVN-12例如，某企业在一项关于寻找职工流动原因的研究中，研究者从该企业前职工的总体中随机抽取了200人组成一个样本。在对他们进行访问时，有140人说他们离开该企业的原因是因为他们得到的收入太低。试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正比率构造95%的置信区间。p=140/200=0.7np=200x0.7=140>5，且n(1-p)=200X(1—0.7)=60〉5，p±z*(1-p)=0.70±1.96x、«0.70X(1-0.70)=0.70x0.064

叭n2002例如，某一大公司的人事处长希望知道本公司内专业不对口的职员究竟占多大比率。他从2000名具有大专以上学历的职员中随机抽取了一个由150人组成的样本进行研究，结果表明，其中有45人说他们从事的工作与所学专业不对口。试在95.45%的置信程度下构造

出不对口人员所占真正比率的置信区间。n=150,p=45/150=0.3,np和n(1-p)都大于5,故可用正态分布逼近。但又由n150,,p(1-P)P±zV叭n2«N-n,,p(1-P)P±zV叭n2«N-n*N-1=0.30±2一冬岌x\150V2000-1=0.3±0.072即(0.228,0.372)二、两个总体p(1-pkp(1-p)TOC\o"1-5"\h\z—11—H——22—\o"CurrentDocument"nn12例如，某企业下属A、B两个车间。为了降低废品率，该企业对车间B的工人首先进行业务培训。3个月后，该企业负责人对两个车间的产品质量进行了检验。从车间A抽取了200件产品，从车间B抽取了220件产品。查得废品率A车间为pA=15%,B车间为pB=3%。试在95%的把握程度下，构造两个废品率之差的置信区间。:0.15x(1-0.15)0.03x(1-0.03)200+220=0.0277当置信度为95%时，z=1.96，从而其区间估计为：a2(0.15—0.03)±1.96x0.0277=(0.066,0.174)总体方差的区间估计一、一个总体(总体服从或近似服从正态分布)(n一1)s2K",(n-1)Vb2V%〃-1)

22通过不等式变换可得：(n一1)s2X2v<X2arr2a1-2，(n-1)"22，(n-1)总体标准差的100(1—a)%置信区间:

<b<•(n-1)s2I'(n-1)s2:X2TOC\o"1-5"\h\zI扑-1)<b<•(n-1)s2例如，某厂管理人员需要知道完成某件工作所需的时间，为此他抽选了一个31个观察值组成的随机样本。如果从样本数据算出的方差为0.3小时，应如何构造。2、。的95%的置信区间，构造置信区间时作了何种假定？X2(30)=X2(30)=X2(30)=46.949，a0050.02522X2a(30)=X20^(30)=X2975(30)=16.7911—122(31—1)x0.3(31—1)x0.3<c2V

46.94916.7910.1916<。2<0.5360总体标准差的置信区间为：0.4377<q<0.7321二、两个总体由F由Fa1一2,(n1-1,n2-1)<S2/Q2<「?(〃1-"1)通过变换叩气的1。。(1-a)%的置信区间为:S2/S2b2S2/S2Fb2Fa2,J2,(n1-1,n2-1)1一2,("1-1,n2-1)一般情况下，我们将样本方差的较大者用作比值的分子，较小者作分母。例如，为了比较用两种不同方法生产的某种产品的寿命，进行一项试验。试验中抽选了甲方法生产的16个产品组成一个随机样本，其方差为1200小时；又抽选乙方法生产的21个产品组成另一个随机样本，其方差为800小时。试以95%的可靠性估计b2/b2