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文档简介
2023/5/11第二节定积分存在的条件
一、定积分存在的充分必要条件
二、可积函数类2023/5/12一、定积分存在的充分必要条件
要判断一个函数是否可积?但由于积分和的不确定性和那个极限常数不易预知，因此这是极其困难的．下面即将给出的可积准则,将不确定性过渡到相对确定性,且只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值．2023/5/132023/5/142023/5/15
和式:2023/5/16所以，可积性理论总是从上和与下和入手．2023/5/17定理１在原有的分割T中加入新的分点，则上和不增，下和不减．
即，在原有分割T中加入新的分点后得新分割T’，它对应的上和与下和分别记为2.达布和的性质2023/5/182023/5/19其中2023/5/1102023/5/111定理２对任意分割T，都有
证这里M,m分别表示f(x)在[a,b]的上确界和下确界．即，上和必有下界,下和必有上界．2023/5/112定理３对于任意两个分割T与T’，有
任一分割T的下和都不超过另一分割T’的上和,任一分割T的上和都不小于另一分割T’的下和．2023/5/113第一式得证，同理可证第二式.又因为所以2023/5/1142023/5/115为了证明达布定理,先介绍下面性质(证式中提炼出,为方便)2023/5/1162023/5/117类似可证第二式.2023/5/118显然得证.2023/5/119证（只证第一式),要证:
2023/5/120对任意分割T,由性质的推论有
2023/5/1212023/5/1222023/5/1233.定积分存在的充分必要条件2023/5/1242023/5/1252023/5/126Riemann可积的第一充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积其中：xi-1xixi-1xi2023/5/127定理５也可叙述成如下形式2023/5/1282023/5/129充分性2023/5/1302023/5/131Riemann可积的第二充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积其中：xi-1xi2023/5/132注意到证明:2023/5/133
于是易知f(x)在[a,b]上Riemann可积2023/5/134二、可积函数类
注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。
2023/5/135证
根据在闭区间上连续函数性质，
2023/5/136从而导致注意到一致连续性在本定理证明中所起的重要作用．2023/5/1372023/5/1382023/5/1392023/5/1402023/5/141
注:
单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性．于是有2023/5/142
例2试用两种方法证明函数2023/5/143
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