微积分二综合练习题1答案

《微积分》下册综合练习题参考答一、填空题（每小题2分20分xfxx

，则定义域为xy|y

xx0xy0xzxyx，则dz＝y1)dx11x

2nn!

=0,若级数为1111 则它的一般项u ,

2n

fx

展为x的幂级数为

2

(2)n。xf(xyxyx2xyy2f(xy＝2xxf(x

xx

y

f(xy)

x2(1y2。(1函数z是由方程exxyz0所确定的二元函数，则全微分dz edy a2x2332交换二次积分的次序0dy1f(xa2x2332

f(xy)dy若常数a0

x2y2

dxdy,则a 二、单项选择（每小题2分10分

2F

2(x与gy分别为x与yxyxy

F(x,y)（A）f(x,y)＋（C）f(x,y)＋(x)＋g(

f(x,y)＋g(f(x,y)＋(x)g(若D为区域1x2y216，则4dxdy D（A） （B）（C） （D）在下列级数中，唯有 ）是发散的(1)n1

（A）

n

2n nn

n(p11对于f(x,y)x2xy，原点（0，0（ （A）不是驻 （B）是极大值（C）是驻点却不是极值 （D）是极小值级数

(1)n1sinn（ （B）绝对收（C）发 （D）敛散性不能判三、计算题（每小题7分56分zarctanxxzyz解：z

11(xy

1 x2y

z

11(xy

(x)y

x2y∴xzyz

x2 x2zx3f(xy,yf具有连续二阶偏导数.z的全微分dzx

z3x2fx3[yf

f]3x2x3yfxyf

zx3[fxf1]x4fx2f ∴dz＝zdxzdy＝(3x2x3yfxyf)dx＋(x4fx2f 2

zf(x,yxy),求y2解：zf

x)f' 2z

x

"

f'22(y2

f23(y2)2f2y3f32(y2)f33n1

nn1nn解：

n1 n1 np11时，p2n1n1

是交错级数，且

0,unn1

nn1

n21

ln

n21

1

ln ln1n2

11 n2且

1

n2

n21∴交错级数 ln 收敛 设D由x= y=x,及xy=1围成， 2 Dxy xxy解：y2d1dx1y2dy1 x22(xx3)dx(1x21x4 2 计算二重积分计算二重积分D

x2y2

Dxy|0x2y22}D

x2y2dxdy2dsinr 2[rcosrcosrdr] y4y4y0y|x01y|x00 1212

2440，所以特征根为2

yCe2x

xe2xy(12x)e2x四、应用题（本题8分某公司通过电视和报纸作.已知销售收入R（万元）与电视费x（万元、报纸费y（万元）的关系为R(x,y)1514x32y8xy2x210y2.在费用时，求最佳策略若提供的费用为1.5万元，求相应的策略.（1）R(x,y)1514x32y8xy2x210y2R208y4x求解方程组 428x20y

，得驻点（4，所以最佳策略是：电视费4万元、报纸费为0.5万元（2）F(xy)F(xy2020x42y8xy2x210y2(xy1.5Fx208y4x由方程组F428x20y0，解得x=- y=xy1.5所以最佳策略是：电视费亏0.5万元、报纸费为2万五、证明题（本题6分an1

（n

0 若bn收敛，则an 若an发散，则bn 证明（1） 若bn收敛，则bn＋1也收敛 an1bn1

a

bn

aa n

n1

1 即

bn1

bnbn1

bn1a1 n