博弈模型-数模

数学建模之——博弈模型重庆邮电大学杨春德教授宇宙间到处存在矛盾、矛盾、争斗、合作、共生等现象，这些现象很很早就惹起各种学者的重视。数学被认为是科学的语言，可否用数学语言描述各种带有矛盾因素的模型或现象？博弈论即是这样一种办理各种带有矛盾因素的模型的数学工具。博弈论此刻已被数学、经济学、社会学、军事学、生物学等专家宽泛应用于谈论各种带有矛盾、矛盾、合作、竞争、进化等问题及有关模型之中。博弈论已成为人们分析复杂系统与作重要决策时的有力工具。一、博弈论基本看法世事纷争一棋局很多矛盾模型在游戏中就存在，博弈论早期就是由研究国际象棋开始的，所以被命名为GameTheory。人们很快认识到此种理论可用于经济、政治、军事等领域。1944年冯·诺曼和奥·摩根斯特恩合著的《比赛论与经济行为》问世，总结了早期研究成就，确定了博弈论的基础。因为该理论主要谈论在复杂的矛盾矛盾等活动中，局中人（Player）采纳何种合理的策略（strategy）而能处于“优胜”的地位，以便获得较好效益，所以将它译为博弈论。博弈论（Gametheory）能够被定义为是对智能的理性决策者之间矛盾与合作的数学模型的研究。常有的游戏如棋类，两人对奕，此两人便称为局中人，他们各有一套棋路，或善于用马，或擅长用炮。在每次轮到一方走子时，他可能有很多走法，这些走法依靠于当时棋局形势以及棋手想要达到的目的，以及他惯用的走法，从而形成他走棋的指导思想。对奕时指导棋手行动的思想便称为策略。对局终了可能有三种结局：甲胜；乙胜；和局。假如用数目表示各种结局，比如胜家博得彩金若干（设所得彩金由输家付给，则输产业然失去若干），和局时都不可以获得彩金，此种表示结局的数称为支付（payoff）。局中人、策略、支付是博弈论中常有的基本看法,下面我们将逐个介绍。（1）参加者参加者指的是一个博弈中的决策主体，平时又称为参加人或局中人。博弈参加者会合一般表示为参加者参加博弈的目的是经过合理选择自己的行动，以期获得最大化自己的利润（或功效）水平。参加者能够是自然人，也能够是公司、集体、国家，甚至是国家构成的公司（如欧盟、OPEC等）。对参加者而言，在博弈过程中，他一定有不同的行动可作对付选择。在博弈的结局中，他能知道或计算出各参加者不同的行动组合产生的效益（或功效）。（2）战略战略是参加者如何对其余参加者的行动作出反响的行动规则，它规定参加者在什么时候该选择什么行动。或许说。战略是参加者“相机行动方案”。（3）利润函数在博弈论中，利润指的是在一个特定的战略组合下参加者获取的确定功效或希望功效。功效平时表现为博弈结果中胜败、得失、盈亏。功效一定能用数值刻画其大小。利润是博弈参加者真切关心的问题。说明：博弈论的一个基本特点是一个参加者的利润不但取决于自己的战略选择，并且取决于所有参加者的战略选择。或许说，利润是所有参加者各选定一个战略形成的战略组合的函数。在博弈论中，平时用ui表示参加者i的利润，一个战略组合是，每个参加者的利润能够表示为参加者、战略、利润函数是标准博弈的三因素。由前面我们对这三因素的分析，能够获取一个标准博弈的定义：标准博弈的定义：（4）博弈的解—纳什均衡说明：研究博弈问题就是成立博弈模型，求解博弈的纳什均衡，下面我们用实例来说明我们的理论及应用信息信息指的是参加者在博弈过程中能认识到和观察到的知识。这些知识包含“自然”的选择，其余参加者的特点和行动等。信息对参加者是至关重要的，因为一个参加者在每一次进行决策以前，一定依据观察到的其余参加者的行动和认识的有关状况作出自己的最正确选择。因为信息内涵的不同，派生出各种有关信息的看法将博弈论区分红不同的种类，所以追求博弈间的方法也不同。这里只就信息有关的两个基本的、重要的看法进行谈论。第一，对于“共同知识”的看法。一个博弈问题所波及的“自然”的不同选择、参加者的行动以及相应产生的功效（成效、利润）都是一种知识（信息）。博弈论所谓的共同知识指的是“所有参加者知道，所有参加者知道所有参加者知道，所有参加者知道所有参加者知道所有参加者知道……”的知识。为了说明共同知识的重要性，我引用一个众所周知的寓言。故事发生在一个乡村，村里有100对已婚夫妇，他们都是地道的逻辑学家，但也有一些多罕有点奇异的社会风俗。每天夜晚，村里的男人们都将点起篝火，绕圈围坐举行一个会议，且每个人都讨论自己的妻子。在会议开始时，假如一个男人有原因认为他的妻子对他老是守贞的，那么他就对在坐的男人们赞誉她的美德。另一方面，假如在目前会议以前的任何时间，只需他发现了他妻子不贞的凭证，那他就会悲鸣恸哭，并乞求神灵严格地处罚她。再则，假如一个妻子曾有不贞，那她和她的情人将会马上通知村里除她丈夫外所有的男人。所有这些传统都是村民们的共同知识。事实上，每个妻子都已对自己的丈夫不忠。于是，每个丈夫都知道除自己的妻子外都是不贞的女人，而对自己的妻子每晚都要赞誉。这种状况连续了好多年，直到一个传教徒走访到这个乡村。他坐在髯火旁参加了一次会议并听到每个男人都赞誉自己的妻子以后，他站到丈夫们围坐的圆中心，大声地说：“这个村里有一个妻子已经不贞了。”在此后的99个夜晚丈夫们连续开会并赞誉他们的妻子，但在第100个夜晚，他们全都悲鸣偷哭并乞求严格地处罚他们的妻子。此刻，让我们试问一下，这个传教徒告诉了这些丈夫们他们所不知道的什么？每个丈夫都已经知道了99个不贞的妻子，故这对任何人来说都不是新闻。但“这个传教徒对所有男人做了一个申明”是共同知识，从而这个传教徒所申明的内容，即有一个不贞的妻子，也就成了所有男人中间的共同知识。在传教徒宣布以前，每个形如“（每个丈夫知道）有一个不贞的妻子”的判断对于99都是正确的，但对100就不正确了。其次，对于“完好信息”的看法。完好信息是博弈论特别重要的基本看法，有了上述的共同知识看法，这里即可以给出完好信息的严格定义。完好信息指的是所有参加者各自选择的行动的不同组合所决定的各参加者的利润对所有参加者来说是共同知识。简单平时地说，完好信息是指每一个参加者对自己以及其余参加者的行动，以及各参加者选择的行动组合产生的利润等知识有完好的认识。二、囚犯困境博弈模型分析两个共同作案的犯罪嫌疑人被捕，并遇到指控。除非最少一个人招认犯罪，不然警方无充分凭证将他们按罪判刑。警方把他们关入不同的牢室，并对他们说明不同行动带来的结果。假如两人都采纳缄默的抗拒态度，因警方凭证不足，两人将均被判为轻度犯罪入狱1个月；假如双方都爽快，依据案情两人将被判入狱6个月；假如一个供认而另一个拒不爽快，招认者因有主动认罪立功表现将马上开释，而另一人将被判入狱9个月（所犯罪状判6个月，搅乱司法加判3个月）。1、问题的提出这两个犯罪嫌疑人是爽快还是拒不爽快呢？3、问题分析囚犯困境问题能够用图1－1所示的双变量矩阵的形式来描述。说明：在此博弈中，每个囚犯有两种战略可供选择：爽快（或招认）、不爽快（或缄默）。图1-1的矩阵中每一个单元的两个数字表示一组特定的战略组合下两个监犯的利润（或支付、功效，这里已经开始引用经济学的术语了），其中第1个数字是囚犯1（习惯上是位于矩阵横行上的参加者）的利润，第2个数字是囚犯2（位于竖行上的参加者）的利润。假如囚犯1选择缄默，而囚犯2选择爽快，那么囚犯1的利润是－9（表示判刑9个月），囚犯2的利润为0（表示马上开释）。2、假定：两囚犯都是理性的和智能的。4、模型成立参加者会合：Γ={囚犯1，囚犯2}战略空间：S1=S2={爽快，缄默}u1(爽快,爽快)=u2(爽快,爽快)＝-6，u1(缄默,爽快)＝u2(缄默,爽快)=-9u1(爽快,缄默)＝u2(爽快,缄默)=0，u1(缄默,缄默)＝u2(缄默,缄默)=-1利润函数5、模型求解6、结果分析战略组合（缄默，缄默），即假如两个人都不爽快，各人只判刑一个月，不是比战略组合（爽快，爽快）带来的各判刑6个月要好吗？说明：这正是囚犯困境的“困境”两个字的表现，假如用经济学中的“有效”的术语的意思来讲，（缄默，缄默）是一个有效结局。有效结局其实不是囚犯问题的博弈解。这表现了个人利益和全体利益的矛盾。7、模型的推行与应用与囚犯困境近似的博弈问题在经济、社会等领域有许很多多的版本。应用1：A,B两个公司以高低两种价钱向市场竞相销售同一种产品。说明：双方协议以高价钱垄断市场，能够使相互获取满意的利润利润，最少要好于双方都以低价钱销售产品的情况。但假如某一方坚持高价，而另一方为了独占市场却将产品以低价钱销售，因为协议不被恪准时是不会受处罚，那么后者将获高盈余而前者将损失深重。市场上商品的价钱战，常常出现的结局一般是以低价钱销售商品，花费者从中获取利处，如此刻的通信三大运营商：挪动、电信和联通，这种结果正是博弈论展望的合理结局，你们不如自己设计一个近似于图1-1的A,B公司的利润矩阵。应用2：军备比赛问题说明：美苏冷战时期，两个超级大国构成博弈的双方，可供选择的战略是：扩军（增加军费运算）、裁军（减少军费运算）。假如双方都热中于扩军，两国都要为此付出高额军费（从社会福利角度来看这是一笔宏大的付利润）;假如双方都选择裁军，则可省下这笔钱；假如一方面裁军而另一方面进行扩军，扩军的一方到时候就会以武力相威胁甚至发动战争，这是，战争胜败双方的利润与支付将出现难以估计的差异。博弈论给出军备比赛问题的是战略组合(扩军，扩军)，博弈理论展望双方都扩军能够达到抗衡中的相对稳固，这是一个吻合现实的合理结局。三、海滩占位博弈模型分析甲乙两个冷饮摊贩，他们在一个直线状的海滩上，以相同的价钱、相同的质量向均匀分布在海滩上的众多游客（他们来此享受海水和阳光，进行日光浴或游泳活动）销售冷饮。既然是经商，目的老是希望尽可能多赚点钱，甲乙两人又是在同一地址做相同的买卖，竞争就是不可防止的事情了。1、问题的提出这两个冷饮摊贩应当如何部署自己的摊位，才能平安无事地做各自的买卖呢？3、建模（1）参加者会合：Γ={甲，乙}（2）战略空间：S1=[0,1/2],S2=[1/2,1]（3）利润函数:2、问题分析与假定：（1）两摊贩都是理性的和智能的；（2）游客老是到距离自己近来的摊位购买冷饮；（3）为了表达方便，不如将海滩长度标准化为1。对所有x∈S1＝[0,1/2]和y∈S2＝[1/2,1]都成立。4、模型求解5、结果分析与推行和应用结果分析：按平时的想法，如图1-3，甲在1/4处设摊，乙在3/4处设摊，这样既方便了顾客，又照顾到甲乙二人各占约一半顾客的买卖，堪称公正合理。问题不是简单的解决了吗？说明：事情其实不像想象的那么简单。甲乙二人做相同的买卖，两人之间就存在竞争，这就构成了一个博弈问题。站在甲的角度考虑，只需手段合法，多揽一点顾客即可以多赚一点钱。鉴于这样的理性想法，甲就会将自己的摊位向右搬动到A点（见图1－3）。这时，从0到M（这里M是A至3/4处的中点）范围内的顾客都会去买甲的冷饮，甲就从乙的手里挖走一部分顾客，即图1－3中暗影所示的1/2到N的那一部分。乙也是一个理性的买卖人，他会估计到甲可能作出的动作，所以，他也会将自己的摊位向左边挪动。照此下去，最后的结果是甲乙二人都挤在一起，紧接着，在海滩的中点（1/2处）做冷饮买卖。推行应用：同一城市的不同航空公司经营的飞往同一目的地的航班，常常出现腾跃时刻几乎相同的现象。就是在文化娱乐方面，也能运用海滩占位的博弈结论予以解说。假如把电视中高雅艺术节目与较低档的节目比作海滩的两头，那么众多的电视观众即可以看作是分布在海滩上的游客。电视台常常将黄金时段的电视节目定位在中等品位，以提高收视率。四、智猪争食博弈1、问题的提出猪圈里饲养两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈的一边有一个猪食槽，对面的一边装有控制开关。只需猪用鼻头去拱控制开关，就会一次有6个单位的饲料流进猪食槽。假如大猪和小猪都不去拱开关，那么它们都吃不到饲料。假如小猪去拱开关，那么等它跑到另一边的猪食槽时，大猪已将流出的饲料所有都吃光了。假如大猪去拱开关，那么等它跑到猪食槽旁边，小猪差不多已吃掉了5个单位的饲料，结果大猪只能吃到1个单位的饲料。假如大猪、小猪一起去拱开关，再一起跑去吃食，那么大猪可抢到4个单位的饲料，小猪也只能吃掉2个单位的饲料。假定每拱一次开关需要耗费0.5个单位饲料的能量。大小猪分别是去拱还是不去拱开关？2、分析与假定、建模、模型求解大猪和小猪长远在一起进食，上面所说的状况（信息、知识）已为它们所掌握。所以可假定大小猪都是理性的和智能的。模拟例一囚犯困境的情况，即可以画出如图1－4所示的双变量矩阵。模拟例一囚犯困境的情况，能够成立出该问题的博弈模型并求出其解。智猪争食问题的博弈论解是战略组合（拱，不拱）说明：在这个博弈中，大猪与小猪都有两种战略选择：拱、不拱。在这个例子中能够发现，不论大猪选择拱还是不供，小猪的最精选择老是不拱。这是因为，假如大猪去拱开关，小猪不拱（等在猪食槽旁边）比拱后再跑回去争食要划算（5>1.5）；假如大猪不去拱开关，小猪不拱顶多都不得食，而去拱就要白白耗费能量，不划算（0>-0.5）。所以，不拱是小猪的占优战略。给定小猪老是选择不拱，大猪的最精选择老是拱。这样，智猪争食问题的博弈论解是战略组合（拱，不拱）。3、结果分析与推行和应用比方股份公司中就有大股东和小股东之分。股东都有监察经理的职能，他们从监察中获取的利润其实不相同。在监察成实情同的状况下，大股东从监察中获取的利处明显多于小股东。平时在股份公司里，老是由大股东担当监察任务，而小股东则搭大股东的便车。股票市场上也有近似现象。一般大户老是重视采集信息，踊跃进行行情分析。对小户而言，跟大户是常有现象。进行产品研究、开发以及新产品广告宣传时，对大公司而言，其资本实力及可望的利润会使大公司有投资的踊跃性，而小公司常常会得不偿失。小公司平时采纳与大公司成立协作生产或移植部分技术的做法。智猪争食模型在社会经济领域也能够找到很多实例。知识的灵巧应用五、库诺特双寡头垄断竞争模型这两个公司如何决策产量才会获取最大利润呢？1、问题的提出2、问题的分析与模型成立为了求出库诺特博弈中的解及纳什均衡，第一要将其转变为标准博弈。（1）参加者会合：Γ={公司1，公司2}（2）战略空间：S1＝S2=[0,+∞）（3）利润函数:说明：接下来就需要把公司1、公司2的利润表示为它自己和另一公司所选战略的函数。假定公司的利润就是其利润额，这样在一般的两个参加者标准式博弈中，公司1和公司2的利润函数即可表示为纳什均衡定义不等式（NE）的条件:均衡（q1*,q2*)对应的最优化问题：解法一：微分法3、模型求解说明：利用微积分求极值的方法，对每个公司的利润函数求一阶导数并令其等于零，即可求出纳什均衡。……..(1)说明：那么，要使产量成为纳什均衡，由式（1）可知，两个公司的产量选择一定满足方程组…….(2)由此得：解方程组（2），得均衡解为这时，将上式代入各自的利润函数。每个公司的纳什均衡利润为解法二：几何法说明：库诺特模型还可以够用几何图形的方法找出均衡解。……….（3）这两个函数称为该博弈最优反响函数。图1-5解法法三：运用逐渐剔除严格劣战略的方法第一证明对两个公司来说，产量q0＝(a－c)/2严格优于其余任何更高的产量。对公司1来说，假如它选择产量q1＝q0＝(a－c)/2，而公司2选择产量q2，当Q＝q0＋q2＜a时，公司1的利润（利润）为假如公司1选择产量q1=q0+x(x>0)，公司2选择产量q2，当Q=q0+q2<a时，公司1的利润为比较上面两式结果，就能得出对于公司2来说，近似可导出第二步：已知上步的战略空间为得公司一第二次删除后剩下的战略空间第三步：得公司一第三次删除后剩下的战略空间第四步：已知上步的战略空间为…………….第2k步：删除后剩下的战略空间为得公司一第四次删除后剩下的战略空间为第2k+1步：删除后剩下的战略空间为4、结果分析下面将双寡头垄断竞争与寡头垄断状况作一比较。设寡头垄断公司的最优产量为q*，这时最优化问题是说明：但这样安排存在一个问题，就是每家公司都有动机偏离它。因为寡头垄断产量q较低，相应的市场价钱p(q)就比较高，在这一价钱下每家公司都会偏向于提高自己的产量，而不管这种产量的增加会降低市场价钱。这又出现了在囚犯困境问题中的个人理性与集体理性矛盾的现象。六、两个博弈论研究有名学者简介1、计算机之父、博弈论开创人——冯·诺伊曼约翰·冯·诺伊曼(JohnVonNeumann，1903—1957)，美籍匈牙利人。1921—1923年在苏黎世大学学习。很快又在1926年以优异的成绩获取了布达佩斯大学数学博士学位，此时冯·诺伊曼年仅22岁。冯·诺伊曼是20世纪最优异的数学家之一，因1946年发明电子计算机而被西方人誉为“计算机之父”。1957年2月8日在医院去世，享年53岁。主要科学研究贡献说明：冯·诺伊曼从小就显示出数学天才，对于他的童年有许多传说。大多半的传说都讲到冯·诺伊曼自童年起在汲取知识和解题方面就拥有惊人的速度。六岁时他能心当作八位数乘除法，八岁时掌握微积分，十二岁就读懂领悟了波莱尔的大作《函数论》要义。冯·诺依曼的第一篇论文是和菲克特合写的，是对于车比雪夫多项式求根法的菲叶定理推行，注明的日期是1922年，那时冯·诺依曼还不满18岁。（1）、三项最重要的数学工作：在1930～1940年间，冯·诺依曼在纯粹数学方面获得的成就更为集中，创作更趋于成熟，名誉也更高涨。此后在一张为国家科学院填的问答表中，冯·诺依曼选择了量子理论的数学基础、算子环理论、各态遍历定理三项作为他最重要数学工作。（2）、一般应用数学：1940年，是冯·诺依曼科学生涯的一个变换点。在此以前，他是一位精通物理学的至高无上的纯粹数学家；此后则成了一位坚固掌握纯粹数学的出神入化的应用数学家。他开始关注当时把数学应用于物理领域去的最主要工具——偏微分方程。研究同时他还不断创新，把非古典数学应用到两个新领域：对策论和电子计算机。(3)、博弈论冯·诺依曼不但曾将自己的才能用于武器等研究，并且还用于社会研究。1928年，冯·诺依曼证了然博弈论的基本源理，从而宣布了博弈论的正式出生。由他创立的对策论，无疑是他在应用数学方面获得的最为令人敬羡的优异成就。说明：1944年，冯·诺依曼和摩根斯特思合著的《博弈论和经济行为》是这方面的奠定性著作。将二人博弈推行到n人博弈结构并将博弈论系统的应用于经济领域，从而确定了这一学科的基础和理论系统。论文包含了博弈论的纯粹数学形式的论述以及对于实质应用的详细说明。这篇论文以及所作的与某些经济理论的基本问题的谈论，惹起了对经济行为和某些社会学问题的各种不同研究，时到现在日，这已经是应用宽泛、羽毛日趋丰盛的一门学科。有些科学家热忱歌颂它可能是“20世纪前半期最伟大的科学贡献之一”。(4)、计算机对冯·诺依曼名誉有所贡献的最后一个课题是电子计算机和自动化理论。1944年，诺伊曼参加原子弹的研制工作，该工作波及到极为困难的计算。在对原子核反响过程的研究中，要对一个反响的流传做出“是”或“否”的回答。解决这一问题平时需要经过几十亿次的数学运算和逻辑指令，尽管最后的数据其实不要求十分精确，但所有的中间运算过程均不可缺乏，且要尽可能保持正确。他所在的洛·斯阿拉莫斯实验室为此聘用了一百多名女计算员，利用台式计算机从早到晚计算，还是远远不可以满足需要。无量无尽的数字和逻辑指令仿佛荒漠相同把人的智慧和精力吸尽。被大型计算所困扰的冯·诺伊曼在一次极为有时的机遇中知道了ENIAC计算机的研制计划，此后他投身到计算机研制这一宏伟的事业中，成立了一世中最大的功名盖世。逸闻一次，在一个数学聚会上，有一个年轻人乐呵呵的找到他，向他讨教一个问题，他看了看就报出了正确答案。年轻人快乐地恳求他告诉自己简易方法，并抱怨其余数学家用无量级数求解的烦杂。冯·诺依曼却说道：“你误会了，我正是用无量级数求出的。”可见他拥有过人的默算能力。听说有一天，冯·诺依曼心神不定地被同事拉上了牌桌。一边打牌，一边还在想他的课题，狼狈万状地“输掉”了10元钱。这位同事也是数学家，突然心生一计，想要捉弄一下他的朋友，于是用博得的5元钱，购买了一本冯·诺依曼撰写的《博弈论和经济行为》，并把剩下的5元贴在书的封面，以表示他“战胜”了“赌博经济理论家”，实在使冯·诺依曼“好没面子”。2、孤单的天才——约翰.福布斯.纳什纳什:生于1928年6月13日。父亲是电子工程师与教师，第一次世界大战的老兵，当时在法国担当负责后勤工作的中尉。纳什小时孤单内向，固然父亲母亲对他照顾有加，但老师认为他不合群不善交际。美国数学家，前麻省理工学院助教，主要研究博弈论、微分几何学和偏微分方程。他的理论被运用在市场经济、计算、演化生物学、人工智能、会计、政策和军事理论。暮年为普林斯顿大学的资深研究数学家。1994年，他和其余两位博弈论学家约翰·C·海萨尼和莱因哈德·泽尔腾共同获取了诺贝尔经济学奖。1950年，纳什获取美国普林斯顿大学的博士学位，他在那篇不过27页的博士论文中提出了一个重要看法，也就是此后被称为“纳什均衡”的博弈理论。博弈论研究纳什在上大学时就开始从事纯数学的博弈论研究，1948年进入普林斯顿大学后更是如虎添翼。他在普林斯顿大学读博士时刚才二十出头，但他的一篇对于非合作博弈的博士论文和其余有关文章，确定了他博弈论大师的地位。在20世纪50年代末，他已经是有名世界的科学家了。特别是在经济博弈论领域，他做出了划时代的贡献，是继冯·诺依曼以后最伟