理论力学摩擦

理论力学摩擦1第1页，共32页，2023年，2月20日，星期一例2:在用铰链O固定的木板AO和BO间放一重W的匀质圆柱,并用大小等于P的两个水平力P1与P2维持平衡,如图所示.设圆柱与木板间的摩擦系数为f,不计铰链中的摩擦力以及木板的重量,求平衡时P的范围.2dP1P2ABCDWO2

(分析：P小，下滑；

P大，上滑.)2第2页，共32页，2023年，2月20日，星期一解:(1)求P的极小值F1F2CDWON1N2设圆柱处于下滑临界状态,画受力图.由对称性得:N1=N2=NF1=F2=FFy

=02Fcos+2Nsin-W=0(1)F=fN(2)

联立(1)和(2)式得:3第3页，共32页，2023年，2月20日，星期一取OA板为研究对象画受力图.此时的

水平力有极小值PminP1N1ACOF1mO(Fi)=0(2)求P的极大值当P达到极大值时,圆柱处于上滑临界状态.只要改变受力图中摩擦力的指向和改变F前的符号即可.FxFy4第4页，共32页，2023年，2月20日，星期一F1F2CDWON1N2P1N1ACOF1mO(Fi)=0maxFAxFAy5第5页，共32页，2023年，2月20日，星期一用摩擦角表示得:当角等于或小于时,无论P多大,圆柱不会向上滑动而产生自锁现象.6第6页，共32页，2023年，2月20日，星期一例3:在维修某房屋时重W的工人登上长为l倾角为的梯子AB.梯子的下端A搁在水平地上,上端B靠在铅直墙上.设地面和墙与梯子间的摩擦角分别为(m)A和(m)B.求梯子不致下滑时工人所能登上的最大高度xmin.xxminBAWCDEFRARB(m)A(m)B7第7页，共32页，2023年，2月20日，星期一解:取梯子为研究对象画受力图.要使梯子不向下滑动,A和B两处的全反力RA和RB的作用线各应分别位于角(m)A和(m)B角之内,其共同范围为CDEF内.而且根据三力平衡原理,重力W的作用线必须通过RA和RB的交点C.C点所对应的x为最小值.xxminBAWCDEFRARB(m)A(m)B8第8页，共32页，2023年，2月20日，星期一BAC=90--(m)ABCA=CFA+(m)A

=90-(m)B+(m)A由正弦定理得:xxminBAWCDEFRARB(m)A(m)B9第9页，共32页，2023年，2月20日，星期一得:若(m)A=(m)B=mxmin=lcos(+m)cosm讨论:(1)若m=0,则xmin=lcos.工人只能站在梯子的底端.(2)当(90o-m)时,则xmin=0.工人可安全地站在梯子的顶端.10第10页，共32页，2023年，2月20日，星期一例4:重W的方块放在水平面上,并有一水平力P作用.设方块底面的长度为b,P与底面的距离为a,接触面间的摩擦系数为f,问当P逐渐增大时,方块先行滑动还是先行翻倒.WPab11第11页，共32页，2023年，2月20日，星期一假定方块处于滑动临界平衡状态画受力图.WPaNFmCAFy

=0N-W=0Fx

=0P-Fm=0即P滑

=Fm=fN=fWFm=fN12第12页，共32页，2023年，2月20日，星期一假定方块处于翻倒临界平衡状态,画受力图.WPabNFAMA(Fi)=0翻13第13页，共32页，2023年，2月20日，星期一讨论:比较Wb/2a

与fW可知(1)如果fW>Wb/2a,即f>b/2a,则方块先翻倒.（Wb/2a为将要翻倒时所需P力）（W为将要滑动时所需P力.）(2)如果fW<Wb/2a,即f<b/2a,则方块先滑动.(3)如果fW=Wb/2a,即f=b/2a,则滑动与翻倒将同时发生.14第14页，共32页，2023年，2月20日，星期一四.滚动摩阻的概念(1)滚阻力偶和滚阻力偶矩QPcrA设一半径为r的滚子静止地放在水平面上,滚子重为P.在滚子的中心作用一较小的水平力Q.取滚子为研究对象画受力图.Fx=0Q-Fs=0Fy=0N-P=0mA(Fi)=0m-Qr=0m=QrQPcrANFsm15第15页，共32页，2023年，2月20日，星期一(2)产生滚阻力偶的原因AoQPNFsRAoQPB滚子与支承面实际上不是刚体,在压力作用下它们都会发生微小变形.设反作用力的合力为R并作用于B点,滚子在力P,Q与R作用下处于平衡状态.将力R

沿水平与竖直两个方向分解,则水平分力即为摩擦力Fs.由于物体变形力N向前偏移一微小距离e.竖直分力即为法向反力N.e16第16页，共32页，2023年，2月20日，星期一AoQPNFsmAoQPFN将力Fs与N向A点简化,得到作用于A点的力N与F.另外还得到一附加力偶.其力偶矩为m=Ne.即阻止滚子滚动的滚阻力偶.(3)滚动摩擦定律mA(Fi)=0m-Qr=00m

mmaxmmax=

N滚阻力偶矩的最大值与法向反力成正比.-滚阻系数。17第17页，共32页，2023年，2月20日，星期一例5:在搬运重物时下面常垫以滚木,如图所示.设重物重W,滚木重W’半径为

r.滚木与重物间的滚阻系数为,与地面间的滚阻系数为’.求即将拉动时水平力P的大小.WW'W'O1O2P18第18页，共32页，2023年，2月20日，星期一解:取整体为研究对象画受力图.Fx=0Fy=0P-F1-F2=0(1)-W-2W'+N1+N2=0(2)WW'W'O1O2N1N2F1F2P19第19页，共32页，2023年，2月20日，星期一取左面的滚木为研究对象画受力图.mA(Fi)=0O1W'N1F1N3F3'AN1(+')-2F1

r-W'

=0(3)O2W'N2F2N4F4'B取右面的滚木为研究对象得:mB(Fi)=0N2(+')-2F2

r-W'

=0(4)20第20页，共32页，2023年，2月20日，星期一联立(1)(2)(3)(4)式得:讨论:(1)设W=1000kN,W'=0,

=0.05cm,

'=0.20cm,r=12.5cm.代入得:P=10kN.(2)当

==0时P=0.此时相当于把重物放在一个理想光滑面上.21第21页，共32页，2023年，2月20日，星期一总结1.滑动摩擦：两个物体接触面作相对滑动或具有相对滑动趋势时的摩擦。2.滑动摩擦力：当两个相互接触的物体有相对滑动或有相对滑动趋势时，彼此间存在着阻碍滑动的机械作用，这种机械作用称为滑动摩擦力。3.静摩擦定律：最大静摩擦力Ffmax

的大小与接触面上法向反力FN

的大小成正比。fS

称为静摩擦因数22第22页，共32页，2023年，2月20日，星期一总结4.考虑滑动摩擦时物体的平衡问题(1)多摩擦力。（2）当物体处于临界平衡时，摩擦力应达到最大值Ffmax＝f

s·FN

，摩擦力的方向恒与相对滑动趋势的方向相反。通常不能假设。（3）静摩擦力的大小可在一定范围内变化，所以解答用不等式表示称为平衡范围。23第23页，共32页，2023年，2月20日，星期一问题判断1.最大静摩擦力的大小与两个接触物体之间沿接触面法向的相互作用力（正压力）的大小成正比。2.滑动时的摩擦因数大于静摩擦因数。24第24页，共32页，2023年，2月20日，星期一问题判断答案1.最大静摩擦力的大小与两个接触物体之间沿接触面法向的相互作用力（正压力）的大小成正比。（对）2.滑动时的摩擦因数大于静摩擦因数。（错）25第25页，共32页，2023年，2月20日，星期一αGFGFminFNFfmaxα例题:将重量为G的物块放在斜面上。已知物块与斜面的静摩擦系数为fs,且斜面的倾角α>m。若用一水平力F使物体平衡，求该力所可能有的最大值和最小值。解：1、下滑的临界状态：对物块进行受力分析：26第26页，共32页，2023年，2月20日，星期一GFminFNFfmaxαxyα平面汇交力系建立图示坐标系：列平衡方程：Fx

=0Ffmax

+

Fmin

cosα-Gsinα=0(1)Ffmax=fs

FN

(3)

Fy=0FN

-Fmin

sinα-Gcosα=0(2)

fs=tg

m

(4)

联立以上四式，可得：Fmin=Gtg(α-m)

27第27页，共32页，2023年，2月20日，星期一αGFGFmaxFNFfmaxαxyα2、上滑的临界状态：对物块进行受力分析：建立图示坐标系,列平衡方程：Fx

=0-Ffmax+Fmaxcosα-Gsinα=0(1)Ffmax=fs

FN

(3)

Fy=0FN-Fmaxsinα-Gcosα=0(2)

fs=tg

m

(4)

28第28页，共32页，2023年，2月20日，星期一GFmaxFNFfmaxαxyα联立以上四式，可得：Fmax=Gtg(α+m)

FminGFNFfmaxαxyα综合以上两种情况，为使物块平衡，则力F应满足：Fmin<F<

Fmax即：Gtg(α-m)<

F<