2021年高考山东卷理科数学试题及解答

#21【答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为上+二=1(〃>b>0)a2 b2a+c=3,a—c=1,a=2,c=1,b2=3x2y2 '：.+=—一1.4 3y=kx+m(II)设A(x,y),B(x,y),由\x2y2得11 22 ।—J=1[4 3(3+4k2)x2+8mkx+4(m2—3)=0,A=64m2k2—16(3+4k2)(m2—3)>0,3+4k2—m2>0.4(m2—3)3+4k2y•y=(kx+m)•(kx+m)=kxx+mk(x+x)+m=1 2 1 2 12 1 23(m2—4k2)3+4k2以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kD-kBD=—1yy.——1r1 x-x-/—1'yy+xx—2(x+x)+4=0,12 12 1 23(m2—4k2)+4(m2—3)+16mk+4_03+4k2 3+4k2 3+4k27m2+16mk+4k京0,解得m_—2k,m_—,且满足3+4k2—m2>0.1 2 7当m_—2k时,l:y_k(x—2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;2k 2 2当m_一时，1:y_k(x--),直线过定点(70).7 7 72综上可知，直线l过定点，定点坐标为(一0).722【答案】(I)函数f(x)_x2+bln(x+1)的定义域为(—1,+8).f(x)_2x+_b__2x2+2x+b，x+1 x+1 f1A令g(x)_2x2+2x+b，则g(x)在—，+8上递增，2Vg(x) _g(—!_-1+b.min 2 21 1当b>2时，g(x)min_—2-+b>0，g(x)_2x2+2x+b>0在(—1,+8)上恒成立.f'(x)>0,即当b>£时，函数f(x)在定义域(—1,+8)上单调递增。2(II)分以下几种情形讨论:x+1f'(x)>0,・•.xJ/1、时2V・二b=一时，2(3)当b<函数f(x)x+1f'(x)>0,・•.xJ/1、时2V・二b=一时，2(3)当b<函数f(x)在(-1,+8)上无极值点。1时，解f1(x)=0得两个不同解2-1-V1-2b

2-1+%；1-2b当b<0时，x1-1-L<-1-1+<11-2b2(-1,+8),>-1，此时f(x)在(-1,+8)上有唯一的极小值点x2-1+百-2b

2当0<b<时

f'(x)在(-1x,xe(-1,+8),),(x,+8)都大于0，f'(x)在(x,x)上小于0-1-此时f(x)有一个极大值点x=——12b一和一个极小值点x=2-1+<1-^b综上可知，b<0时，f(x)在(-1,+8)上有唯一的极小值点x22-1+Q-2b0<b<1时，f(x)有一个极大值点x—-1-V1-2b

2和一个极小值点x=T+久'1^2b；(1)由(I)知当b4时函数f(x)无极值点.21 2(x+4)2(2)当b=_时，f'(x)=2，b>£时，函数f(x)在(-1,+8)上无极值点。2(III)当b=-1时，f(x)=x2-ln(x+1).令h(x)=x3-f(x)=x3-x2+ln(x+1),贝U3x3+(x-1)2h(x)=——x+1——在［。，+8)上恒正，h(x)在【0,+8)上单调递增，当xe(0,+8)时，恒有h(x)>h(0)=0.即当xe(0,+8)时，有x3-x2+ln(x+1)>0,ln(x+1)>x2-x3,对任意正整数n，取x=1得ln(1+1)>」-1nn n2n3