对偶问题和运输问题

对偶问题和运输问题第1页，共76页，2023年，2月20日，星期一例3写对偶问题Minz=2x1+3x2-5x3+x4

x1+x2-3x3+x4>=52x1+2x3-x4<=4

x2+x3+x4=6x1<=0,x2,x3>=0x4无约束

Maxz’=5y1+4y2+6y3y1+2y2>=0y1+y3<=0-3y1+2y2+y3<=-5y1-y2+y3=1y1>=0,y2<=0,y3无约束第2页，共76页，2023年，2月20日，星期一3.对偶定理(原问题与对偶问题解的关系）考虑（LP）和（DP）

定理3-1(弱对偶定理）

若x,y分别为（LP)和（DP）的可行解，那么cTx≤bTy。推论

若（LP）可行，那么（LP）无有限最优解的充分必要条件是（LD）无可行解。1.线性规划对偶问题第3页，共76页，2023年，2月20日，星期一

定理3-2(最优性准则定理)

若x,y分别(LP),(DP)的可行解,且cTx=bTy，那么x,y分别为(LP)和(DP)的最优解。

定理3-3(主对偶定理)

若(LP)和(DP)均可行那么(LP)和(DP)均有最优解,且最优值相等。以上定理、推论对任意形式的相应性规划的对偶均有效1.线性规划对偶问题第4页，共76页，2023年，2月20日，星期一4、原始问题和对偶问题最优解之间的互补松弛关系minz=CTXs.t.AX-XS=bX,XS≥0maxy=bTWs.t.ATW+WS=CW,WS≥0minz=CTXs.t.AX≥bX≥0maxy=bTWs.t.ATW≤CW≥0对偶引进松弛变量引进松弛变量XTWS=0WTXS=0互补松弛关系X，XsW，Ws第5页，共76页，2023年，2月20日，星期一五、对偶的经济解释1、原始问题是利润最大化的生产计划问题单位产品的利润（元/件）产品产量（件）总利润（元）资源限量（吨）单位产品消耗的资源（吨/件）剩余的资源（吨）消耗的资源（吨）第6页，共76页，2023年，2月20日，星期一2、对偶问题资源限量（吨）资源价格（元/吨）总利润（元）对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解w1、w2、...、wm称为m种资源的影子价格（ShadowPrice）原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润maxz=miny第7页，共76页，2023年，2月20日，星期一3、资源影子价格的性质影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子价格一定等于0第8页，共76页，2023年，2月20日，星期一影子价格的经济含义(1)影子价格是对现有资源实现最大效益时的一种估价企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的使用有两种考虑：第一，是否将设备用于外加工或出租，若租费高于某设备的影子价格，可考虑出租该设备，否则不宜出租。第二，是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低于某设备的影子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。1.线性规划对偶问题第9页，共76页，2023年，2月20日，星期一需要指出，影子价格不是固定不变的，当约束条件、产品利润等发生变化时，有可能使影子价格发生变化。另外，影子价格的经济含义（2），是指资源在一定范围内增加时的情况，当某种资源的增加超过了这个“一定的范围”时，总利润的增加量则不是按照影子价格给出的数值线性地增加。这个问题还将在灵敏度分析一节中讨论。1.线性规划对偶问题第10页，共76页，2023年，2月20日，星期一5.由最优单纯形表求对偶问题最优解标准形式：

Max

z=50x1+100x2

s.t.x1+x2+x3=3002x1+x2+x4=400

x2+x5=250

x1,x2,x3,x4,x5

≥01.线性规划对偶问题第11页，共76页，2023年，2月20日，星期一maxz=CTXs.t.AX+XS=bX,XS≥0maxy=bTWs.t.ATW-WS=CW,WS≥0maxz=CTXs.t.AX≤bX≥0miny=bTWs.t.ATW≥CW≥0单纯形表和对偶对偶问题原始问题引进松弛变量引进松弛变量第12页，共76页，2023年，2月20日，星期一maxz=CTXs.t.AX+XS=bX,XS≥0miny=bTWs.t.ATW-WS=CW,WS≥0WT=CBTB-1WST=WTA-CT第13页，共76页，2023年，2月20日，星期一-cBTB-1IB=(p1,p4,p2)oTB-1最优解

x1=50x2=250x4=50影子价格

y1=50y2=0y3=50,B-1对应的检验数

T=cBTB-1。1.线性规划对偶问题第14页，共76页，2023年，2月20日，星期一例3.2：求解线性规划问题：

标准化：Maxz=-2x1-3x2-4x3s.t.

-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4

x1,x2,x3,x4,x5≥0Minf=2x1+3x2+4x3

S.t.x1+2x2+x3≥32x1-x2+x3≥4

x1,x2,x3≥0

2.对偶单纯形法第15页，共76页，2023年，2月20日，星期一

对偶单纯形法的基本思想对偶单纯形法的基本思想是：从原规划的一个基本解出发，此基本解不一定可行，但它对应着一个对偶可行解（检验数非正），所以也可以说是从一个对偶可行解出发；然后检验原规划的基本解是否可行，即是否有负的分量，如果有小于零的分量，则进行迭代，求另一个基本解，此基本解对应着另一个对偶可行解（检验数非正）。2.对偶单纯形法第16页，共76页，2023年，2月20日，星期一

如果得到的基本解的分量皆非负则该基本解为最优解。也就是说，对偶单纯形法在迭代过程中始终保持对偶解的可行性（即检验数非正），使原规划的基本解由不可行逐步变为可行，当同时得到对偶规划与原规划的可行解时，便得到原规划的最优解。2.对偶单纯形法第17页，共76页，2023年，2月20日，星期一

对偶单纯形法在什么情况下使用：

应用前提：有一个基，其对应的基满足:①单纯形表的检验数行全部非正（对偶可行）；②变量取值可有负数（非可行解）。

注：通过矩阵行变换运算，使所有相应变量取值均为非负数即得到最优单纯形表。2.对偶单纯形法第18页，共76页，2023年，2月20日，星期一

1.建立初始对偶单纯形表,对应一个基本解,所有检验数均非正,转2；

2.若b’≥0,则得到最优解,停止;否则,若有bk<0则选k行的满足min{bk<0}基变量为出基变量,转33.若所有akj’≥0(j=1,2,…,n)，则原问题无可行解,停止;否则,若有akj’<0则选

=min{j’/akj’┃akj’<0}=r’/akr’那么

xr为进基变量,转4；

4.以akr’为转轴元,作矩阵行变换使其变为1,该列其他元变为0,转2。对偶单纯形法求解线性规划问题过程：2.对偶单纯形法第19页，共76页，2023年，2月20日，星期一例3.2：求解线性规划问题：

标准化：Maxz=-2x1-3x2-4x3s.t.

-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4

x1,x2,x3,x4,x5≥0Minf=2x1+3x2+4x3

S.t.x1+2x2+x3≥32x1-x2+x3≥4

x1,x2,x3≥0

2.对偶单纯形法第20页，共76页，2023年，2月20日，星期一表格对偶单纯形法2.对偶单纯形法第21页，共76页，2023年，2月20日，星期一单纯形法和对偶单纯形法步骤是是是是否否否否所有所有得到最优解计算计算典式对应原规划的基本解是可行的典式对应原规划的基本解的检验数所有所有计算计算以为中心元素进行迭代以为中心元素进行迭代停没有最优解没有最优解单纯形法对偶单纯形法<第22页，共76页，2023年，2月20日，星期一

对偶单纯形法的适用范围对偶单纯形法适合于解如下形式的线性规划问题2.对偶单纯形法第23页，共76页，2023年，2月20日，星期一在引入松弛变量化为标准型之后，约束等式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解，非常方便。对于有些线性规划模型，如果在开始求解时不能很快使所有检验数非正，最好还是采用单纯形法求解。因为，这样可以免去为使检验数全部非正而作的许多工作。从这个意义上看，可以说，对偶单纯形法是单纯形法的一个补充。除此之外，在对线性规划进行灵敏度分析中有时也要用到对偶单纯形方法，可以简化计算。2.对偶单纯形法第24页，共76页，2023年，2月20日，星期一单纯形表的理解（例题）上表中6个常数a1,a2

,a3,b,

1,

2取值在什么范围可使1、现可行解最优，且唯一？何时不唯一？2、现基本解不可行；3、问题无可行解；4、无有限最优解；5、现基本解可行，由x1取代x6

目标函数可改善。

第25页，共76页，2023年，2月20日，星期一进一步理解最优单纯性表中各元素的含义考虑问题Maxz

=c1x1+c2x2+

…

+cnxn

s.t.a11x1+a12x2+

…

+a1nxn

=b1

a21x1+a22x2+

…

+a2nxn

=b2...

am1x1+am2x2+

…

+amnxn

=bm

x1，x2，…，xn≥03.灵敏度分析第26页，共76页，2023年，2月20日，星期一3、灵敏度分析无防设，xj=0j=m+1,…,n;

xi=bi’

i=1,…,m是基本可行解,对应的目标函数典式为：z=-f+m+1xm+1+…+nxn以下是初始单纯形表：

mm其中：f=-∑cibi’

j=cj-∑ciaij’

为检验数。向量b’=B-1bi=1i=1A=[p1,p2,…,pn],pj’=B-1pj,pj’=(a1j’,a2j’,…,amj’)T，j=m+1,…,n第27页，共76页，2023年，2月20日，星期一ci

,bj发生变化增加一约束或变量及A中元素发生变化—通过例题学会处理对于表格单纯形法，通过计算得到最优单纯形表。应能够找到最优基B的逆矩阵B-1

，B-1b以及B-1N，检验数j

等。3.灵敏度分析第28页，共76页，2023年，2月20日，星期一

价值系数c发生变化：

m考虑检验数

j=cj-∑criarij

j=1,2,……,n

i=1

1.

若ck是非基变量的系数：设ck变化为ck

+

ck

k’=ck

+ck-∑criarik

=k+ck只要k’≤0,即

ck

≤-k，则最优解不变；否则，将最优单纯形表中的检验数

k用k’取代，继续单纯形法的表格计算。

3.灵敏度分析第29页，共76页，2023年，2月20日，星期一例3.3:Maxz=-2x1-3x2-4x3S.t.

-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4

x1,x2,x3,x4,x5≥03.灵敏度分析第30页，共76页，2023年，2月20日，星期一例：最优单纯形表

从表中看到σ3=c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23)可得到Δc3≤9/5时，原最优解不变。3.灵敏度分析第31页，共76页，2023年，2月20日，星期一2、若cs是基变量的系数：

设cs变化为cs

+cs

，那么

j’=cj-∑criarij

-(

cs+cs)asj

=j

-csasj

，

i≠s

对所有非基变量，只要对所有非基变量

j’≤0，即j

≤csasj

，则最优解不变；否则，将最优单纯形表中的检验数

j用j’取代，继续单纯形法的表格计算。

Max{j/asjasj>0}≤cs≤Min{j/asjasj<0}

3.灵敏度分析第32页，共76页，2023年，2月20日，星期一例3.4:

Maxz=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5

s.t.

x1+2x2+x3=84x1+x4=164x2+x5=

12

x1,x2,x3,x4,x5

≥03.灵敏度分析第33页，共76页，2023年，2月20日，星期一例:

下表为最优单纯形表,考虑基变量系数c2发生变化从表中看到σj=cj-(c1×a1j+c5×

a5j+(c2+Δc2)×a2j)j=3,4可得到

-3≤Δc2≤1时，原最优解不变。3.灵敏度分析第34页，共76页，2023年，2月20日，星期一

右端项b发生变化设分量br

变化为br+br

，根据第1章的讨论，最优解的基变量xB=B-1b，那么只要保持B-1(b+b)≥0，则最优基不变，即基变量保持，只有值的变化；否则，需要利用对偶单纯形法继续计算。

对于问题

(LP)Maxz=cT

xs.t.

Ax≤b

x≥03.灵敏度分析第35页，共76页，2023年，2月20日，星期一最优单纯形表中含有B-1=(aij）i=1,…,m;j=n+1,…,n+m

那么新的xi=(B-1b)i+brair

i=1,…,m。由此可得，最优基不变的条件是Max{-bi/airair>0}≤br≤Min{-bi/airair<0}3.灵敏度分析第36页，共76页，2023年，2月20日，星期一例3.5:

上例最优单纯形表如下

3.灵敏度分析第37页，共76页，2023年，2月20日，星期一00.250这里B-1=-20.510.5-0.1250各列分别对应b1、b2、b3的单一变化因此，设b1增加4，则x1,x5,x2分别变为：4+0×4=4,4+(-2)×4=-4<0,2+0.5×4=4用对偶单纯形法进一步求解，可得：x*=(4,3,2,0,0)Tf*=173.灵敏度分析第38页，共76页，2023年，2月20日，星期一

增加一个变量增加变量xn+1则有相应的pn+1,cn+1。那么计算出B-1pn+1,

n+1=cn+1-∑criari

n+1填入最优单纯形表,若n+1≤0则最优解不变；否则，进一步用单纯形法求解。3.灵敏度分析第39页，共76页，2023年，2月20日，星期一例3.6:例3.4增加x6,p6=(2,6,3)T,c6=5计算得到用单纯形法进一步求解，可得：x*=(1,1.5,0,0,0,2)Tf*=16.53.灵敏度分析第40页，共76页，2023年，2月20日，星期一

增加一个约束增加约束一个之后，应把最优解带入新的约束，若满足则最优解不变，否则填入最优单纯形表作为新的一行，引入一个新的非负变量（原约束若是小于等于形式可引入非负松弛变量，否则引入非负人工变量），并通过矩阵行变换把对应基变量的元素变为0，进一步用单纯形法或对偶单纯形法求解。3.灵敏度分析第41页，共76页，2023年，2月20日，星期一例3.7:例3.4增加3x1+2x2≤15，原最优解不满足这个约束。于是3.灵敏度分析经对偶单纯形法一步，可得最优解为（3.5,2.25,0,0,3,2)T，最优值为13.75第42页，共76页，2023年，2月20日，星期一

A中元素发生变化(只讨论N中某一列变化情况）与增加变量xn+1的情况类似，假设pj

变化。那么，重新计算出

B-1pj

j=cj-∑criarij

填入最优单纯形表，若j≤0则最优解不变；否则，进一步用单纯形法求解。（例子从略）3.灵敏度分析第43页，共76页，2023年，2月20日，星期一第四章运输问题

运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表

初始基础可行解 西北角法、最小元素法

非基变量的检验数 闭回路法、对偶变量法

确定进基变量，调整运量，确定离基 变量第44页，共76页，2023年，2月20日，星期一2321341运输问题网络图s2=27s3=19d1=22d2=13d3=12d4=13s1=14供应量供应地运价需求量需求地6753842759106第45页，共76页，2023年，2月20日，星期一运输问题线性规划模型供应地约束需求地约束第46页，共76页，2023年，2月20日，星期一运输问题的表格表示第47页，共76页，2023年，2月20日，星期一初始基础可行解—西北角法813131466第48页，共76页，2023年，2月20日，星期一初始基础可行解—最小元素法（1）第49页，共76页，2023年，2月20日，星期一最小元素法（2）第50页，共76页，2023年，2月20日，星期一最小元素法（3）第51页，共76页，2023年，2月20日，星期一最小元素法（4）第52页，共76页，2023年，2月20日，星期一最小元素法（5）第53页，共76页，2023年，2月20日，星期一最小元素法（6）第54页，共76页，2023年，2月20日，星期一-5非基变量xij的检验数zij-cij—闭回路法(1)z12-c12=(c11-c21+c22)-c12=6-8+4-7=-5第55页，共76页，2023年，2月20日，星期一-5闭回路法(2)z13-c13=(c11-c21+c23)-c13=6-8+2-5=-5-5第56页，共76页，2023年，2月20日，星期一-5闭回路法(3)z14-c14=(c11-c21+c21-c23+c33-c14)-c13=(6-8+2-10+6)-3=-7-7-5第57页，共76页，2023年，2月20日，星期一-5闭回路法(4)z24-c24=(c23-c33+c34)-c24=(2-10+6)-7=-9-9-5-7第58页，共76页，2023年，2月20日，星期一-5闭回路法(5)z31-c31=(c21-c23+c33)-c31=(8-2+10)-5=+11+11-5-7-9第59页，共76页，2023年，2月20日，星期一-5闭回路法(6)z32-c32=(c22-c23+c33)-c32=(4-2+10)-9=+3+3-5-7-9+11第60页，共76页，2023年，2月20日，星期一非基变量xij的