动态规划算法背包问题

动态规划算法背包问题第1页，共12页，2023年，2月20日，星期日例：输出Fibonacii数列的第n项的递归算法#include<stdio.h>intfib(intn){ if(n<=1)return1; elsereturnfib(n-1)+fib(n-2);}voidmain(){ intn; scanf("%d",&n); printf("%d\n",fib(n));}

在上面的递归算法中存在多次计算同一个子问题,如：fib(2)。如果能将这样的子问题的解用数组保存起来，即可以加快求解的过程，即采用动态规划方法。第2页，共12页，2023年，2月20日，星期日//输出Fibonacii数列的第n项的动态规划算法#include<stdio.h>#defineMAX50intfib(intn){ inti,a[MAX]; a[1]=a[2]=1; for(i=3;i<=n;i++) a[i]=a[i-1]+a[i-2]; returna[n];}voidmain(){ intn;scanf("%d",&n); printf("%d\n",fib(n));}第3页，共12页，2023年，2月20日，星期日例1：0-1背包问题

有一个负重能力为m的背包和不同价值v[i]、不同重量w[i]的物品n件。在不超过负重能力的前提下，从这n件物品中任意选择物品，使这些物品的价值之和最大。

物品1234重量5321价值4431第4页，共12页，2023年，2月20日，星期日m[i][j]=m[i+1][j] 当j<w[i]Max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i])当j>=w[i]

算法思想1：设m[i][j]用来表示从第i项物品开始到第n项物品中区取出装入体积为j的背包的物品的最大价值。其中i的范围为1到n，其中j的范围为0到c，程序要寻求的解为m[1][c]。可以发现：①m[n][j]在当j>=0并且j<w[n]时等于0，否则等于v[n]②当前的背包容量j大于等于物品重量w[i]时，m[i][j]是下面两个量的最大值：m[i+1][j]和m[i+1][j-w[i]]+v[i]③当前的背包容量j小于物品重量w[i]时，m[i][j]等于m[i+1][j]。m[n][j]=v[n] 当j>=w[n]0当j>=0并且j<w[n]第5页，共12页，2023年，2月20日，星期日//程序1：动态规划法#include<stdio.h>#defineMAX20intn,c,w[MAX],v[MAX],m[MAX][MAX]={0};voiddisp(){ inti; for(i=1;i<=n;i++) if(m[i][c]!=m[i+1][c]) printf("%5d%5d\n",w[i],v[i]);}第6页，共12页，2023年，2月20日，星期日voidknapsack(){inti,j;for(j=w[n];j<=c;j++) m[n][j]=v[n];for(i=n-1;i>=1;i--)for(j=w[i];j<=c;j++) if(m[i+1][j]>m[i+1][j-w[i]]+v[i]) m[i][j]=m[i+1][j]; elsem[i][j]=m[i+1][j-w[i]]+v[i];}第7页，共12页，2023年，2月20日，星期日voidmain(){ inti,j; printf("输入物品种数:");scanf("%d",&n); printf("输入每种物品的重量与价值:\n"); for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&w[i],&v[i]); printf("输入背包的总重量:\n");scanf("%d",&c); knapsack();disp(); printf("最大价值=%d\n",m[0][c]); for(i=1;i<=n;i++) { for(j=0;j<=c;j++) printf("%3d",m[i][j]); printf("\n");}}第8页，共12页，2023年，2月20日，星期日m[i][j]=0 i=0或者j=0m[i-1][j] j>0且j<w[i]Max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i])i>0且j>=w[i]

算法思想2：设m[i][j]用来表示从前i项物品中区取出装入体积为j的背包的物品的最大价值。其中i的范围为1到n，其中j的范围为0到c，程序要寻求的解为m[n][c]。可以清楚地发现：①m[0][j]对所有的j的值为0，m[i][0]对所有的i的值为0。②当前的体积j大于等于w[i]时，m[i][j]是下面两个量的最大值：m[i-1][j]和m[i-1][j-w[i]]+v[i]③当前的体积j小于w[i]时，m[i][j]等于m[i-1][j]第9页，共12页，2023年，2月20日，星期日//程序2:动态规划法#include<stdio.h>#defineMAX20intn,c,w[MAX],v[MAX],m[MAX][MAX]={0};voidknapsack(){inti,j;for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=c;j++) {m[i][j]=m[i-1][j]; if(j>=w[i-1]&&m[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]>m[i][j]) m[i][j]=m[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]; }}第10页，共12页，2023年，2月20日，星期日//显示所取的物品及其重量（其中一个解）//对数组m的最后一列检查来求解voiddisp(){ inti,j; i=n; while(m[i][c]==m[i-1][c])i--; while(i>0) { j=i-1; while(m[i][c]-m[j][c]!=v[i-1]&&j>0) j--; printf("%5d%5d\n",w[i-1],v[i-1]); i=j; }}第11页，共12页，2023年，2月20日，星期日voidmain(){ inti,j; printf("输入物品种数:");scanf("%d",&n); printf("输入每种物品的重量与价值:\n"); for(i=0;i<n;i++) scanf("%d%d",&w[i],&v[i]); printf("输入背包的总重量:\n");scanf("%d",&c