第一章 复变函数

第一章复变函数第1页，共84页，2023年，2月20日，星期三数学物理方法第一篇复变函数论

复变函数；（复函数项）级数；（第一～四章）

积分变换（第五、六章）第二篇数学物理方程

定解问题：数学物理方程及其分类;（第七章）

解法一：分离变量法及解的性质;（第八、九章）

解法二：球坐标下的分离变量法;（第十章）

解法三：柱坐标下的分离变量法;（第十一章）

解法四：积分法求解数理方程;（第十二、十三章）

解法五：复变函数法求解数理方程;（第十四章）

解法六：近似法求解数理方程;（第十五章）

第2页，共84页，2023年，2月20日，星期三参考书目

1、郭敦仁，《数学物理方法》，高等教育出版社

2、周明儒，《数学物理方法》，高等教育出版社

3、姚端正等，《数学物理方法》，武汉大学出版社如何学好《数学物理方法》？

1、数学分析的知识要比较扎实；

2、普通物理学基本概念、原理比较清晰；

3、物理实际问题与数学模型相结合，进行思考；

4、多做练习；

5、记住：数学物理方法不学好，不算读了物理学！理论物理学也读不懂！

第3页，共84页，2023年，2月20日，星期三第一篇复变函数论第一章复变函数

第二章复变函数的积分第三章幂级数展开第四章留数定理第五章傅里叶变换第六章拉普拉斯变换第4页，共84页，2023年，2月20日，星期三第一篇复变函数论第一章复变函数1.2复变函数1.3导数1.4解析函数§1.1复数与复数运算§1.5平面标量场§1.6多值函数

第5页，共84页，2023年，2月20日，星期三第一章复变函数§1.1复数与复数运算一、复数的基本概念★式中★

x、y为实数，称为复数的实部与虚部3、复数的几何表示1、什么是复数？★复平面2、复数的代数表示——直角坐标

复平面

第6页，共84页，2023年，2月20日，星期三4、复数的极坐标表示★复平面复平面★直角坐标与极坐标的换算

第7页，共84页，2023年，2月20日，星期三5、复数的三角函数形式★复平面复平面6、复数的指数形式★交流与讨论：为什么有关系式？★复数的模：★复数的幅角：

第8页，共84页，2023年，2月20日，星期三★由于辐角的周期性，辐角有无穷多个。★为辐角的主值，或主辐角，记为7、复数辐角的主值:主辐角★定义主辐角

或←易于理解第9页，共84页，2023年，2月20日，星期三8、共轭复数★其共轭复数规定为★复数：共轭复数的几何意义

第10页，共84页，2023年，2月20日，星期三例1：求的Argz与argz解：z位于第二象限9、应用——请同学们自己验算。

第11页，共84页，2023年，2月20日，星期三二、无限远点NSzARiemann球面（黎曼球面）2、无限远点的含义1、测地投影——复数球★复数平面上任意一点与复数球上的一点A对应；★复数球上N极所对应复数平面上∞点；零点→←无限远点测地投影复球面

第12页，共84页，2023年，2月20日，星期三三、复数的运算1、复数的加减法★性质★交流与讨论：复数加减法的几何意义是什么？

第13页，共84页，2023年，2月20日，星期三2、复数的乘法★代数形式★指数形式

第14页，共84页，2023年，2月20日，星期三3、复数的除法★代数形式★指数形式

第15页，共84页，2023年，2月20日，星期三5、复数的方根4、复数的乘方★故：★故k取不同值，取不同值，因为幅角不同；

第16页，共84页，2023年，2月20日，星期三★故k取不同值，幅角不同；

★所以，根式函数是多值函数——详细见§1.6多值函数讨论；第17页，共84页，2023年，2月20日，星期三例2：

★讨论与交流：为什么不取k=3了？第18页，共84页，2023年，2月20日，星期三基本运算★运算1★运算2★运算3★请同学们自己验算。

第19页，共84页，2023年，2月20日，星期三例3：讨论在复平面上的意义。解：★为圆心在（1/4，0）圆上各点

第20页，共84页，2023年，2月20日，星期三例4：计算解：令

第21页，共84页，2023年，2月20日，星期三例5：计算解：令

第22页，共84页，2023年，2月20日，星期三

第23页，共84页，2023年，2月20日，星期三

←运用欧拉公式！第24页，共84页，2023年，2月20日，星期三★实部与虚部分别相等，所以得：

第25页，共84页，2023年，2月20日，星期三§1.2复变函数一、复变函数的定义★对于复数平面（球面）上存在的集合E中的每一复数（每一个z），按照一定的规律★有一个或多个复数值，★

w称为的z复变函数，z称为w的宗量。

←定义域第26页，共84页，2023年，2月20日，星期三二、区域概念以复数z0为圆心，以任意小正实数为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域1、邻域2、内点点z0的-邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点；3、外点点z0及其-邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点;4、境界点

点z0的-邻域既有含于E内，又有不含于E内的点，称z0为点集E的境界点。内点镜界点外点

第27页，共84页，2023年，2月20日，星期三内点镜界点外点5、区域★全部由内点组成；★具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于该点集。6、闭区域★区域连同它的边界称为闭区域。★表示以原点为圆心半径为1的闭区域。★例如，区域及其点

第28页，共84页，2023年，2月20日，星期三7、单连通区域★区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域；8、复连通区域★区域内只要有一个简单的闭合曲线含有不属于该区域的点；内点镜界点外点单连通区域复连通区域区域及其点

第29页，共84页，2023年，2月20日，星期三三、复变函数举例★可见，复数三角函数值可以大于1。1、三角函数2、双曲函数

第30页，共84页，2023年，2月20日，星期三4、对数函数3、指数函数

第31页，共84页，2023年，2月20日，星期三★对数函数也是多值函数

——详细见§1.6多值函数讨论；★当z为负实数时，因为，有★复数双曲、指数和对数函数的都是周期函数！

★所以，复数域，负实数的对数是存在的。★根式函数和对数函数可以构成许多初等复变函数！第32页，共84页，2023年，2月20日，星期三例：求方程sinz=2解：设

第33页，共84页，2023年，2月20日，星期三

第34页，共84页，2023年，2月20日，星期三★或

第35页，共84页，2023年，2月20日，星期三四、极限与连续性★设w=f(z)在z0点的某邻域有定义；★对于>0，存在>0,使★有★称z→z0时w0为极限，记为★注意：z在全平面，z→z0须以任意方式！★若有★称f(z)在z0点连续。1、复变函数的极限2、复变函数的连续性

第36页，共84页，2023年，2月20日，星期三§1.3导数1、复变函数导数的定义★

w=f(z)是在z点及其邻域定义的单值函数★在z点存在，并与z→0的方式无关，则

第37页，共84页，2023年，2月20日，星期三2、求导法则

第38页，共84页，2023年，2月20日，星期三例：证明f(z)=zn在复平面上每点均可导.证：★将进行二项式展开

第39页，共84页，2023年，2月20日，星期三例：证明f(z)=z*在复平面上均不可导。证：★请同学们演算！

第40页，共84页，2023年，2月20日，星期三3、复变函数可导的必要条件★可导的必要条件★比较两式有称为科西-黎曼条件:C.R.条件

第41页，共84页，2023年，2月20日，星期三证：例：证明在z=0处满足C.R.条件，但在z=0处不可导。←满足C.R.条件在z=0处，注意：C.R.条件不是可导的充分条件！同理，得在z=0处

第42页，共84页，2023年，2月20日，星期三但是，在z=0处，若一定，随而变，故f(z)

在z=0处不可导！★

第43页，共84页，2023年，2月20日，星期三证明：★u、v在z处满足C.R.条件★

u、v在z处有连续的一阶偏微商因为u、v在z处有连续的一阶偏微商，所以u、v

的微分存在，即4、f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z

点

可导的充分条件

第44页，共84页，2023年，2月20日，星期三由C.R.条件重新组合

第45页，共84页，2023年，2月20日，星期三5、C.R.方程的极坐标表示★此式z无论以什么方式趋于零，导数都存在。因为u、v在z处有连续的一阶偏微商！★故，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z

点可导.★

C.R.方程的极坐标表示，当考虑z沿径向ρ和沿横向趋于零时，有

第46页，共84页，2023年，2月20日，星期三例：试推导极坐标下的C.R.方程：方法一：从极坐标关系出发，分别考虑z

沿径向和沿横向趋于零。★沿径向趋于零，即

第47页，共84页，2023年，2月20日，星期三★沿径向趋于零，即★沿横向趋于零，即

第48页，共84页，2023年，2月20日，星期三★f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z

点可导的充分必要条件是★即

第49页，共84页，2023年，2月20日，星期三方法二：从直角坐标关系出发

第50页，共84页，2023年，2月20日，星期三同理，可以求关于幅角的导数★请同学们演算！

第51页，共84页，2023年，2月20日，星期三具体求导过程

第52页，共84页，2023年，2月20日，星期三§1.4解析函数一、解析函数的定义

若w=f(z)是在z0点及其邻域上处处可导，称f(z)在z0点解析；

若w=f(z)是在区域

B上任意点可导，称f(z)在区域

B解析函数。2、注意★在区域

B上任意点可导，即处处可导，才是可导.1、定义

第53页，共84页，2023年，2月20日，星期三二、解析函数的性质性质1：f(z)=

u+iv，在区域B上解析，则

u(x,y)=常数与

v(x,y)=常数的曲线正交；比如，任意函数f(x,y,z)：★梯度(gradient)矢量1、几个相关概念比如，对于电势函数：★即场强是电势函数的梯度,也是等势函数的法向量！

第54页，共84页，2023年，2月20日，星期三★拉普拉斯（Laplace）算符★二维Laplace算符★三维Laplace算符

第55页，共84页，2023年，2月20日，星期三★拉普拉斯（Laplace）方程★调和函数——满足拉普拉斯方程的函数★共轭调和函数——满足拉普拉斯方程，而且满足C.R.条件的一对函数。

第56页，共84页，2023年，2月20日，星期三★由C.R.条件★两式相乘★即2、性质1的证明如下证：因为f(z)=

u+iv在区域B上解析，则其实部和虚部满足C.R.条件

第57页，共84页，2023年，2月20日，星期三★因此，u(x,y)=常数与v(x,y)=常数曲线正交！★因为★即★此式表示★而▽u和▽v分别是u(x,y)=常数和v(x,y)=常数的法向量

第58页，共84页，2023年，2月20日，星期三例：证明f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析，且f’(z)=f(z)。证：满足C.R.条件且一阶偏导连续性质2、f(z)在区域

B

解析，

u(x,y)和v(x,y)为共轭调和函数

第59页，共84页，2023年，2月20日，星期三Ⅰ式和Ⅱ式显然满足C.R.条件Ⅰ式对x

求导，Ⅱ式对y

求导，相加得Ⅰ式Ⅱ式验证u(x,y)和v(x,y)为区域B共轭调和函数

第60页，共84页，2023年，2月20日，星期三即同理★u(x,y)和v(x,y)都满足二维Laplace

方程★又特别称为共轭调和函数因此,f(z)在区域

B

解析,u(x,y)和v(x,y)为共轭调和函数

第61页，共84页，2023年，2月20日，星期三三、求共轭调和函数的方法★由C.R.条件1、若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一共轭调和函数。方法如下：★因为可以写出得：即，设已知u(x,y)，求u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)

第62页，共84页，2023年，2月20日，星期三方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关：因此，可以选取最简单的积分路径）方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法2、求另一共轭调和函数的具体方法

★即第63页，共84页，2023年，2月20日，星期三例1：已知解析函数实部

u(x,y)=x2-y2,求v(x,y)解方法一、曲线积分法★C.R.条件★所以故u为调和函数，为什么？

第64页，共84页，2023年，2月20日，星期三v(x,y)的积分路径

第65页，共84页，2023年，2月20日，星期三v(x,y)的积分路径得：最后结果为：

第66页，共84页，2023年，2月20日，星期三方法二、凑全微分显式法★由方法一得★即，dv

已经是全微分形式★所以，最后结果为：

第67页，共84页，2023年，2月20日，星期三方法三、不定积分法★即将x视为v的参数：★同样由方法一得：★由，知，即★

对v求对x的导数有：★有和。如果取第一式：★所以，有最后结果为：

第68页，共84页，2023年，2月20日，星期三解：化为极坐标求解，求v(x,y)例：已知解析函数f(z)实部，而且f(∞)=0

第69页，共84页，2023年，2月20日，星期三作业1：P6：1（4）；P8：3；P16：2（6）；

第70页，共84页，2023年，2月20日，星期三§1.5平面标量场1、平面标量场的含义

物理上及工程技术上常常需要各种各样的场，例如电磁场、声场、温度场等。若场与时间无关。则称为恒定场；若所研究的的场在空间某方向上是均匀的，从而只需要在垂直于该方向的平面上研究它，这样的场便称为平面场。

★时、空间均匀的恒定平面场虽然是矢量场，但存在确定的势能函数，而势能是标量，故称为平面标量场。

★比如，平面静电场，存在电势；

★流体平面速度场，存在速度势；

★平面温度场，存在热流量势函数；

★在没有“源”的区域，其势函数都满足二维拉普拉斯方程。因此，在此无“源”区域的解析函数的实部或虚部，就可以表示该区域的势函数。

第71页，共84页，2023年，2月20日，星期三2、在平面标量场中的解析函数

实部和虚部的物理意义★如果中的实部表示电势，则

虚部表示电通量：★C.R.条件

第72页，共84页，2023年，2月20日，星期三二、解析函数的应用虚线表示点电荷静电场的势1、解析函数的实部或虚部，可以表示无源区域的势函数

第73页，共84页，2023年，2月20日，星期三2、举例例1(P18)：开平面上的解析函数的实部和虚部。解：虚线表示势函数曲线族u(x,y);实线表示通量函数曲线族v(x,y)★作为平面静电场的分布，请同学们阅读p18第10、11行文字。

第74页，共84页，2023年，2月20日，星期三例2已知平面静电场的电场线为抛物线族，求等势线。解★令解析函数v(x,y)

=v(t)

虚线表示势函数曲线族u(x,y);实线表示通量函数曲线族v(x,y)

第75页，共84页，2023年，2月20日，星期三★代入拉普拉斯方程得

第76页，共84页，2023年，2月20日，星期三★代入拉普拉斯方程得★得解析函数

第77页，共84页，2023年，2月20日，星期三§1.6多值函数一、复变函数多值函数的特殊性1、实变函数多值函数是独立的函数2、复变函数多值函数是相互联系的函数

第78页，共84页，2023年，2月20日，星期三