第三章 离散付氏变换

第三章离散付氏变换第1页，共64页，2023年，2月20日，星期三主要内容离散傅里叶级数（DFS）离散傅里叶变换（DFT）抽样z变换——频域抽样理论第2页，共64页，2023年，2月20日，星期三§3.1引言傅里叶变换的几种形式：

时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—离散傅里叶变换第3页，共64页，2023年，2月20日，星期三

FT§3.2傅里叶变换的几种可能形式第4页，共64页，2023年，2月20日，星期三FS

时域周期化，频域离散化第5页，共64页，2023年，2月20日，星期三时域离散化，频域周期化。DTFT第6页，共64页，2023年，2月20日，星期三 但是，前三种傅里叶变换对都不适于计算机上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的。 因此，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况。若时域离散并周期化，频域周期化并离散化。第7页，共64页，2023年，2月20日，星期三四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω0=2π/T0)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)第8页，共64页，2023年，2月20日，星期三§3.3离散傅里叶级数DFS

(DiscreteFourierSeries)

连续周期信号:周期序列

(r为整数,N为周期)

第9页，共64页，2023年，2月20日，星期三周期序列的DFS正变换和反变换：其中：第10页，共64页，2023年，2月20日，星期三一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换第11页，共64页，2023年，2月20日，星期三可看作是对的一个周期做z变换然后将z变换在z平面单位圆上按等间隔角抽样得到K=01234567jImRe[z]|z|=1N=8第12页，共64页，2023年，2月20日，星期三DFS的图示说明第13页，共64页，2023年，2月20日，星期三例：周期序列展开为DFS，求其系数。解：方法1整理x(n)有(N=12)：与DFS定义对比知：在和时：方法2由定义式直接计算，得第14页，共64页，2023年，2月20日，星期三-2-10121112nN=12-2-10121112k6第15页，共64页，2023年，2月20日，星期三第16页，共64页，2023年，2月20日，星期三第17页，共64页，2023年，2月20日，星期三第18页，共64页，2023年，2月20日，星期三§3.4离散傅里叶级数的性质FS性1、线性：其中，为任意常数若则第19页，共64页，2023年，2月20日，星期三2、序列的移位第20页，共64页，2023年，2月20日，星期三3、调制特性第21页，共64页，2023年，2月20日，星期三4、对偶性证：第22页，共64页，2023年，2月20日，星期三5、周期卷积和若则讨论:周期卷积与线性卷积的区别在于：周期卷积求和只在一周期内进行。(注意周期信号的线性卷积不存在)式中的卷积称为周期卷积第23页，共64页，2023年，2月20日，星期三第24页，共64页，2023年，2月20日，星期三第25页，共64页，2023年，2月20日，星期三第26页，共64页，2023年，2月20日，星期三05…

054321…432154…

543210…321043…

432105…210532…

321054…105421…

210543…054310…

105432…543212…

123450…345011…

111100…110067…

012345

…-4-3-2-11086101412第27页，共64页，2023年，2月20日，星期三同样，利用对称性若则第28页，共64页，2023年，2月20日，星期三§3.5离散傅里叶变换

——有限长序列的离散频域表示在进行DFS分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N的有限长序列可以看成周期为N的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT，即有限长序列的离散傅里叶变换第29页，共64页，2023年，2月20日，星期三另外一种写法是其中表示对n取模N运算(或模N的余数)。对周期信号而言,或。第30页，共64页，2023年，2月20日，星期三举例：设周期为N=6。则有周期序列和求余运算：或这是因为：(19=3×6+1)同理或这是因为：(-2=-1×6+4)

同样：X(k)也是一个N点的有限长序列第31页，共64页，2023年，2月20日，星期三有限长序列的DFT定义式第32页，共64页，2023年，2月20日，星期三关于离散傅里叶变换(DFT)：序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。n为时域变量，k为频域变量。离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取样。第33页，共64页，2023年，2月20日，星期三x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；x(n)的DTFT在区间[0,2π]上的N点等间隔抽样。第34页，共64页，2023年，2月20日，星期三例1、计算(N=12)的N点DFT.解：

第35页，共64页，2023年，2月20日，星期三第36页，共64页，2023年，2月20日，星期三第37页，共64页，2023年，2月20日，星期三第38页，共64页，2023年，2月20日，星期三N=4点的DFT？第39页，共64页，2023年，2月20日，星期三§3.6离散傅里叶变换的性质1、线性这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且若则第40页，共64页，2023年，2月20日，星期三有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。时域序列的调制等效于频域的圆周移位2、圆周移位第41页，共64页，2023年，2月20日，星期三从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出：当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来因此取名“循环移位”。显然，循环移位不同于线性移位第42页，共64页，2023年，2月20日，星期三其中；同理可证另一公式。证：推论：第43页，共64页，2023年，2月20日，星期三若则证：3、对偶性第44页，共64页，2023年，2月20日，星期三4、圆周共轭对称性其中：共轭反对称分量：共轭对称分量：任意周期序列：第45页，共64页，2023年，2月20日，星期三定义：则任意有限长序列：圆周共轭反对称序列：圆周共轭对称序列：第46页，共64页，2023年，2月20日，星期三设N点复数序列证明：则第47页，共64页，2023年，2月20日，星期三同理可证明：第48页，共64页，2023年，2月20日，星期三序列DFT共轭对称性第49页，共64页，2023年，2月20日，星期三序列DFT实数序列的共轭对称性纯虚数序列的共轭对称性第50页，共64页，2023年，2月20日，星期三例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:第51页，共64页，2023年，2月20日，星期三第52页，共64页，2023年，2月20日，星期三五、ParsevalTheory若令y(n)=x(n)表明序列时域、频域能量相等第53页，共64页，2023年，2月20日，星期三六、圆周卷积和圆周卷积A：设则实际上，圆周卷积为周期卷积的主值序列。即圆周卷积B：设圆周卷积记为NN第54页，共64页，2023年，2月20日，星期三圆周卷积过程：1）补零2）周期延拓3）翻褶4）圆周移位，取主值序列5）相乘相加NN第55页，共64页，2023年，2月20日，星期三两个N点序列的N点圆周卷积得到的结果仍为N点序列。mN-m1N-12N-2N-3讨论1:圆周卷积的物理意义图示说明第56页，共64页，2023年，2月20日，星期三讨论2:圆周卷积与线性卷积：1)设有限长(N点)有限长(M点)则线性卷积有限长(N+M-1)2)而作长度为L的圆周卷积，即(周期卷积)其中L第57页，共64页，2023年，2月20日，星期三则L点的圆周卷积是线性卷积以L为周期的周期延拓序列的主值序列(补零)存在交叠现象这就是利用DFT计算线性卷积的方法和要求，即可以选择长度大于等于线性卷积的两序列长度之和的DFT运算计算线性卷积。第58页，共64页，2023年，2月20日，星期三)(nxn01N=43M=6)(nyn015)(nfn018L=6Lmy))0((-m015L=6)(6nfn45L=8m017L=9m018)(8nfn027L=8)(nfLn01891=-+³MNL0Lmy))0((-Lmy))0((-第59页，共64页，2023年，2月20日，星期三讨论3:周期卷积、圆周卷积与线性卷积①周期卷积与圆周卷积的差别在于：周期卷积是线性卷积的周期延拓；而圆周卷积是取周期卷积的主值序列。②作圆周卷积时，应先将两者“补零”至长度为L点的序列后进行圆周卷积。而周期卷积是指两者皆为长度为L点的周期序列(即周期延拓)的。③线性卷积的DFT计算方法要求DFT点数L>=N+M-1。补L-N个零x(n)L点DFT补L-M个零h(n)L点DFTL点IDFTy(n)=x(n)*h(n)第60页，共64页，2023年，2月20日，星期三④物理意义不同，周期卷积是周期信号运算与DFS系数运算的关系；圆周