第七章 离散时间系统的时域分析

第七章离散时间系统的时域分析第1页，共51页，2023年，2月20日，星期三第7章离散时间系统的时域分析7.3常系数线性差分方程的求解7.1离散时间信号7.2离散时间系统的数学模型7.4零输入响应与零状态响应7.5卷积第2页，共51页，2023年，2月20日，星期三离散时间系统的优点

精度高可靠性好功能灵活时分复用保密性好便于大规模集成离散时间系统：激励与响应都是离散时间信号的系统。第3页，共51页，2023年，2月20日，星期三连续时间系统与离散时间系统分析方法比较连续时间系统离散时间系统微分方程差分方程数学模型系统函数H(z)经典法卷积积分法时域分析经典法卷积求和法拉普拉斯变换傅里叶变换变换域分析z变换离散傅里叶变换频响特性第4页，共51页，2023年，2月20日，星期三连续时间系统与离散时间系统分析方法比较：微分方程差分方程数学模型系统函数时域分析变换域分析频响特性拉普拉斯变换傅里叶变换z变换离散时间傅里叶变换连续时间系统离散时间系统第5页，共51页，2023年，2月20日，星期三§7.1离散时间信号——序列7.1.1离散时间信号的表示方法离散时间信号：时间变量是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，在其他时间没有定义。

波形图数学表达式各种变换域表示表示方法

ZT、DTFT、DFT0123

n123第6页，共51页，2023年，2月20日，星期三2.有序序列表示或：3.解析式表示第7页，共51页，2023年，2月20日，星期三（1）单位样值信号

7.1.2典型离散信号（序列）（2）单位阶跃序列

-2-1012

n-2-10123

n1第8页，共51页，2023年，2月20日，星期三------微分关系------积分关系------差分关系------求和关系

-2-1012

n-2-10123

n1第9页，共51页，2023年，2月20日，星期三（3）矩形序列

（4）斜变序列

0123n123-2-1012N-1N

n1第10页，共51页，2023年，2月20日，星期三（5）单边指数序列当时序列是发散的，时是收敛的a>0序列都取正值a<0序列在正、负间摆动思考：a-nu[n]的波形？第11页，共51页，2023年，2月20日，星期三（6）正弦序列

式中，是正弦序列包络的频率。说明：1）周期性条件若为整数，周期为若为有理数，周期大于若不是有理数，不具周期性第12页，共51页，2023年，2月20日，星期三2）与连续系统正弦关系：

，ω0为正弦序列频率，单位是弧度；Ω0为连续正弦频率，单位是弧度/秒。

（7）复指数序列

第13页，共51页，2023年，2月20日，星期三1.对自变量进行的运算：移位、反褶与尺度序列移位：-2-10123

n1-2-10123

n1-3-2-1012

n1序列反褶：-3-2-1012

n17.1.3序列的运算第14页，共51页，2023年，2月20日，星期三序列尺度倍乘：0123456

n1234560123

n2460123456789101112

n123456压缩时，要按规律去除某些点；扩展时，要补足相应的零值。又称为序列的“重排”。第15页，共51页，2023年，2月20日，星期三序列相加（减）：两序列同序号的数值逐项对应相加（减）。序列相乘：两序列同序号的数值逐项对应相乘。2.对因变量进行的运算序列的差分：相邻两样值相减。一阶前向差分：一阶后向差分：序列的累加：第16页，共51页，2023年，2月20日，星期三例1：0123

n123-1012

n-10123

n1第17页，共51页，2023年，2月20日，星期三任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。即：3.序列的分解：例如：任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。任意序列-2-1012

n：第18页，共51页，2023年，2月20日，星期三

7.2离散时间系统的数学模型

7.2.1线性时不变离散时间系统离散系统x[n]y[n]离散系统x2[n]y2[n]离散系统x1[n]y1[n]线性（均匀性和叠加性）离散系统H是时不变的时不变性第19页，共51页，2023年，2月20日，星期三7.2.2离散时间系统的数学模型差分方程仿真框图——

N阶线性常系数后向差分方程（1）差分方程——

2阶线性常系数前向差分方程差分方程的阶数：响应的最大序号与最小序号之差。第20页，共51页，2023年，2月20日，星期三(b)加法器离散时间系统的基本运算单元：单位延时、相加、倍乘。(a)单位延时器(c)数乘器（2）仿真框图或或例：第21页，共51页，2023年，2月20日，星期三例：第22页，共51页，2023年，2月20日，星期三常系数一阶后向差分方程围绕加法器建立差分方程：例：建立下图所示系统的数学模型。x[n]

ay[n]ay[n-1]后向差分方程:未知序列的序号自n以递减的方式给出。差分方程阶数：未知序列的变量序号的最高与最低之差。第23页，共51页，2023年，2月20日，星期三7.2.3差分方程的建立即解：用迭代法求解此差分方程例1：如果在每

个月初向银行存款x(n)元，月息为a，每月利息不取出，试用差分方程写出第n个月初的本利和y(n)。设x[n]=1000元，，y(0)=0，求y(12)=?第24页，共51页，2023年，2月20日，星期三解：例2：列写求第个结点电压的差分方程。第25页，共51页，2023年，2月20日，星期三差分方程的解法◆迭代法：◆时域经典法：◆零输入响应+零状态响应：概念清楚，但只能给出数值解，不容易给出通式。7.3常系数线性差分方程的时域求解一.经典解法（1）求齐次解例：

y[n]-ay[n-1]=0,且已知y[0]。则y[1]=ay[0]y[1]=ay[0]y[2]=a2y[0]……y[n]=any[0]y[n]=any[0]u[n]解：y[n]=ay[n-1]（ⅰ）一阶齐次差分方程特征方程特征根第26页，共51页，2023年，2月20日，星期三特征方程为：上式中方程的根称为特征根。（2）N阶齐次差分方程齐次解为：总结：特征方程特征根二重根第27页，共51页，2023年，2月20日，星期三（a）特征根为单根，则例1：y[n]+y[n-2]=0,y[1]=1,y[2]=1,试求解方程。代入初值y[1]=1,y[2]=1解得：其中：第28页，共51页，2023年，2月20日，星期三例7-7：求差分方程y[n]+6y[n-1]+12y[n-2]+8y[n-3]=x[n]的齐次解。(ⅱ)求特解步骤：1、根据自由项形式→确定特解函数2、将特解代入左端→求出待定系数

解：第29页，共51页，2023年，2月20日，星期三齐次解形式nknC(常数)特解形式自由项an(a不是特征根)an(a是r重特征根)(3)完全解=齐次解+特解

特解由自由项的形式决定。特征根为单根时：特征根为K重根时：第30页，共51页，2023年，2月20日，星期三例7-9：求某线性时不变系统：y[n]+2y[n-1]=x[n]-x[n-1]的完全响应,其中x[n]=n2,y[-1]=-1。(2)y[n]+2y[n-1]=2n-1因此特解为D1n+D2(1)齐次解为C(-2)n解：(3)代入初值y[-1]=-1自由响应强迫响应第31页，共51页，2023年，2月20日，星期三例：如果在第n个月初向银行存款x[n]元，月息为a，每月利息不取出，试用差分方程写出第n个月初的本利和y[n]。设x[n]=10元，a=0.003,y[0]=0,求y[12]=?齐次解为：特征根为：设特解为D，将D代入原方程：全解为：根据初始条件y[0]=0求得：解：根据题意可得：第32页，共51页，2023年，2月20日，星期三7.4零输入响应与零状态响应7.4.1零输入响应与零状态响应当激励x[n]=0时，由系统的起始状态y[-1],y[-2],….y[-N]所产生的响应。它是齐次解的形式，即它是自由响应的一部分。当起始状态y[-1]=y[-2]=….=y[-N]=0时，由系统的激励x[n]所产生的响应。它是自由响应的另外部分+强迫响应。起始状态或者条件：对于N阶离散时间系统而言称y[-1]、y[-2]….

y[-N]为系统的起始状态。第33页，共51页，2023年，2月20日，星期三解:（1）系统的特征根为0.9，因此齐次解为：c(0.9)n由y[-1]=0可求出c=-0.45所以，y[n]=-0.45(0.9)n+0.5n≥0例7-10:已知描述系统的一阶差分方程为（1）边界条件y[-1]=0，求y[n]。（2）边界条件y[-1]=1

，求设特解为D,所以y[n]=c(0.9)n+0.5自由响应强迫响应第34页，共51页，2023年，2月20日，星期三（2）先求零状态响应，此即为（1）的结果再求零输入响应，此时方程右侧为0，只有齐次解。令

由y[-1]=1可求出所以，完全响应所以，yzs[n]=-0.45(0.9)n+0.5n≥0自由响应强迫响应第35页，共51页，2023年，2月20日，星期三7.4.2单位样值响应h[n]h[n]的求法：1.迭代法2.等效法--将输入转化为初始条件系统连续系统：系统离散系统：h[n]：当激励为δ[n]时系统的零状态响应；换句话说：系统当起始状态为零时，由δ[n]作用于系统时的响应。一.系统的样值响应及其求解第36页，共51页，2023年，2月20日，星期三解：由题意可得：h[-1]=0,x[-1]=δ[-1]=0y[n]–0.5y[n-1]=x[n]h[n]–0.5h[n-1]=δ[n]------齐次解的形式h(0)=0.5h(-1)+δ(0)=1h(1)=0.5h(0)+δ(1)=0.5h(2)=0.5h(1)+δ(2)=(0.5)2h(n)=0.5h(n-1)+δ(2)=(0.5)n例7-12：已知y[n]-0.5y[n-1]=x[n],试求其单位样值响应h[n]。1.迭代法第37页，共51页，2023年，2月20日，星期三2.等效法--将输入δ[n]转化为初始条件y[n]–0.5y[n-1]=x[n]h[n]-0.5h[n-1]=δ[n]即由h[-1]=0通过上述差分方程可迭代出h[0]=1,将

h[0]=1作为边界条件特征根为由h[0]=1可求出C=1第38页，共51页，2023年，2月20日，星期三例7-14：系统差分方程式为求系统的单位样值响应。利用线性时不变特性，解：这样，第39页，共51页，2023年，2月20日，星期三求齐次解，写出特征方程齐次解为由迭代出将作为边界条件，可求出（1）先求第40页，共51页，2023年，2月20日，星期三（2）系统的单位样值响应阶跃响应与样值响应关系：δ[n]=u[n]-u[n-1],由系统的线性是不变性可得：h[n]=g[n]-g[n-1]即系统的样值响应与阶跃响应之间存在差分关系：样值响应等于阶跃响应的差分第41页，共51页，2023年，2月20日，星期三系统的稳定性：如果系统输入是有界的，输出也有界的系统。如果系统是稳定系统充分必要条件：二.系统的因果性及稳定性系统的因果性：系统的响应y[n]只与此时及此时以前的激励有关。如果系统是因果系统充分必要条件：

当n<0时，h[n]=0。例：是判断下列系统的稳定性及因果性。2.y[n]=3e[n-3]3.y[n]=3e[n+3]第42页，共51页，2023年，2月20日，星期三7.5卷积7.5.1卷积和定义7.5.2推导求零状态响应的离散卷积公式设则第43页，共51页，2023年，2月20日，星期三1、交换律、结合律和分配律1）交换律7.5.3卷积的性质2）结合律3）分配律2、移位性质第44页，共51页，2023年，2月20日，星期三级联：并联：3、其它性质第45页，共51页，2023年，2月20日，星期三解法1：对位相乘求和法1111321111122223333356631即：将序列样值以各自n的最高值按右