专题 等差等比数列的概念和性质

专题等差等比数列的概念和性质第1页，共34页，2023年，2月20日，星期日1.(2010·通州模拟)

数列a1+2，…，ak+2k，…，a10+20共有10项，且其和为240，则a1+…+ak+…+a10之值为.解析：(a1+2)+…+(ak+2k)+…+(a10+20)=(a1+…+ak+…+a10)+(2+…+2k+…+20)=(a1+…+ak+…+a10)+110=240.

所以a1+…+ak+…+a10=130.第2页，共34页，2023年，2月20日，星期日2.(2010·江苏通州中学高模)已知数列{an}对于任意p，q∈N*有ap+aq=ap+aq，若a1=，则a100=

.解析：取p=n，q=1，所以an+1-an=，所以数列{an}是公差、首项都为的等差数列，a100=+(100-1)=40.第3页，共34页，2023年，2月20日，星期日第4页，共34页，2023年，2月20日，星期日第5页，共34页，2023年，2月20日，星期日第6页，共34页，2023年，2月20日，星期日例1：已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0<x1<x2使得不等式f(x1)>f(x2)成立．设数列{an}的前n项和Sn=f(n)．(1)求函数f(x)的表达式；(2)求数列{an}的通项公式．分析:第(1)问由已知条件确定a的值时要注意“在定义域内存在0<x1<x2使得不等式f(x1)>f(x2)成立”与“函数y=f(x)在(0，+∞)上单调递减”之间的区别；第(2)问主要是利用an与Sn的关系．第7页，共34页，2023年，2月20日，星期日解析：(1)因为不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素，所以判别式=a2-4a=0，解得a=0或a=4.当a=0时，函数f(x)=x2在(0，+∞)上递增，不满足条件②；当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上递减，满足条件②第8页，共34页，2023年，2月20日，星期日综上得a=4，即f(x)=x2-4x+4.(2)由(1)知Sn=n2-4n+4=(n-2)2，当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5，所以an=.第9页，共34页，2023年，2月20日，星期日变式1.等差数列{an}中，公差d

0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项公式．

解析：设等差数列an

的公差为d，则，a2·a2=a1a4，

即(a1+d)2=a1(a1+3d)，即d2-a1d=0.因为d0，所以d=a1，等比数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…的公比q===3，第10页，共34页，2023年，2月20日，星期日所以akn=a1·3n+1.akn既是等差数列{an}中的第kn项，同时又是等比数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…中的第(n+2)项，所以a1+(kn-1)·a1=a1·3n+1，kn=3n+1.第11页，共34页，2023年，2月20日，星期日分析：立足基础，注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式，注重代数式的有序变形．第12页，共34页，2023年，2月20日，星期日第13页，共34页，2023年，2月20日，星期日第14页，共34页，2023年，2月20日，星期日第15页，共34页，2023年，2月20日，星期日第16页，共34页，2023年，2月20日，星期日第17页，共34页，2023年，2月20日，星期日第18页，共34页，2023年，2月20日，星期日分析：(1)注意基本量及其关系的运用，知三求二；(2)不可能、不成立问题常通过举反例来处理，一般性证明宜用反证法．第19页，共34页，2023年，2月20日，星期日第20页，共34页，2023年，2月20日，星期日第21页，共34页，2023年，2月20日，星期日第22页，共34页，2023年，2月20日，星期日第23页，共34页，2023年，2月20日，星期日第24页，共34页，2023年，2月20日，星期日第25页，共34页，2023年，2月20日，星期日1．等差、等比数列的结论，如(1)an是等差数列，Sn=i.(ⅰ)m+n=p+q⇒am+an=ap+aq；(ⅱ)数列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…，是等差数列；(ⅲ)S2n-1=(2n-1)an.(2)an是等比数列，Sn=i.(ⅰ)m+n=p+q⇒aman=apaq；第26页，共34页，2023年，2月20日，星期日(ⅱ)数列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…(q1)是等比数列；(ⅲ)a1a2…a2n-1=(an)2n-1.2．一般数列求和的几种常用方法、和与项之间的关系：(1)分项求和、并项求和、裂项相消、倒序相加、错位相减等；第27页，共34页，2023年，2月20日，星期日(2)Sn=a1+a2+…+an

an=第28页，共34页，2023年，2月20日，星期日(2010·安徽卷)(本小题满分14分)设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0.证明：{an}为等差数列的充分必要条件是：“对任何n∈N*，都有

++…+=.”

第29页，共34页，2023年，2月20日，星期日证明：(1)先证必要性设数列{an}的公差为d.若d=0，则所述等式显然成立．(2分)

若d0，则++…+=第30页，共34页，2023年，2月20日，星期日=(2)再证充分性依题意有第31页，共34页，2023年，2月20日，星期日++…+=；①

++…++，②②-①，得

-③第32页，共34页，2023年，2月20日，星期日在上式两端同乘a1an+1an+2，得a1=(n+1)an+1-nan+2；③同理可得a1=nan-(n-1)an+1.④③-④，得2nan+1=n(an+2+an)，即an+2-an+1=an+1-an，所以an是等差数列．由(1)(2)命题成立．第33页，共34页，2023年，2月20日，星期日1．