初中几何证明题绝对经典

-.z.几何证明1.点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作和，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN，MN．(1)假设和是等腰直角三角形，且(如图1)，则是三角形．(2)在和中，假设BA=BE,BC=BF,且，(如图2)，则是三角形，且.(3)假设将(2)中的绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，则(2)中的结论是否成立？假设成立，给出你的证明；假设不成立，写出正确的结论并给出证明.2.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q.探究：设A、P两点间的距离为*.(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与*之间的函数关系，并写出函数自变量*的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的*值，如果不可能，试说明理由.3.(1)如图1，四边形中，，，，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论；图１(2)如图2，四边形中，，，假设点为四边形内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的数量关系，并证明你的结论．图１图图24.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD.求证:EF＝BE＋FD;图1图2图3(2)如图2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3)如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.5.以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置及数量关系．(1)如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；(2)将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点〔不包括端点〕，作∠AEF=90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C〔m，n〕．〔1〕假设m=n时，如图，求证：EF=AE；〔2〕假设m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF=AE？假设存在，请求出点E的坐标；假设不存在，请说明理由．〔3〕假设m=tn〔t＞1〕时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF=〔t+1〕AE成立？并求出点E的坐标．*O*OEBAyCF*OEBAyCF*OEBAyCF7.如图1，∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点〔点P与点B不重合〕，连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.〔1〕如图2，当BP=BA时，∠EBF=°，猜想∠QFC=°；〔2〕如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；〔3〕线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式．图1图1ACBEQFP图2图2ABEQPFC8.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停顿运动．设点Q运动的时间为t秒．(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？(3)是否存在*一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？假设存在，求出此时t的值；假设不存在，请说明理由；(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？1、解：〔1〕等腰直角〔2〕等腰〔3〕结论仍然成立证明：在∴△ABF≌△EBC.∴AF=CE.∠AFB=∠ECB∵M,N分别是AF、CE的中点,∴FM=CN.∴△MFB≌△NCB.∴BM=BN.∠MBF=∠NBC∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=2、解：〔1〕PQ=PB过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N在正方形ABCD中，AC为对角线∴AM=PM又∵AB=MN∴MB=PN∵∠BPQ=900∴∠BPM＋∠NPQ=900又∵∠MBP＋∠BPM=900∴∠MBP=∠NPQ∴Rt△MBP≌Rt△NPQ,∴PB=PQ〔2〕∵S四边形PBCQ=S△PBC＋S△PCQ∵AP=*∴AM=*∴CQ=CD－2NQ=1－*又∵S△PBC=BC·BM=·1·(1－*)=-*S△PCQ=CQ·PN=(1－*)·(1－*)=－＋∴S四边形PBCQ=－*＋1.(0≤*≤)(3)△PCQ可能成为等腰三角形.①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，PQ=QC，此时，*=0.②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，有：QN=AM=PM=，CP=－*,CN==1－CQ=QN－CN=－〔1－〕=*－1∴当－*=－1时，*=13、解：〔1〕如图１，延长至，使．可证明是等边三角形．联结，可证明≌．故．图图1图2〔2〕如图２，在四边形外侧作正三角形，可证明≌，得．∵四边形符合〔1〕中条件，∴．联结，ⅰ〕假设满足题中条件的点在上，则．∴．∴．ⅱ〕假设满足题中条件的点不在上，∵，∴．∴．综上，．4、答案〔1〕证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG.∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝90°,AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴AG＝AF,∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE＋FD(2)(1)中的结论EF=BE＋FD仍然成立.〔3〕结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE－FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴∠BAG＝∠DAF,AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF∵EG=BE－BG∴EF=BE－FD．5、答案：解：〔1〕，〔2〕结论仍然成立。证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连结．，．在与中：(SAS).BF=DE,...又CA=AF,CM=MB，AM//FB且AM=FB,AM=DE．6、答案：〔1〕由题意得m=n时，AOBC是正方形．如图，在OA上取点C，使AG=BE，则OG=OE．∴∠EGO=45，从而∠AGE=135．由BF是外角平分线，得∠EBF=135，∴∠AGE=∠EBF．∵∠AEF=90，∴∠FEB+∠AEO=90．在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90，∴∠EAO=∠FEB，∴△AGE≌△EBF，EF=AE．〔2〕假设存在点E，使EF=AE．设E〔a，0〕．作FH⊥*轴于H，如图．由〔1〕知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．∴FH=OE，EH=OA．∴点F的纵坐标为a，即FH=a．由BF是外角平分线，知∠FBH=45，∴BH=FH=a．又由C〔m，n〕有OB=m，∴BE=OB－OE=m－a，*OEBAyCFG∴EH=*OEBAyCFG又EH=OA=n，∴m=n，这与m≠n相矛盾．因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．〔3〕如〔2〕图，设E〔a，0〕，FH=h，则EH=OH－OE=h+m－a．H*OEBAyCF由∠AEF=90，∠EAO=H*OEBAyCF∴EF=〔t+1〕AE等价于FH=〔t+1〕OE，即h=〔t+1〕a，且，即，整理得nh=ah+am－a2，∴．把h=〔t+1〕a代入得，即m－a=〔t+1〕〔n－a〕．而m=tn，因此tn－a=〔t+1〕〔n－a〕．化简得ta=n，解得．∵t＞1，∴＜n＜m，故E在OB边上．∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E〔，0〕．7、答案：〔1〕30°.=60°〔2〕=60°不妨设BP＞,如图1所示∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP∴∠BAP=∠EAQ.在△ABP和△AEQ中AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ∴△ABP≌△AEQ〔SAS〕∴∠AEQ=∠ABP=90°∴∠BEF∴=60°(事实上当BP≤时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分〕(3)在图1中，过点F作FG⊥BE于点G∵△ABE是等边三角形∴BE=AB=，由〔1〕得30°在Rt△BGF中，∴BF=∴EF=2∵△ABP≌△AEQ∴QE=BP=∴QF=QE＋EF过点Q作QH⊥BC，垂足为H在Rt△QHF中，〔*＞0〕即y关于*的函数关系式是：.8、答案：解：〔1〕在直角梯形ABCD中，∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴四边形ABNQ是矩形。∵QD=t，AD=3，∴BN=AQ=3-t，∴NC=BC-BN=4-〔3-t〕=t+1。∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC=5。∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴MN∥AB，∴，即，∴.〔2〕当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形。∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形。(3)∵MN∥AB，∴△MNC∽△ABC，要使射线QN将△ABC的面积平分，则△MNC与△ABC的面积比为1：2，即相似比为1：，∴，即，∴t=.∴CN=，MC=，∴CN+MC=，∵△ABC的周长的一半==6≠，∴不存在*一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分。〔4〕分3种情况：①如图，当PM=MC时，△PMC为等腰三角形。则PN=NC，即3-t-t=t+1，∴，即时，△PMC为等腰三角形。②如图，当CM=PC时，△PMC为等腰三角形。即，∴时，△PMC为等腰三角形。③如图，当PM=PC时，△PMC为等腰三角形。∵PC=4－t，NC=t+1，∴PN=2t-3,又∵，∴MN=，由勾股定理可得[]2+〔2t-3〕2=〔4－t〕2，即当t=时，△PMC为等腰三角形。9、答案：〔1〕①BD=CE