信号与系统习题5附答案

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习题五

一、完成下列各题。

（1）设离散时间系统的输入—输出关系为y(k)?f(k)f(k?1)，试判定该系统是否为线性的、时不变的、因果的、稳定的。（2）试计算积分

t?-?e-??????d?。

（3）已知线性时不变系统的阶跃响应为g(t)?e?2t?(t)，

1、求解系统的冲激响应h(t)；

2、当激励为?(t?1)时，求系统的零状态响应。（4）求f(t)?e?jt?(t?2)的傅里叶变换。（5）若F(s)?5s?1，求原函数的初值f(0?)和终值f(?)。2(s?1)（6）计算序列f1(k)?2141和序列f2(k)?{315}的卷积和。

????（7）有限频带信号f(t)的最高频率fmax?1kHz，则信号f(t)?f2(t)的奈奎斯特抽样率fs为多少？

（8）已知某线性时不变系统的幅频特性H(j?)?K，相频特性?(?)???t0，其中t0?0，求激励为?(t)时系统的零状态响应。（9）已知F(z)?zz?z?1z?2,求其所有可能的逆z变换。

二、电路图如下图所示，已知L1=3H，L2=6H，R=9?。若以is(t)为输入，

u(t)为输出，请画出系统的S域电路模型，并求其系统函数H(s)，冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)。

RiS(t)L1?L2u(t)?

三、如下图所示为一幅度调制系统，f(t)为带限信号，最高角频率为?m。

sin?6?mt?2π?2πp(t)为冲激脉冲序列，且p(t)?h(t)?，其中，求?(t?n)?πt5?mn???5?my(t)。

f(t)X-+p(t)?-1y(t)h(t)

四、图示线性时不变离散因果系统，求：（1）系统传输函数H(z)；

（2）若使系统稳定，求K的取值范围；

（3）K=0时，判别系统的频响函数H(ej?)是否存在？如果存在求解H(ej?)；（4）在（3）中，若激励为f(k)?3?5cos(0.5k?)，求系统的稳态响应yss(k)。

F(z)+-X1(z)?-0.5z-1+X2(z)?z-1Y(z)ZS-0.5K

五、如图所示复合系统，由两个线性时不变子系统组成。设子系统为S1和S2，S1和S2都是单输入单输出系统，其状态方程和输出方程分别为：

对S1：x1(t)?A1x1(t)?B1f1(t)

y1(t)?C1x1(t)对S2：x2(t)?A2x2(t)?B2f2(t)

y2(t)?C2x2(t)??f(t)+-?f1(t)S1S2y1(t)y(t)y2(t)求：复合系统的状态方程和输出方程。

f2(t)

习题五答案

一、完成下列各题。

（1）设离散时间系统的输入—输出关系为y(k)?f(k)f(k?1)，试判定该系统是否为线性的、时不变的、因果的、稳定的。解:非线性、时不变、因果、稳定（2）试计算积分

t?t-?e-??????d?。

t-?解：?e-??????d?????????????d????t???(t)

-?（3）已知线性时不变系统的阶跃响应为g(t)?e?2t?(t)，

1、求解系统的冲激响应h(t)；

2、当激励为?(t?1)时，求系统的零状态响应。

解：h(t)??2e?2t?(t)??(t)，yzs(t)?e?2(t?1)?(t?1)（4）求f(t)?e?jt?(t?2)的傅里叶变换。

?(t)?1解：?(t?2)?e?j2?

e-jt?(t?2)?e?j2(??1)（5）若F(s)?5s?1，求原函数的初值f(0?)和终值f(?)。2(s?1)解：初值f(0?)=5，终值f(?)=0

（6）计算序列f1(k)?2141和序列f2(k)?{315}的卷积和。

????解：f(k)?{652312215}

?（7）有限频带信号f(t)的最高频率fmax?1kHz，则信号f(t)?f2(t)的奈奎斯特抽样率fs为多少？解：fs?4kHz

（8）已知某线性时不变系统的幅频特性H(j?)?K，相频特性?(?)???t0，其中t0?0，求激励为?(t)时系统的零状态响应。解：K?(t?t0)

（9）已知F(z)?zz?z?1z?2,求其所有可能的逆Z变换。

解：(1)z?2,f(k)?[(?1)k?(2)k]?(k)(2)z?1,fk(?)??[k(?1)k?(?2k)?]((3)?1z?1)1)2f,k?(?)k(?k1)?(k?)?k(2?)(二、电路图如下图所示，已知L1=3H，L2=6H，R=9?。若以is(t)为输入，

u(t)为输出，请画出系统的S域电路模型，并求其系统函数H(s)，冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)。

RR?iS(t)L1L2u(t)?I(s)L1s+L2sU(S)-解:（1）S域电路模型

U(s)s2L1L22s22（2）H(s)????2s?2?I(s)s(L1?L2)?Rs?1s?1

（3）h(t)?2?'(t)?2?(t)?2e?t?(t)

（4）g(t)?2?(t)?2e?t?(t)

三、如下图所示为一幅度调制系统，f(t)为带限信号，最高角频率为?m。

sin?6?mt?2π?2πp(t)为冲激脉冲序列，且p(t)?，其中，求h(t)??(t?n)?πt5?mn???5?my(t)。

-Xf(t)+p(t)y(t)?-1h(t)

?1解:f(t)p(t)?F(jw)?P(jw)??F[j(w?5nwm)]

2?n????x(t)?f(t)p(t)?f(t)?n????F[j(w?5nwm)]?F(jw)

sin?6?mt??g12?m(w)h(t)?πty(t)?2f(t)cos(5?mt)

F(z)+-X1(z)?-0.5z-1+X2(z)?z-1Y(z)ZS-0.5K

四、图示线性时不变离散因果系统，求：（1）系统传输函数H(z)；

（2）若使系统稳定，求K的取值范围；

（3）K=0时，判别系统的频响函数H(ej?)是否存在？如果存在求解H(ej?)；（4）在（3）中，若激励为f(k)?3?5cos(0.5k?)，求系统的稳态响应yss(k)。

解：(1)H(z)?1

z2?z?0.25?K(2)极点全部在单位圆内，系统稳定-0.25<K<0.25

(3)K=0时，系统稳定，极点在单位圆内，又因为系统是因果系统，故

收敛域包括单位圆，因此频响函数存在。

K=0时，H(z)?

12z?z?0.25H(ej?)=H(z)|z?ej??111|??j?2j?2j?j?2z?ez?z?0.25e?e?0.25(e?0.5)(4)当激励为f(k)?3?5cos(0.5k?)时系统的稳态响应yss(k)为：

443?5cos(0.5k??126.9。)95

4??4cos(0.5k??126.9。)3yss(k)?五、如图所示复合系统，由两个线性时不变子系统组成。设子系统为S1和S2，S1和S2都是单输入单输出系统，其状态方程和输出方程分别为：

对S1：x1(t)?A1x1(t)?B1f1(t)；

y1(t)?C1x1(t)对S2：x2(t)?A2x2(t)?B2f2(t)

y2(t)?C2x2(t)求：复合系统的状态方程和输出方程。

??f(t)+-?f1(t)S1S2y1(t)y(t)f(t)y2(t)f2(t)

?x1(t)?解：令x(t)???，由题设条件得：x(t)?2??x???A0?x(t)(t)???Bf(t)?11x(t)????????1???11?

???0A??x2(t)??B2f2(t)?2?x(t)?2???由框图得：

f1(t)?f(t)?y2(t)?f(t)?C2x2(t)f2(t)?y1(t)?C1x1(t)