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文档简介

1第二节偏导数一、偏导数的定义及计算法1.定义设函数在点某邻域内有定义，固定当x在处有增量时，若极限存在，则称此极限值为函数在点处对的偏导数.记作或即2在点处对的偏导数定义为:类似，函数也记作若函数在区域D内每一点处对的偏导数都存在,则这个偏导数就是的函数,称为函数对的偏导函数。记作类似定义函数对

的偏导函数.记作f(x,y)在(x0,y0)点的偏导数，就是偏导函数在该点的函数值。3偏导函数的概念可以推广到二元以上的函数.三元函数在点处关于的偏导数为:类似地例如:说明:对多元函数求关于某一个自变量的偏导数时，只需视其它变量为常数，根据一元函数的求导公式和求导法则求导即可。由此：4例1求的偏导数.解例2求的偏导数.解例3求的偏导数.解由函数结构上的对称性知：5例4.求解法1解法2在点（1,2）处的偏导数.先求后代先代后求6即x

=y=0时,例5设求解P133总习题九：57例6求在原点处的偏导数.解本例说明：二元函数在某一点处偏导数都存在，但在该点未必连续.8设它的值随k的值的不同而改变，故所求极限不存在。92.二元函数偏导数的几何意义:xyzoS类似地,是一元函数处的导数,由一元函数导数的在几何上表示在点处的切线对轴的斜率.空间曲线几何意义知在点在几何上表示空间曲线在点处的切线对轴的斜率.10解由偏导数的几何意义,切线对x轴的倾角为：在点处的切线对轴的倾角.求曲线例7

课本P71：9-2第5题11二、高阶偏导数设函数在区域D内有偏导数：若这两个函数的偏导数存在，称其为的二阶偏导数。混合偏导数若函数在区域D内的两个二阶混合偏导数连续,则在该区域内这两个混合偏导数必相等.定理类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。12解例8设求它的二阶偏导数.再求13证例9验证函数满足方程课本例714证同理，有例10

证明函数：满足方程(拉普拉斯方程)课本例815*二、全微分在近似计算中的应用应用一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义、计算第三节全微分16定义设函数在点某邻域内有定义，分别给一增量函数相应的增量称为全增量，记作若全增量可表示为：其中仅与有关，与无关，则称函数在点处可微分.称为函数在点处的全微分.记作即17结论若函数在点处可微分，则在该点必连续.事实上，由知再由知若函数在区域D内各点处都可微分，则称函数在D内可微分。函数可微分与偏导数有什么关系？（或可微分的充分、必要条件是什么？）问题：18定理1(必要条件)若函数在点处可微分，则该函数在点的偏导数必定存在，且证特别地，当时上式也成立，同理可证若函数在点处可微分，则此时19函数的各偏导数存在只是函数可微的必要条件，而不是充分条件。注一元函数f(x)极限存在连续可导可微极限存在连续偏导数存在可微多元函数f(x,y)且连续关系图定理2(充分条件)若函数在点的偏导数连续，则函数在该点可微分.即：偏导数存在函数不

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