分离变量法第二节课

分离变量法第二节课第1页，共35页，2023年，2月20日，星期日1.有界弦的自由振动(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)

首先设法找到所有具有变量分离形式的满足方程（1.1）和边界条件（1.2）的非零特解。所谓函数u(x,t)具有变量分离形式,是指它可表示为(1.5)(I)第2页，共35页，2023年，2月20日，星期日将（1.5）代入方程（1.1）得到即(1.6)(1.6)式中,左端是t的函数，右端是x的函数，由此可得只能是常数，记为。从而有将（1.5）代入方程（1.2）得到由于在[0,L]不恒等于0，所以(1.7)(1.9)(1.8)(1.10)第3页，共35页，2023年，2月20日，星期日特征值问题这是一个二阶线性常微分方程的两点边值问题．问：是否存在参数的一些值，使得该两点问题有非零解？(1.7)(1.10)I.1一定是它的解（平凡解)．这样的一类问题称为特征值(本征值)问题．特征值（本征值）：使得上述问题有非零解的参数．特征函数（本征函数）：与特征值相应的非零解．第4页，共35页，2023年，2月20日，星期日具体求解情形（A）

情形（B）(1.7)的通解为由(1.10)，可推出只有零解。(1.7)的通解为由(1.10)，可推出只有零解。(1.7)(1.10)第5页，共35页，2023年，2月20日，星期日情形（C）方程的通解为由边界条件X(0)=0推出再由知道为了使必须于是有这样就找到了一族非零解特征值特征函数(1.11)(1.12)正是傅里叶正弦级数的基本函数族．第6页，共35页，2023年，2月20日，星期日由此，就得到方程（1.1）满足边界条件（1.2）的变量分离的非零特解代入得(1.13)其通解为I.2把第7页，共35页，2023年，2月20日，星期日(II)特解的叠加一般来讲，前面求出的特解不满足初始条件。我们需要对它们做适当的线性组合，以得出(1.1)-(1.4)的解．也就是说，要决定常数，使(1.14)(1.15)(1.16)满足(1.1)-(1.4)．

假设(1.14)中的函数级数可以对x和t逐项求导两次，则u(x,t)必满足(1.1)-(1.2)，并且条件(1.3)和(1.4)可改写为第8页，共35页，2023年，2月20日，星期日因此，当为正弦展开的Fourier(1.17)(1.18)

这样，在前面的假设下，我们给出了混合问题(1.1)-(1.4)的解(1.14)，其中系数由公式(1.17)和(1.18)给出。在[0,L]区间上满足Dirichlet条件时，可取

上述解PDE的方法称为分离变量法。级数的系数，即第9页，共35页，2023年，2月20日，星期日分离变量法的解题步骤第一步第二步第三步令适合方程和边界条件，从而定出所适合的常微分方程齐次边值问题，以及适合的常微分方程。特征值问题求解该常微分方程齐次边值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应的的表达式。将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定系数。第10页，共35页，2023年，2月20日，星期日例2令是齐次方程和齐次边界条件的非零解则有第11页，共35页，2023年，2月20日，星期日故有其中第12页，共35页，2023年，2月20日，星期日第13页，共35页，2023年，2月20日，星期日情形（A）时．方程的通解为由边值条件，有即方程只有零解。例3．求解下面的特征值问题．解．由，可得.第14页，共35页，2023年，2月20日，星期日情形（B）时．方程的通解为由边值条件，有即方程只有零解。情形（C）时．方程的通解为可知由由边界条件u(0)=0推出为使必须由此，可得特征值为从而对应的特征函数为第15页，共35页，2023年，2月20日，星期日例4、研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。边界条件：初始条件：第16页，共35页，2023年，2月20日，星期日(2)分离变量：(3)、求解本征值问题：第17页，共35页，2023年，2月20日，星期日X=0,l时第18页，共35页，2023年，2月20日，星期日x=0,l时则有则必有（k=0,1,2……）第19页，共35页，2023年，2月20日，星期日故有：本征解第20页，共35页，2023年，2月20日，星期日（4）、通解中常数确定第21页，共35页，2023年，2月20日，星期日分离变量法的解题步骤第一步第二步第三步令适合方程和边界条件，从而定出所适合的常微分方程齐次边值问题，以及适合的常微分方程。特征值问题求解该常微分方程齐次边值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应的的表达式。将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定系数。第22页，共35页，2023年，2月20日，星期日分离变量法也适用于laplace方程例5解第23页，共35页，2023年，2月20日，星期日第24页，共35页，2023年，2月20日，星期日若λ>0，第25页，共35页，2023年，2月20日，星期日第26页，共35页，2023年，2月20日，星期日第27页，共35页，2023年，2月20日，星期日非齐次方程—有界弦的纯强迫振动考虑有界弦的纯强迫振动，即研究定解问题：容易知道，直接应用分离变量法行不通(?)。受求解非齐次线性常微分方程的常数变易法启发，可先考虑与非齐次方程对应的齐次问题。第28页，共35页，2023年，2月20日，星期日原定解问题对应的齐次问题如下：第29页，共35页，2023年，2月20日，星期日第30页，共35页，2023年，2月20日，星期日利用常数变易法易求得关于Tn的常微分方程的解为：第31页，