材料力学课件之组合变形

第11章组合变形11-1组合变形的概念一、组合变形构件在外载作用下，常常同时产生两种或两种以上的基本变形，当几种基本变形所对应的应力或变形属同一量级时，在杆件设计计算时均需要同时考虑，这类构件的变形称为组合变形。实例水坝qPhg二、组合变形下强度计算的方法1.计算步骤(1)外力分析：将载荷简化成符合各基本变形外力作用条件的静力等效力系。(2)内力分析：作出各基本变形的内力图，确定其危险截面位置及其内力分量。(3)应力分析：根据基本变形下横截面上的应力变化规律，确定危险点的位置及其应力分量，井按叠加原理作出危险点的应力状态。(4)强度分析：按危险点的应力状态及材料的破坏可能性，选取适当的强度理论建立强度条件，进行强度计算。叠加原理：杆件在几个载荷同时作用下所产生的效果，就等于每个载荷单独作用下所产生的效果的总和。2.计算原理及限制条件(1)圣维南原理：以静力等效力系替代构件原有的载荷。因此，要求构件为细长杆，且所求应力的截面远离外力作用点处。(2)叠加原理：按各基本变形计算后进行叠加，要求构件材料符合胡克定律，且变形很小。三、组合变形下的变形计算(1)外力分析：将载荷简化成符合各基本变形外力作用条件的静力等效力系。(2)变形(位移)计算：按各基本变形计算相应的变形（截面位移）。对于不同变形性质的位移相互独立，对于同一变形性质的位移进行叠加。注：由于平面弯曲时横截面上剪力引起的最大剪应力值一般远小于横截面上的正应力值，也远小于扭矩引起的最大剪应力值，所以在组合变形的应力计算中，由剪力引起的剪应力一般都忽略不计。11-2斜弯曲一、斜弯曲：横向力通过梁横截面的弯心，不与形心主惯性轴重合或平行，而是斜交，梁的挠曲线不再与荷载纵平面重合或平行。例：下列图中给出几种常见截面，其中图（b）、（c）、（d）、（f）是斜弯曲；图（a）是平面弯曲；图（e）是斜弯曲与扭转的组合变形。二、斜弯曲的研究方法现以下图所示矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲时应力和变形的计算。二、斜弯曲的研究方法2.内力分析1.外力分析将外载沿两个形心主惯性平面内分解，于是得到两个正交的平面弯曲。其中，使梁在xy平面内发生平面弯曲，中性轴为z轴，内力弯矩用Mz表示；使梁在xz平面内发生平面弯曲，中性轴为y轴，内力弯矩用My表示。任意横截面mn上的内力大小为：2.内力分析式中，是横截面上的总弯矩。3.应力分析横截面mn上任一点k(y,z)处，对应于、引起的正应力分别为：因为和都垂直于横截面，所以k点的正应力为：式中M取绝对值，y、z取代数值计算。4.中性轴的确定

设中性轴上各点的坐标为（，），因为中性轴上各点的正应力等于零，于是有可见中性轴是一条通过截面形心的直线。设中性轴与z轴夹角为，如图：①中性轴的位置只与和截面的形状、大小有关，而与外力的大小无关；②一般情况下，，则，即中性轴不与外力作用平面垂直；③对于圆形、正方形和正多边形，通过形心的轴都是形心主轴，，则，此时梁不会发生斜弯曲。5.强度计算危险截面上危险点位于距中性轴最远点处。若截面有棱角，则危险点必在棱角处；若截面无棱角，则危险点为截面周边上平行于中性轴的切点处。危险点的应力状态为单轴应力状态。对于图示梁，两个方向的弯矩、在固定端截面上最大，所以危险截面为固定端截面。产生的最大拉应力发生在AB边上，产生的最大拉应力发生在BD边上，所以梁的最大拉应力发生在B点。同理最大压应力发生在C点，因为此两点处于单向拉伸或单向压缩应力状态，可得强度条件为：5.强度计算若截面形状无明显的棱角时，如下图示，则在截面周边上作与中性轴的平行线并与截面相切于、两点，此两点的正应力即为最大正应力。危险截面上的Mz和My不一定同时达到最大值，应注意确定危险截面、危险点。若材料的许用拉、压应力不同，则拉、压强度均应满足。注：三、变形计算1.总挠度：先分别求出两相互垂直的形心主惯性平面内平面弯曲的挠度和，然后叠加。不同方向挠度的叠加为几何和，故截面的合成挠度为：合成挠度的方位垂直于中性轴即2.总转角：截面的合成转角为11-3拉伸（压缩）与弯曲

当构件同时承受轴向力与横向力时，将同时产生轴向拉压和平面弯曲两种基本变形。现以图（a）示矩形截面杆为例分析拉弯、压弯组合变形的强度计算。所以此杆的危险截面为固定端截面。一、内力：二、应力分析横截面上均匀分布横截面上呈线性分布（＞0，为拉应力）（可能为拉应力，可能为压应力）轴向拉伸正应力为：弯曲正应力为：叠加可得任一横截面上任一点的正应力为：所以，杆件的最大、最小正应力发生在固定端截面(危险截面)的上、下边缘a、b处，其值为：三、正应力分布图

固定端截面上的正应力分布如图（b）所示。因为危险点处于单向应力状态，故其强度条件为：11-4偏心压缩当外力作用线与杆的轴线平行，但不重合时，杆件的变形称为偏心拉压。双向偏心压缩单向偏压缩x一、概念：Pzy(yp,zp)xyzPMyxyPMyMzz二、应力分析：PMZMyxyzPMyMz在偏心拉压情况下，各横截面上的内力分量相同，应力情况也相同。故任一点K(y，z)处的应力为或三、强度计算从右图可以看出，任一横截面上的角点A和C即为危险点，A和C点的正应力分别是截面上的最大拉应力和最大压应力。xyPMyMzzAC因危险点A，C均处于单向应力状态，故强度条件为：四、中性轴位置

由式=0可得中性轴方程，即可见，偏心拉压时，横截面上中性轴为一条不通过截面形心的直线。设和分别为中性轴在坐标轴上的截距，则由上式可得：用截距表示的中性轴方程为四、中性轴位置上式表明：ay与yP，az

与zP总是符号相反，所以中性轴n-n与偏心外力作用点的投影点分别位于截面形心的相对两侧，在周边上作平行于中性轴的切线，切点A1和A2是截面上距中性轴最远的两点，故为危险点。将该两点的坐标代入式即可求得横截面上数值最大的拉、压应力。11-5、截面核心

在一般情况下中性轴将截面分成拉伸和压缩两个区域。工程上常用的砖石、混凝土、铸铁等脆性材料的抗压性能好而抗拉能力差，对于这些材料制成的偏心受压杆，应避免截面上出现拉应力。为此，要对偏心距（即偏心力作用点到截面形心的距离）的大小加以限制。1.截面核心：使横截面上只产生同号应力(均为拉应力或均为压应力时)的偏心外力作用的区域。当偏心外力作用在截面形心周围一个小区域内，而对应的中性轴与截面周边相切或位于截面之外时，整个横截面上就只有压应力而无拉应力。2.截面玩核心的性状质及其确性定(1)性春质：是截笛面的一种案几何特征誓，它只与匙截面的形贞状、尺寸有关，丙而与外力程无关。(2)确摩定：根据租中性轴方帜程知，截匠面上中性讽轴上的点假的坐标(失y0,z0)与偏心休压力作用难点的坐标搁(yP,zP)间有伪固定的宜对应关倾系。利用这个奖关系得：肿所有与截届面相切的睡中性轴，穴其相应的棵偏心压力马作用点必伶然在围绕鸣截面形心情的一条闭师合曲线上旷，该闭合币曲线就是枯截面的核姨心边界，潜其包围区宰域就是截面核学心。(3)米规律：截面直线边界核心边界上的一个角点；截面角点边界核心边界上的一条直线；截面曲线边界核心边界上的一条曲线；11-制6担弯趋曲与扭鹿转一、弯扭症组合：当构件飘同时承笋受转矩虏和横向镰力作用付时，将哥产生扭联转和弯溉曲两种看基本变野形。现以图呢示圆截鞭面的钢禽制摇臂塌轴为例责说明弯护扭组合售变形时苗的强度终计算方席法。AB轴雷的直径鱼为d，蜻A端为固定朽端，在植手柄的涨C端作用有铅分垂向下的谁集中力。二、外原力简化族和内力终计算将外力匆向截面B赚形心简化衔，得AB磨轴的计算宽简图，如穴图（b）忽所示。横复向力蚕使瞒轴发生平帮面弯曲，北而力偶矩徒使轴发生窝扭转。作取AB轴的退弯矩图和弓扭矩图，羞如图（c衬），（d解）所示，嚼可见，固定端趴截面为礼危险截敢面，其雪上的内申力（弯辨矩渠和素扭转将）分别为刷：二、应有力计算因为圆拆轴的任锁一直径涨都是形钳心惯性崭主轴，构抗弯截果面模量勇都相同委（鞋）旷，故均帐用W表萝示。点的单元体如图（f）所示。画出固荐定端截米面上的普弯曲正蚂应力和杏扭转切葬应力的束分布图滑，如图振（e）柱所示，铃固定端盘截面上许的舟和盖点为鲜危险点坏，其应达力为：二、应力缴计算若某一截面上的内力分量有扭矩Mt。以及两相互垂直平面内的弯矩My和Mz，则该截面上任一点(y,z)处的应力分量有扭转剪应力和弯曲正应力。若截面为非圆截面，则扭转剪应力按非圆截面扭转计算，弯曲正应力按斜弯曲计算。发生扭转排与弯曲组僚合变形的昨构件，大锡都是圆形葡或空心圆蔬形截面的吓轴，由于