线性矩阵不等式在控制理论的应用专家讲座

线性矩阵不等式在控制理论应用

汇报人：潘宁导师：蔡云泽

.04.7线性矩阵不等式在控制理论的应用第1页控制领域发展现实状况LMI介绍Matlab软件中LMI工具包LinearMatrixInequality线性矩阵不等式在控制理论的应用第2页控制领域发展现实状况控制理论发展当代控制理论自20世纪50年代，当代控制理论飞速发展，在随即工业应用中（1）描述物理系统解析模型复杂（2）模型不能准确刻画对于这类复杂不确定性系统分析与综合，引出一个全新领域：参数不确定性系统鲁棒性能分析与综合问题。它是近20年以来，国际自动控制界最活跃研究领域之一。提出诸如H无穷，H2,u方法等全新结果。

控制领域发展引入两大难题经典控制理论线性矩阵不等式在控制理论的应用第3页控制领域发展现实状况求解方法存在问题克服Riccati缺点Lyapunov

控制问题转化求解提前设定参数控制问题转化求解Matlab工具包Riccati方程（早期）LMI(20世纪90年代)在时域中研究这类鲁棒不确定性问题，主要理论基础是Lyapunov稳定性理论线性矩阵不等式在控制理论的应用第4页控制领域发展现实状况Riccati方程处理方法

在过去10余年内,因为线性矩阵不等式(LMI)优良性质以及解法突破,使其在控制系统分析和设计方面得到了广泛重视和应用。在此之前,绝大多数控制问题都是经过Riccat方程或其不等式方法来处理。不过解Riccati方程或其不等式时,有大量参数和正定对称矩阵需要预先调整。有时,即使问题本身是有解,也找不出问题解。这给实际应用问题处理带来极大不便,含有很大保守性LinearMatrixInequality处理方法线性矩阵不等式方法给出了问题可解一个凸约束条件,所以,能够应用求解凸优化问题有效方法来进行求解,不需要预先调整任何参数和正定对称矩阵,大大降低了间题求解保守性和方便性。同时这种凸约束条件任意一个可行解都是满足设计要求控制器,这一性能在求解系统多目标控制问题时是尤其有用‘线性矩阵不等式在控制理论的应用第5页控制领域发展现实状况LMI介绍Matlab软件中LMI工具包LinearMatrixInequality线性矩阵不等式在控制理论的应用第6页LinearMatrixInequality线性矩阵不等式在控制理论的应用第7页LinearMatrixInequality引理1：（schur补引理）对于给定矩阵S，线性矩阵不等式在控制理论的应用第8页LinearMatrixInequalityLMI在控制领域应用线性矩阵不等式在控制理论的应用第9页控制领域发展现实状况LMI介绍Matlab软件中LMI工具LinearMatrixInequality线性矩阵不等式在控制理论的应用第10页MatlabLMI工具包Matlab软件开发出功效强大、LMI工具箱算法就是基于内点法,它提供了与上述相对应3类标准线性矩阵不等式问题求解:feasp,mincx,gevp。线性矩阵不等式在控制理论的应用第11页MatlabLMI工具包LMI主要处理以下矩阵不等式形式：线性矩阵不等式在控制理论的应用第12页MatlabLMI工具包三个标准问题：线性矩阵不等式在控制理论的应用第13页实例仿真例1：求解满足P>I对阵矩阵P,使得A1’P+PA1<0A2’P+PA2<0A3’P+PA3<0A1=[-1,2;1,-3];A2=[-0.8,1.5;1.3,-2.7];A3=[-1.4,0.9;0.7,-2.0];线性矩阵不等式在控制理论的应用第14页实例仿真Setlmis([])P=lmivar(1,)线性矩阵不等式在控制理论的应用第15页提要NCS滤波研究背景1NCS模型描述2鲁棒H2滤波稳定性分析3鲁棒H2滤波器设计45仿真研究线性矩阵不等式在控制理论的应用第16页

NCS滤波研究背景NCS模型描述鲁棒H2滤波稳定性分析鲁棒H2滤波器设计仿真分析线性矩阵不等式在控制理论的应用第17页网络控制系统（NCS）崛起Smarthome（智能家居）日常应用automobiles（007智能车）intelligentRobot（美国军用智能狗）Telesurgery（远程手术）NCS线性矩阵不等式在控制理论的应用第18页NCS研究背景战斗机协同作战军工应用鱼雷导弹制导与控制航天火星探测NCS线性矩阵不等式在控制理论的应用第19页NCS历史追踪1998Walsh马里兰大学，给出NCS图示结构1948维纳《控制论—关于在动物和机器中控制和通信科学》于之训和顾洪军Halevi和Ray给出网络控制系统概念和明确定义Murry和As2trom等将网络控制大致分为（1）基于网络控（控制领域）（2）对网络控制（通讯领域）线性矩阵不等式在控制理论的应用第20页

NCS领域分支---滤波（信号处理）研究现实状况NCS滤波研究现实状况网络诱导时延（1）对于随机且分布特征已知网络时延,利用随机控制理论方法进行系统分析与设计.（2）对于时变、不确定网络时延,采取鲁棒控制、自适应控制、智能控制等方法进行系统分析与设计（3）经过技术伎俩将时变时延转化为固定时延,利用确定性系统方法进行分析和设计（4）主要短时延，长时延研究较少线性矩阵不等式在控制理论的应用第21页

NCS领域分支---滤波（信号处理）研究现实状况NCS滤波研究现实状况数据包丢失

因为数据包丢失展现出显著时变和不确定性,难以准确描述数据包丢失特征和模型.所以：（1）首先,建立反应时变、不确定和随机丢包特征NCS模型（2）并采取近年来出现切换系统，混合系统，异步动态分析方法,研究控制器设计方法线性矩阵不等式在控制理论的应用第22页NCS领域分支---滤波（信号处理）研究现实状况NewDerectionLincolnNoiseZhangWei于之训GoktasWalsh和Bushnell带有干扰NCS设计（去噪，滤波）卡尔曼滤波器,确保分离定理提出了一个时延赔偿结构,可实现对噪声滤波处理H∞,H2综合方法引入控制器和滤波器设计用非线性和摄动理论,将NCS中时延效应看作连续系统摄动,提出了摄动方法考虑长时延，丢包，等原因滤波研究线性矩阵不等式在控制理论的应用第23页本文研究思绪本文研究思绪传统最优滤波理论如最小二乘法、维纳滤波以及卡尔曼滤波理论均是基于系统部件之间数据传送含有没有限可能精度假设,而并未考虑实际网络环境下时延，丢包等不确定性原因；即使已经有研究试将卡尔曼滤波算法扩展到时滞情况，不过滤波公式推导复杂，且得不到最优解。在Kalman滤波理论基础上发展当代鲁棒滤波技术考虑了系统中含有不确定参数、噪声干扰统计特征不能完全获知等情况，在系统中存在不确定原因情况下能够得到很好滤波效果，但在网络环境中，接收信息还出现了延时和丢包现象。所以，基于确定性系统鲁棒滤波技术在随机系统领域已经不再适用，需要改进或开发新理论和算法。线性矩阵不等式在控制理论的应用第24页本文研究思绪本文研究思绪当前对NCS鲁棒滤波问题研究较少，且多考虑短时延。对于同时考虑时延和丢包鲁棒滤波研究更少。最新研究结果将定常系统H2滤波概念推广到随机系统，研究了同时含有随机短时延和数据包丢失随机系统H2滤波。本文基于已经有思想，研究了传感器和滤波器之间同时存在长时延及丢包

滤波器设计问题。引入随机序列，建立含有长时延和数据包丢失随机参数模型。基于该模型，经过扩展

范数在随机系统中定义，给出滤波误差系统随机范数表示式。利用状态增广方法给出满足滤波误差系统指数稳定和随机性能指标充分条件。经过求解线性矩阵不等式求出

最优滤波参数。线性矩阵不等式在控制理论的应用第25页

NCS滤波研究背景NCS模型描述鲁棒H2滤波稳定性分析鲁棒H2滤波器设计仿真分析线性矩阵不等式在控制理论的应用第26页NCS模型描述模型合理假定：（1）假设NCS被控对象为线性定常系统，状态方程为：（2）传感器和滤波器均采取时钟驱动，采样周期为T。控制器为事件驱动。（3）（4）丢包采取开关切换系统：线性矩阵不等式在控制理论的应用第27页NCS模型描述模型表示（处理时延和噪声）引入滤波方程K1发生时：K2发生时经过状态增广，将系系统方程和滤波方统方程融合为滤波误方系统引入随机序列线性矩阵不等式在控制理论的应用第28页

NCS滤波研究背景NCS模型描述鲁棒H2滤波稳定性分析鲁棒H2滤波器设计仿真分析线性矩阵不等式在控制理论的应用第29页鲁棒H2滤波稳定性分析鲁棒滤波稳定性分析

（1）对于确定线性定常系统，假如输入是标准白噪声，则系统输出均方根等于系统

H2范数。而在随机系统领域，此结论将不再适用。（2）基于

对带有随机长时延和丢包NCS滤波器设计问题可归结为设计滤波器使得：

①

滤波误差系统指数稳定；②

由扰动输入到误差状态输出

范数小于一个指定上界

，即：

<<线性矩阵不等式在控制理论的应用第30页线性矩阵不等式在控制理论的应用第31页定理线性矩阵不等式在控制理论的应用第32页

NCS滤波研究背景NCS模型描述鲁棒H2滤波稳定性分析鲁棒H2滤波器设计仿真分析线性矩阵不等式在控制理论的应用第33页鲁棒H2滤波器设计

鲁棒H2滤波器设计（将定理1矩阵不等式线性化）

采取矩阵分解，协议变换等方法，将定理1中非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式得定理2：线性矩阵不等式在控制理论的应用第34页

NCS滤波研究背景NCS模型描述鲁棒H2滤波稳定性分析鲁棒H2滤波器设计仿真分析线性矩阵不等式在控制理论的应用第35页仿真分析仿真分析利用LMI工具包进行仿真分析，仿真结果以下：线性矩