2020年(江苏卷)含详解

20202020年最新20202020年最新绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：锥体体积公式，x的标准差锥体体积公式n二,：』[(X-X)2+(x-X)2+ +(x-X)2]nn1 2 n其中x其中x为样本平均数柱体体积公式V=Sh其中S为底面面积，h为高其中S为底面面积、h为高球的表面积、体积公式4S=4nR2,V=—nR33其中R为球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．TOC\o"1-5"\h\z八/ 、 , 兀、 兀 八f（X）=cos（toX--）最小正周期为六，其中3>0,则3=65一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ▲1I*表示为a+bi（a,beR）的形式，则a+b= ▲-彳 ） 二A=X|（x-1）2<3x—7\则集合AAZ中有 ▲ 个元素—►a,b的夹角为120。,a=1,b=3,则5a-b= ▲6.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率 ▲

.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间(单位：h),现随机地选择50位老人做调查，序号(i)分组睡眠时间组中值(G.)i频数(人数)频率(F.)i1[4,5)4.560.122[5,序号(i)分组睡眠时间组中值(G.)i频数(人数)频率(F.)i1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图,则输出的S的值为..在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)在线段AO上(异于端点)，设a,b,c,p均为非零实数，直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F,一同学已正确算的OE的方程:=0，请你求OF的方程：(▲ )=0，请你求OF的kpa)10．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第n行(n>3)从左向右的第3个数为▲y2x,y,zeR*,x-2y+3z—0,—的最小值为 ▲xzx2 y2在平面直角坐标系中，椭圆——+J=1(a>b>0)的焦距为2,以O为圆心，a为半径的圆，a2b2a2一过点一,。作圆的两切线互相垂直，则离心率e=kc)若AB―2,AC—<2BC，则S 的最大值 ▲AABC f(x)―ax3—3x+1对于xeI—1,1」总有f(x)>0成立，则a=▲

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(14分)如图，在平面直角坐标系％oy中，以0%轴为始边做两个锐角a,P，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为(1)求tan(a+B)的值；(2)求a+2卜的值。(14分)在四面体ABCD中，CB=CD,AD1BD,且E、F分别是AB、BD的中点，CA求证：(1)直线EF/面ACDCA(2)面EFC±WBCD(14分)某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km,BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP,设排污管道的总长为ykm。(1)按下列要求写出函数关系式：①设NBAO=0(”或，将y表示成9的函数关系式；②设OP=%(km),将y表示成％的函数关系式；(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。(16分)设平面直角坐标系％oy中，设二次函数f(x)=x2+2x+b(xeR)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求：(1)求实数b的取值范围(2)求圆C的方程(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论。(16分)(1)设a,a,……a是各项均不为零的等差数列(几>4),且公差d丰0,若将此数列12 n删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列：a①当n=4时，求-1的数值；②求n的所有可能值；d(2)求证：对于一个给定的正整数n(n>4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列b,b, b,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。TOC\o"1-5"\h\z12 n(16分)I [f(x),f(x)<f(x)\o"CurrentDocument"若f(x)—3x-p1,f(x)=2•3x-pJ,xeR,p,p为常数，且f(x)=s1 1 21 2, , ,1 2 12 1f(x),f(x)>f(x)\o"CurrentDocument"21 2(1)求f(x)-f(x)对所有实数x成立的充要条件(用p,p表示)1 12(2)设a,b为两实数，a<b且p,pe(a,b)若f(a)—f(b)12求证：f(x)在区间la,b]上的单调增区间的长度和为b[a(闭区间鼠,n]的长度定义为n-m)

卷221.（选做题）从A,B,C,D四个中选做2个，每题10分，共20分.A.选修4一1几何证明选讲如图，设^ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,ZBAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2=EBEC.BB.选修4-2矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵a=221对应的变换作用下得到曲线F,—V/JL—求F的方程.C.选修4-4参数方程与极坐标x2

在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆—+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.D.选修4-5不等式证明选讲、r 1 1 1 7一片设a，b，c为正实数，求证：一+—+—abc三2<3.a3b3c3必做题

22.记动点22.记动点P是棱长为1的正方体ABCD-ABCD的对角线BD上一点，记1111DP=九.当ZAPCDB1为钝角时，求九的取值范围.23.请先阅读：在等式cos2x=2cos2x—1(xeR)的两边求导，得:(cos2x)，=(2cos2x-1)rA,由求导法则，得(—sin2x)2=4cosx(-sinx)A化简得等式：sin2x=2cosxsinx.(1)利用上题的想法(或其他方法)，试由等式(1+x)n=Co+C1x+C2x2+ +Cnxn(xGR,nn n n正整数n三2)，证明：n[(1+x)n-i-1]=ZkCkxk-i.nk=1(2(2)对于正整数n三3，求证:(i(i)(ii)Z(-1)kkCk=0；nk=1(—1)kk2ck=0；nk=1Z1厂 2n+1-1^^ Ck= .k+1nn+1k=1

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分., 兀、, 八、 兀.若函数y=C0S（3x-丁）（3>0）最小正周期为"，则3=—▲6 5【解析】本小题考查三角函数的周期公式.T=至=?=3=1035【答案】10.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是—▲【解析】本小题考查古典概型.基本事件共6X6个，点数和为4的有（1,3）、（2,2）、（3,1）共3个,6x6x6121【答案】行1I.3.若将复数丁二■表示为a+bi（a,bgR,i是虚数单位）的形式，则a+b= ▲1—i【解析】本小题考查复数的除法运算.・・・士=^^=i,・•.a=0,b=1,因此a+b=1

1-i2【答案】14.若集合A={xl(x-1)2<3x+7,xgR}，则AZ中有▲个元素【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式.由（x-1）2<3x+7得x2-5x-6<0,・・・A=(-1,6)，因此AZ={0,123,4,5},共有6个元素.【答案】6 n.已知向量a和b的夹角为1200,Ia1=1,1b1=3，则15a-b1= ▲ ,【解析】本小题考查向量的线性运算.5a-b2=（5a-b）=25a2-10ab+b2(1A=25x12-10x1x3x—+32=49,5a-b=7I2' 1 -►—►【答案】7.在平面直角坐标系xqy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是所正到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则投点在E中的概率是一▲所正【解析】本小题考查古典概型.如图：区域D表示边长为4的方形的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因

此．兀*124此．兀*124X416【答案】=16.某地区为了解70-80岁的老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调序号i分组(睡眠时间)组中值(G序号i分组(睡眠时间)组中值(G)频数(人数)频率(F)1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：【解析】由流程图S=GF+GF+GF+GF+GFTOC\o"1-5"\h\z11 22 33 44 55=4.5x0.12+5.5x0.20+6.5x0.40+7.5x0.2+8.5x0.08=6.42【答案】6.42\o"CurrentDocument".设直线y=1x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值是 ▲1 11【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法.y=，令一=-得x=2,故切点(2,ln2),x x2代入直线方程，得，所以b=ln2-1.【答案】ln2—1.如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,〃),B(b,0),C(c,0)，点P(0,P)在线段AO上的一点(异于端点)，这里a,b,c,p均为非零实数，设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F,某同学已正确求得直线OE的方,请你完成直线OF,请你完成直线OF的方程:11 xy猜想填——7.事实上，由截距式可得直线AB：7+-=1,cb ba

xy直线CP：-+-=1,

cpxy直线CP：-+-=1,

cp (11\两式相减得了――Ibc7---y=0，显然直线AB与CP的交点F满Ipa7足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程.11【答案】一一7cb10．将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415按照以上排列的规律，第n行(n>3)从左向右的第3个数为▲【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前n-1行共有正整数1+2+…+(n—1)n2-n n2-n n2-n+6个，即-^―个，因此第n行第3个数是全体正整数中第-^―+3个，即为一2一n2一n+6【答案】——y2.设x,j,z为正实数，满足x—2y+3z=0，则」的最小值是▲xzx+3z y2【解析】本小题考查二元基本不等式的运用.由x-2y+3z=0得y=——，代入2_得2 xzX2+9X2+9z2+6xz>6xz+6xz4xz4xz=3，当且仅当x=3z时取“=”【答案】3x2y2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆一+J=1(">b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径a2b2(a2、作圆M，若过P一,0作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为【解析】设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA,所以▲△OAP是等腰直角三角形，故竺=0a，解得e=-=记c a2

▲<2【答案】彳.满足条件AB=2,AC=<2BC的三角形ABC的面积的最大值▲【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想.设BC=X，则AC=V'2X,根据面积公式得Saabc=2AB*BC%B=%、1-cos2B，根据余弦定理得cosB=AB2cosB=AB2+BC2-AC24+x2-2x2 4-x2S=XAABC亡，代入上式得I&x+x>2 — —由三角形三边关系有1 1,解得2V2-2<x<2,2+2,Ix+2><2x故当X=2M时取得Saabc最大值20【答案】2<2.设函数f(x)=ax3-3x+1(xgR),若对于任意的X£匚1,1］都有f(x)>0成立，则实数a的【解析】本小题考查函数单调性的综合运用.若x=0,则不论a取何值，f(x)三0显然成立；当x>0即Xg[-1,1]时，f(x)=ax3—3X+1三0可化为设g(x)=—设g(x)=—X2则g'(x)=式1-2X),所以g(x)在区间va；］上单调递增，在区间［2,1上单调递减，因此g(x) =gmax=4，从而a三4；gg(x)二由—M>0当x<0即[-1,0)时，f(X)=ax3-3x+1三0可化为a<-——X2X3g(x)在区间［-1,0)上单调递增，因此g(x) =g(-1)=4,从而aW4,综上a=4man【答案】4二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角a,p,它们的终边分别交单位圆于AB两点.已知AB两点的横坐标分别2<5(1)求tan(a+p)的值;(2)求a+2P的值.【试题解析】先由已知条件得cosa=《.cosP=了，第(1)问求tan(a+p)的值，运用正切的和角公式；第(2)问求a+2p的值，先求出tan(a+2p)的值，再根据范围确定角的值。【标准答案】v'2D 2<5(1)由已知条件即三角函数的定义可知cosa=[0，cosP= ,因a为锐角，故sina>0,，一 ———7<2从而sina=%1-cos2a=同理可得sinp二手一cos2p=-^5-1，因此tana=7,tanp=-.^2tana+tanp所以tan(a+p)=1-tanatanp(2)tan(a+2p)=tan[(a+p)+p]=7+12.-7x12-3+12冗一冗一 一 3兀又0<a<—,0<p<一，故0<a+2p<——,2 2 23兀从而由tan(a+2p)=-1得a+2p=—.416.如图，在四面体ABCD中，CB=CD,AD±BD,E,F分别是AB,BD的中点.求证：(1)直线EF//面ACD；(2)平面EFC±面BCD.【试题解析】第1问根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，第2问，需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直。【标准答案】证明：(1).「E,F分别是AB,BD的中点.，.EF是4ABD的中位线，・，・EF〃AD,EF#0面ACD,ADu面ACD,・•.直线EF〃面ACD；(2)VAD±BD,EF#AD,AEF±BD,CB=CD,F是BD的中点，・，.CF，BD又EFnCF=F,・•・BD，面EFC,••BDu面BCD,・•.面EFC±面BCD17.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处.AB=20km,BC=10卜皿.为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)且与A,B等距的一点BO,PO.记铺设管道的总长度为jkm.BO,PO.记铺设管道的总长度为jkm.(i)设/BAO=0(rad),将y表示成0的函数；(ii)设OP=x(km),将y表示成x的函数;(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的置，使铺设的污水管道的总长度最短。【解析】本小题主要考查函数最值的应用.(I)①由条件知PQ垂直平分AB,若/BAO：0(rad)OB=-I0-，又OP=10-10tan0,,,cos0所以y=OA+OB+OP=-I0-+-I0-+10-10tan0,cos0cos020-20-10sin0所求函数关系式为y=(八兀、+100<0<-②若OP=x(km),贝UOQ=10-x,所以OA=OB=、：,(10-x:+102=\:'x2-20x+200所求函数关系式为y=x+2\:x2-20x+200(0<x<10)(II)选择函数模型①，-10cos0cos0-(20-10sin0)(-sin0)10(2sin0(II)选择函数模型①，y'= = cos20 cos20TOC\o"1-5"\h\z- -令y'=0得sin0=—,因为0<0<,所以0=—,4 6八(c-\ „ c ((--\ „ c当0g0,-时，y<0,y是0的减函数；当0g-,-时，y>0,y是0的增函数，所I6J 164J以当0=-时，y=10+10<3。这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB6 min边一3—km处。.在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f(x)=x2+2x+b(xeR)与两坐标轴有三个交点.经过三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的无关)？请证明你的结论.解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.(I)令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b)；令f(x)=x2+2x+b=0，由题意bW0且A>0,解得b<l且bW0.(II)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2,F=b.令x=0得y2+Ey=0,此方程有一个根为卜代入得出E=—b—1.所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.(Ill)圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点(x,y)(x,y不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，0000并变形为x2+y2+2x-y+b(1-y)=0 (*)00 00 0为使(*)式对所有满足b<1(b中0)的b都成立，必须有1-y=0，结合(*)式得0(x=0,fx=-2,x2+y2+2x-y=0，解得<0或<040 0 0 0 Iy=1, Iy=1,00经检验知，点(0,1),(-2,0)均在圆C上，因此圆C过定点。.(1)设a,a,,a是各项均不为零的n(n三4)项等差数列，且公差d丰0,若将此数列12 n删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列.a⑴当n=4•时，求力的数值；d(ii)求n的所有可能值.(2)求证：对于给定的正整数n(n三4),存在一个各项及公差均不为零的等差数列b，b，…，b，其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.12 n解：(1)①当n=4时，a,a,a,a中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数1234列，则推出d=0。a若删去a，则a2=a•a，即(a+2d)2=a•(a+3d)化简得a+4d-0，得r=-4TOC\o"1-5"\h\z2 3 14 1 1 1 1 da若删去a，则a2=a-a，即(a+d)2=a•(a+3d)化简得a—d=0，得t=13 2 14 1 1 1 1 d综上，得azJ或az=1。dd②当n=5时，a,a,a,a,a中同样不可能删去a,a,a,a，否则出现连续三项。12345 1245若删去a，则a-a=a-a，即a(a+4d)=(a+d)•(a+3d)化简得3d2=0，因为3 15 24 11 1 1d中0，所以a不能删去；3当n三6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列a,a,a,,a,a,a中，由于不123 n—2n—1n能删去首项或末项，若删去a，则必有a•a=a•a，这与d中0矛盾；同样若删去a也有2 1n3n—2 n—1a•a=a•a，这与d中0矛盾；若删去a,,a中任意一个，则必有a•a=a♦a，这与1n3n—2 3 n—2 1n2n—1d丰0矛盾。(或者说：当n三6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，n-4。(2)假设对于某个正整数n，存在一个公差为・d•的n项等差数列b,b,……b，其中b,b,b12 n x+1y+1z+1(0<x<y<工<n—1)为任意三项成等比数列，贝ijb2=b•b，即y+1x+1z+1(b+yd)2=(b+xd)•(b+zd)，化简得(y2—xz)d2=(x+z—2y)bd (*)1 11 1由bd中0知，y2—xz与x+z—2y同时为0或同时不为01当y2—xz与x+z—2y同时为0时，有x=y=z与题设矛盾。by2—xz故y2—xz与x+z—2y同时不为0，所以由(*)得子= -dx+z—2yb因为0<x<y<z<n-1,且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而或为有理数。db于是，对于任意的正整数n(n>4)，只要寸为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。d例如n项数列1，1+戊，1+2V2，……，1+(n—1)；2满足要求。20已知函数〃x)=3x-/，f2(x)=2•3x-0p(x£RPjP2为常数)函数f(x)定义为：对每f(x),若f(x)<f(x)个给定的实数x，f个给定的实数x，f(x)=[f(x),若f(x)>f(x)212(1)求f(x)=f,(x)对所有实数x成立的充分必要条件(用PjP2表示);⑵设a，b是两个实数，满足a<b,且P1，P2£(a,b).若f(a)=f(b)，求证：函数f(x)在区间

b—a［a,b］上的单调增区间的长度之和为——（闭区间［m,n］的长度定义为n-m）解：（1）由f（X）的定义可知，f（X）=f（x）（对所有实数x）等价于1f（X）<f（x）（对所有实数X）这又等价于31X-力<23lX-1，即123X-^-X-<310g32=2对所有实数X均成立. （*）由于X-p-X-p<(X-p)-(X-p)1=p-p1(XGR)的最大值为|p-p，1 2 1 21 1 21 11 2故（*）等价于31p1-p2<2，即|p1-p2|<10g32，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论⑴当Ip1-P2恪log32时，由⑴知f(X)=f1(X)则由f(a)=f(b)则由f(a)=f(b)及a<pa a+b<b易知p=「^-1 121 1的单调性可知，3x-prx>p1（对所有实数Xg［a,b］）(ii)^1-P2>蜒32时，不妨设p1<J,则p-p（对所有实数Xg［a,b］）(ii)^1-P2>蜒32时，不妨设p1<J,则p-p>log2，于是21 3当X<p1时，有f1(X)=3p1-X<332-X<f2(X)，从而f(XX于1(X)；当x>p时，有f(x)=3x-p1=3p2-p1+x-p2=3p2-p13x-p2>310g323x-p2=f(x)

21 2从而f(X)=f2(X)；当p1 <X< p2 时，f1(X)=3X-p1，及 f2(X) =2 -332-X，由方程3X-p1 =2- 3p2-X解得f(X)与f(X)图象交点的横坐标为12p+p1x=--2-+log2o2 2 3显然p<X=p--[(p-p)-log2]<p，1 0 22 2 1 3 2图2这表明x在p与p之间。由⑴易知012

图2一、If(x)f(x)=1人、[f(x),p<x<x10,p<x<x10,x<x<p02综上可知，在区间［a,b］上，f(x)=f(x)

1f(x)

2a<x<x0x<x<b0（参见示意图2）故由函数fi（x）及f/x）的单调性可知，f（x）在区间［⑪］上的单调增区间的长度之和为TOC\o"1-5"\h\z(x—P)+(b—P)，由于f(a)=f(b)，即3Pi-a=2•3b-p2，得01 2p+p=a+b+log2 ⑵12 3故由⑴、⑵得(x-P)+(b-P)=b-]P+P-log2]=b—a0 1 2 21 2 3 2b-a综合（i）（ii）可知，f（x）在区间［a,b］上的单调增区间的长度和为一^2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学附加题参考答案21：从A,B,C,D四个中选做2个，每题10分，共20分A.选修4一1几何证明选讲如图，设AABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，/BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2=EBEC.证明：如图，因为AE是圆的切线，所以，ZABC=/CAE,又因为AD是/BAC的平分线，所以/BAD=/CAD从而ZABC+ZBAD=/CAE+ZCAD因为/ADE=ZABC+ZBAD,/DAE=/CAD+ZCAE所以ZADE=ZDAE,故EA=ED.因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知,EA2=EC-EB,而EA=ED，所以ED2=ECEBB.选修4一2矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵2Lo01」对应的变换作用下得到曲线F,求F的方程．解：设p(x,y)解：设p(x,y)是椭圆上任意一点，点p(x,y)在矩阵A对应的变换下变为点0000rnx'x'20xx,=2xx=—。0二L010，即V00,所以v0 2y,。Ly0」y0=y0y=y'00p'（x0',y0'）则有故4x；+y厂1,又因为点P在椭圆上，从而（xp2+（y。）2二1所以，曲线F的方程是x2+y2=1C.选修4—4参数方程与极坐标x2在平面直角坐标系xOy中，点P（x,y）是椭圆—+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.解：因椭圆x2+y2=1的参数方程为卜="3cos,（。为参数）3 [y=sin,故可设动点P的坐标为（J3cos。,sin。），其中0V。＜2兀.3 , 1 兀因止匕S-x+y=、：3cos。+sin。=2（-—cos。+—sin。）=2sin（巾+—21 ^2 3所以，当。=：时，S取最大值26D.选修4—5不等式证明选讲设a,b设a,b,c为正实数，求证:111 + + a3b3c3证明：因为a,b,c为正实数，111c由平均不等式可得a+L百，33

abc3

abc即+ + 2a3 b3 c3所以工+LLabc2A+abc,a3b3c3 abc而一+abc22一abc-2<3abc abc・三2%3・三2%3所以——十尸+―a3 b3 c3

22.【必做题】记动点P是棱长为1的正方体ABCD-ABCD的对角线BD上一点，记111122.【必做题】记动点P是棱长为1的正方体ABCD-ABCD的对角线BD上一点，记1111DP)t+=九.当DB1^APC为钝角时，求九的取值范围.解：由题设可知，以DA、DC、DD为单位正交基底，

1建立如图所示的空间直角坐标系D-肛z,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),