酉变换与正交变换

酉变换与正交变换2023/4/24第1页，共23页，2023年，2月20日，星期日上节回顾：酉变换数域F上内积空间V上的保长变换数域F上内积空间V上的保内积变换数域F上内积空间V上保长变换与保内积变换等价性2023/4/24第2页，共23页，2023年，2月20日，星期日上节回顾：酉变换数域F上内积空间保长同构数域F上有限n维内积空间保长同构性质及判定方法

V≌Fn

两有限维内积空间保长同构的充要条件维数相同。2023/4/24第3页，共23页，2023年，2月20日，星期日上节回顾：酉变换酉变换定义复数域上内积空间V到V自身上的保长线性变换酉变换判定定理定理

U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价

⑴U是一个酉变换;⑶⑷U把标准正交基变为标准正交基;⑸U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.⑵2023/4/24第4页，共23页，2023年，2月20日，星期日定理

U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价

1)

U是一个酉变换;3)4)U把标准正交基变为标准正交基;5)

U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.2)

证明(续)5)1):定理

U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价

1)U是一个酉变换;3)4)U把标准正交基变为标准正交基;5)U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.2)

2023/4/24第5页，共23页，2023年，2月20日，星期日2023/4/24第6页，共23页，2023年，2月20日，星期日定理

U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价

1)

U是一个酉变换;3)4)U把标准正交基变为标准正交基;5)

U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.2)

定理

U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价

1)

U是一个酉变换;3)4)U把标准正交基变为标准正交基;5)

U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.2)

2023/4/24第7页，共23页，2023年，2月20日，星期日正交变换正交变换定义实数域上内积空间V到V自身上的保长线性变换定理

O是n维欧氏空间V上的线性变换,则下列等价

1)

O是一个正交变换;3)4)

O把标准正交基变为标准正交基;5)

O在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.2)

2023/4/24第8页，共23页，2023年，2月20日，星期日正交变换

性质1正交矩阵的行列式只可能为1或-1.正交变换进行分类:如果正交变换A在某一组基下的矩阵的行列式为1,则称A为第一类正交变换;如果行列式为-1,则称A为第二类正交变换.2023/4/24第9页，共23页，2023年，2月20日，星期日正交变换性质2正交矩阵的特征值的绝对值等于1.2023/4/24第10页，共23页，2023年，2月20日，星期日正交变换性质3正交矩阵的对应于不同特征的特征向量正交.2023/4/24第11页，共23页，2023年，2月20日，星期日作业Page2949.4.2,9.4.32023/4/24第12页，共23页，2023年，2月20日，星期日第五节实对称矩阵相似对角化一.实对称矩阵的特征值和特征向量二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵2023/4/24第13页，共23页，2023年，2月20日，星期日特征值、特征向量A=

(E–A)=0|E–A|=0

特征方程(characteristicequation)

|E–A|=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann

特征多项式(characteristicpolynomial)

E–A

特征矩阵

特征值

特征向量

2023/4/24第14页，共23页，2023年，2月20日，星期日一.实对称矩阵的特征值和特征向量证明

定理1.实对称矩阵的特征值均为实数.2023/4/24第15页，共23页，2023年，2月20日，星期日一.实对称矩阵的特征值和特征向量定理2.设1,2是实对称矩阵A的两个不同的特征值,p1,p2是对应与它们的特征向量,则p1与p2正交.事实上,1p1T=(Ap1)T

=p1TAT

=p1TA,于是(1–2)p1Tp2=0,但是12,故p1Tp2=0.从而1p1Tp2=p1TAp2

=p1T(2p2)=2p1Tp2.2023/4/24第16页，共23页，2023年，2月20日，星期日定理3.对于任意n阶实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,使得Q–1AQ=

=diag(1,2,…,n),其中1,2,…,n为A的全部特征值,Q=(q1,q2,…,qn)的列向量组是A的对应于1,2,…,n的标准正交特征向量.求正交矩阵的一般步骤三步①求A的特征值--②求每个特征值的特征向量并化为标准正交向量组--③写出正交阵Q与对角阵Λ二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵2023/4/24第17页，共23页，2023年，2月20日，星期日§5实对称矩阵的相似对角化例1.把A=

正交相似对角化.解:|E–A|=(–2)(–4)2.所以A的特征值为1=2,2=3=4.

(2E–A)x=0的基础解系1=(0,1,–1)T.(4E–A)x=0的基础解系2=(1,0,0)T,3=(0,1,1)T.由于1,2,3已经是正交的了,将它们单位化即可得400031013

Q1AQ=QTAQ=200040004

.Q=,0101/201/21/201/2

2023/4/24第18页，共23页，2023年，2月20日，星期日§5实对称矩阵的相似对角化注:

对于2=3=4,若取(4E–A)x=0的基础解系

2=(1,1,1)T,3=(–1,1,1)T,则需要将它们正交化.取1=2,再单位化,即得=111

13111

=23211

;

Q=(q1,q2,q3)=.01/32/61/21/31/61/21/31/6

2=3[3,2]||2||2

2023/4/24第19页，共23页，2023年，2月20日，星期日§5实对称矩阵的相似对角化例2.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为(–1)2(–10),且3=(1,2,2)T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量与3正交;(2)求A.证明(1):由定理3可知()成立.()因为=1是A的二重特征值,所以A有两个线性无关的特征向量1,2对应于=1.注意到1,2,3线性无关,而,1,2,3线性相关,可设=k11+k22+k33,故=k11+k22是对应于=1的特征向量.由[3,]=[3,1]=[3,2]=0得k3=0,2023/4/24第20页，共23页，2023年，2月20日，星期日§5实对称矩阵的相似对角化解(2):由(1)可知对应于=1两个线性无关的将正交向量组1,2,3单位化得正交矩阵例2.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为(–1)2(–10),且3=(1,2,2)T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量与3正交;(2)求A.特征向量可取为x1+2x22x3=0的基础解系:1=(2,1,2)T,2=(2,2,1)T,Q=,2/32/31/31/32/32/32/31/32/3

2023/4/24第21页，共23页，2023年，2月20日，星期日由此可得A=QQT它满足QTAQ=Q1AQ==,10