一轮复习人教B版第九章难点突破课第二课时　定值问题学案

第二课时定值问题I核心突破,题型剖析题型一长度或距离为定值例1(202()•新高考山东卷)已知椭圆C： 的离心率为虚，且过点42,1).(1)求C的方程；(2)点M,N在C上，且AM_L4N,4Q_LMN,。为垂足.证明：存在定点。，使得|。。|为定值.⑴解由题设得方+方=1,且巴解得。2=6,〃=3.所以C的方程为5+9=1.o3⑵证明设M(xi,yi),N(xi,y2).若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx-\-m,代入点+方=1,o3得(1+2斤)*+4%〃优+2/n2—6=0.于是Xl+X2=4km1+2P2"?2—6.①于是Xl+X2=4km1+2P2"?2—6.①故(XI-2)(X2—2)+(罗一1)&2—1)=0,整理得(K+1)x1x2+{ktn—k-2)(x\+xz)+(m—l)2+4=0.—6 Akm将①代入上式，可得(D+1)[_|_0心2—(km—k—2)[心2+(，〃—1)2+4=0,1I乙卜 1INK整理得(2Z+3m+1)(22+机-1)=0.因为A(2,1)不在直线MN上，所以2k+m—17^0,所以2攵+3机+1=0,21.所以直线MN的方程为才一g(ZWl).所以直线MN过点「停，—1j.若直线MN与x轴垂直，可得Mxi，-yi).由山讥俞=(),交椭圆C于A,B两点，求证：直线A8的斜率是定值.证明设直线AB方程为"小-2)+"。-1)=1,rr2v2因为五+5=

oLr2vr2v2因为五+5=

oL(工一2+2)2(厂1+1)2

2(x-2)2,(y-1)2,4(x-2),2(y-1)=-8--+-8-+ 2-+L、r(1-2)2(V-1)24(X-2)2(V—1)所以椭圆方程可化为g+ 2 + § + 2 =°，设A(xi,yi),5(X2,丁2),(r—2)2(v—1)24(X—2)联立直线与椭圆方程齐次化得一—+手一+ ‘8-[皿]-2)+〃()，-1)]+2(y—1) 2 [w(x-2)+—1)]=0,左右两边除以(1一2)2得、2-V+2(?+窥、2-V+2(?+窥U14Z)\x—2)4机+1二0.由根与系数关系得2伫+叫yi-1)^2-1__54_2jxi—2X2-2 2〃+1'2又直线以，尸B倾斜角互补，、 2隹+胃)所以心"+ki>B=_0I,—0,2/7+12即不+,=°，所以心8=一7=子故直线A8斜率为定值，此定值为去得Qi—2)(xi-2)+(y\-1)(一)，i-1)=0.又亮+弓=1,所以3x?—8M+4=0.2解得了1=2(舍去),或加=不此时直线MN过点尸停，一§.令。为A尸的中点，即扇，若。与。不重合，则由题设知A尸是RlZ\ADP的斜边，故|Q0马”|=¥.若D与P重合,则|QQ|=g|AP|.综上，存在点。住，目，使得|£＞。|为定值.感悟提升1.求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.2.求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.训练1(2022•成都诊断)已知动点P(x,y)(其中工20)到定点尸(1,0)的距离比点P到)，轴的距离大1.(1)求点尸的轨迹。的方程；(2)过椭圆G：亲+台=1的右顶点作直线交曲线。于A,8两点，。为坐标原点.IVzI乙①求证：②设OA,08分别与椭圆。相交于点。，E,证明：坐标原点到直线。E的距离为定值.(1)解由题意，得N(x—1) =x+1(%20),两边平方,整理得丁=4元所以所求点P的轨迹C的方程为)，2=4.工⑵证明①设过椭圆的右顶点(4,0)的直线A8的方程为x=my+4.代入抛物线方程＞2=4龙，得)，2—4)町，-16=(),由题意知/＞().侪+"=4根，设A(xi,yi),8(X2,刈，则J Vlyiy2=-16,.\x\X2~\-y\y2=(my\+4)。〃户+4)+yi”=(1+加2)y],2+4/〃(yi+户)+16=-16(1+tn2)+4mX4m+16=0,即殖•协=0,：.OA1OB.r2v2②设D(X3,J3),E(X4,>'4),直线。E的方程为代入京+右=匕得(3於+4))2+6/+3%—48=(),/>(),工日।6/z 3A2—484万一48产3/+4+4万一48产3/+4+从而X3X4=()3+A)(/Y4+2)=Z2y3y4+ +)W)+22=•・・OQJ_OE,，而•历=(),即心足+y3y4=0,代入，整理得・•・・•・坐标原点到直线OE的距离d=W_4^21W+产 7为定值.题型二斜率或其表达式为定值例2(12分)已知抛物线CV=2px经过点尸(1,2).过点。(0,1)的直线/与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线用交y轴于M,直线PB交)，轴于N.⑴求直线/的斜率的取值范围；(2)设。为原点，QM=XQO,QN=f.iQb,求证：:为定值.［规范解答］(1)解因为抛物线)?=2px过点P(l,2),所以2P=4,即p=2.故抛物线C的方程为)，2=4K2分由题意知，直线/的斜率存在且不为0.设直线/的方程为)，=辰+1(kN0).F=4K,由｛:得榜+(24―4.+］=0.4分,y=kx+1依题意4=(2Z—4)2—4X3x1>0,

解得kl,又因为AWO,故Z<0或O4<1.又％,P8与y轴相交，故直线/不过点(1,-2).从而出#—3.所以直线/斜率的取值范围是(一8,-3)U(-3,0)U(0,1).(2)证明设A(xi,yi),5a2,yi).22—4i由(1)知Xl+l2=一二，X\X2=~^.直线%的方程为y—2==(l1).7分令工=0,得点M的纵坐标为一,+1,

2=-^r+2・一,+1,

2=-^r+2・同理得点N的纵坐标为,w=—亍1+2. 9分X21同理得点N的纵坐标为,w=同理得点N的纵坐标为,w=—亍1+2. 9分X21由师=4而，断=，西得2=1—yw,4=1—yN. 10分所屋a〃1—yM1—yN(攵-1)xi(.k—1)X222Z—412X1X2—(Xl+x2) 1elc=百 =1~~i~=2.p所以1+：=2为定值. 12分答题模板第一步求圆锥曲线的方程第二步特殊情况分类讨论第三步联立直线和圆锥曲线的方程第四步应用根与系数的关系用参数表示点的坐标第五步根据相关条件计算推证第六步明确结论训练2(2021・大同调研)如图，在平面直角坐标系X。)，中，椭圆C^4力=13»>0)的左、右顶点分别为A,B,已知|A8|=4,且点顶点分别为A,B,顶点分别为A,B,已知|A8|=4,且点e,平)在椭圆上，其中c是椭圆的离心率.(1)求椭圆C的方程；⑵设P是椭圆C上异于4,8的点，与x轴垂直的直线/分别交直线AP,8尸于点M,N,求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值.⑴解\AB\=4,***2.ci=4,即a=2.又点Q，邛&)在椭圆上，“245 (245吟+福=1，咪+高=1，又〃+»=/=4,联立方程解得3=3,・•・椭圆C的方程为9+^=1.(2)证明由(1)知4(一2,0),3(2,0),设P点坐标为(s,/),W,N的横坐标为加(〃?W±2),则直线AP的方程为旷=工£(工+2),OI4故g"'7+2(6+2))，故直线BM的斜率ki=( 2，a，(5+2)Un—2)同理可得直线AN的斜率依=(($-2)(〃7+2)故kik?=f(〃z+2) t(m—2)X(s+2)(〃l故kik?=52-4,又P点在椭圆上，c2t2 3••・才+]=1，f2=-^(s2-4),因此%攵2=3-甲-因此%攵2=3-甲--4?-«2S3-4[[题型三几何图形面积为定值9 2例3(2021.西北工大附中质检)已知椭圆E：$+3=1(心。>0)的离心率为6,点(1,e)在椭圆E3上，点A(m0),仅0,b),△AOB的面积为亍O为坐标原点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线/交椭圆E于M,N两点，直线OM的斜率为怎，直线ON的斜率为上，且&戊2=一E证明：△OAW的面积是定值，并求此定值.(1)解・・Z=。，且(1，«)在椭圆E上，•常+瓢1,则5+岳=1.①又/=〃2—〃，②联立①②，得6=1.1 3/又Sjob=2R?=2，得〃=3,所以椭圆石的标准方程为曰+)2=1.⑵证明当直线/的斜率不存在时，设直线/：X=«—3</<3且/W0),I a=—9,解得产=,所以S/、omn=3x2X7-93-2I a=—9,解得产=,所以S/、omn=3x2X7-93-2)，=依+〃2,由,2+y2=]消去y并整理，得（9Z?+1+18如a+9〃0—9=0.J=（lSkin）2一4（9好+1）（9/h2一9）=36（93一〃尸+1）＞（）,18加 9m2—9足+也=_9.+],XlX2=9.+[，yi、，>>2（履1+机）（米2+〃7）\fn\\fn\\fn\k\kz=X=XIX2 X\X2-9d+m2 1\fn\-9d+m2 19m2-9 9'化简得9F+1=2〃P,满足/>0.\MN\=[1+F|xi~X2\=7l+py（Xl+X2）2—4x112I~~；~~z /?18km1 97w2—96yl1 &之一加2+1= 9F+1 ^又原点O到直线/的距离所以S/、OMN=3x|MMXd3d1+标79。一加2+1 |〃力= 9M+1 XV1+^3依3=2m2=7综上可知，△0MN的面积为定值亍感悟提升解此类题的要点有两个：一是计算面积，二是恒等变形.如本题，要求△0MN的面积，则需要计算弦长|MN|和原点。到直线/的距离乩然后由面积公式表达出S,owM如果是其他凸多边形，一般需要分割成三角形分别求解），再将由已知得到的变量之间的等量关系3代入面积关系式中，进行恒等变形，即得叉0的为定值训练3已知点尸（0,2）,过点P（0,—2）且与y轴垂直的直线为/i,/2_l_x轴，交人于点M直线/垂直平分EV,交h于点、M.(1)求点M的轨迹方程；(2)记点M的轨迹为曲线E,直线48与曲线E交于不同两点A(xi,yi),8(x2,”)，且jq—1=M+m2(根为常数)，直线/，与平行，且与曲线石相切，切点为C,试问△A3C的面积是否为定值.若为定值，求出△ABC的面积；若不是定值，说明理由.解(1)由题意得尸MTMNI，即动点M到点F(0,2)的距离和到直线y=-2的距离相等，所以点M的轨迹是以尸(0,2)为焦点，直线)，=—2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点历的轨迹方程为f=8y.y=kx-\-b,⑵由题意知，直线4B的斜率存在，设其方程为)，="+〃，由［。消去y整理得x2一£=8y8日一8/?=(),/=64F+32">0.则jvi+x2=8A,xrx2=-8。设AB的中点为Q,则点。的坐标为(软，4F+8).由条件设切线方程为)，=丘十八y t由«2o'消去y整理得f—8区―8f=o.X=8y・•直线与抛物线相切，・・・/=6必2+32/=(),・・・/=-2&2,•・切点C的横坐标为4k,・.点。的坐标为(4A,2斤)..•・CQJ_x轴，Vx2_xi=/«2+1,(X2—XI)2=(XI+x2)2—4(—8b)=643+32匕=(〃尸+1)2,. (62+1)2-64-・6= •S^ABC=^\CQ\-\X2—Xl\=；・(23+〃>(X2-Xl)(ffl2+l)3= 64 ，••"2为常数，•••△ABC的面积为定值.微点突破/齐次化处理策略圆锥曲线中常见一类问题，这类问题的特点是条件中的两直线斜率之和或之积是一个指定常

08/10数.这种问题的求解方法多种多样，但是采用齐次化方法，可以将这两种题型统一处理.接下来谈谈齐次化方法在处理圆锥曲线这些问题中的应用.一、处理两直线斜率之积为定值的问题例1已知椭圆的中心为原点O,长轴、短轴长分别为2〃，2伙心比>()),P,。分别在椭圆上,且OPLOQ.求证：/+会为定值.证明设P,。坐标分别为(XI,yi),(X2,”)，直线PQ：〃a+/?y=l,椭圆今+，=1(〃>">()),2 2联立方程%+方=1，jnx-1-ny=1.联立方程齐次化有,+$=("?x+〃y)2,整理可得r—2mnxy+R一机?卜=0.左右两边同除以_2吟+$_序）_2吟+$_序）_2吟+$_序）=0._2吟+$_序）=0.由根与系数的关系得*