复合梯形公式和复合Simpson公式求旋转体表面积

复合梯形公式和复合Simpson公式求旋转体表面积一、问题叙述由曲线f(x)，aWxWb,绕x轴旋转得到立体，其表面积计算公式为S=2兀Jbf(x)1+[f'(x)]2dxa分别用N=10的复合梯形公式和用N=5的复合Simpson公式求曲线绕x轴旋转得到立体的表面积。f(x)=x3,0<x<1f(x)=sinx,0<x<“/4；f(x)=e-x,0<x<1。二、问题分析复合梯形公式取正整数n,令h=(b-a)/n,则点xk=a+kh(k=01,…，n)将区间[a,b]分为n个小区间，利用定积分性质得Jbf(x)dx=£Jjxj=0 jf(x)dx〜Jbf(x)dx=£Jjxj=0 jj j+1j=0=(h/2)[f(a)+f(b)+2£n-1f(x)]jj=1复合Simpson公式x类似于复合梯形公式的推导，令h=(b-a)2/n,则点k=a+jh(j=0,1,…，n)•利x,x用定积分性质，以及Simpson公式在小区间L2j-22j」上的应用，有Jbf(x)dx=a£nJJbf(x)dx=ax2jf(x)dxu工(h/3)[f(x )+4f(x)+f(x)]TOC\o"1-5"\h\zx 2j-2 2j-1 2jj=1x2j-2 j=1S=(h/3)[f(a)+f(b)+4£nf(x )+2£n-1f(x)]\o"CurrentDocument"2n 2j-1 2jj=1 j=1三、实验程序及注释N=10的复合梯形公式求积分(1)tixing.m文件functions=tixing(a,b,n)h=(b-a)/n;s=0;fork=1:(n-1)x=a+h*k;s=s+fun_tixing(x);ends=h*(fun_tixing(a)+fun_tixing(b))/2+h*s;(2)fun_tixing.m文件functionf=fun_tixing(x)g=x.A3;f=2*pi*g.*sqrt(1+power(3*x「2,2));(3)tixing_main.m文件disp'区间积分为')s_2=tixing(0,1,10)symsxg=x.A3;int_f=int(2*pi*g.*sqrt(1+power(diff(g),2)));s=subs(int_f,1)-subs(int_f,0);ds=s-s_2;y=2*pi*g.*sqrt(1+power(diff(g),2));x=0:0.02:1;y=subs(y,x);area(x,y)xlabel'x');ylabel'被积表达式');grid运行tixing_main.m，查看积分结果。N=5的复合Simpson公式求积分xps.m文件functions=xps(a,b,n)ifnargin<3n=100;endh=(b-a)/(2*n);s1=0;s2=0;fork=1:nx=a+h*(2*k-1);s1=s1+xpsf(x);endfork=1:(n-1)x=a+h*2*k;s2=s2+xpsf(x);ends=h*(xpsf(a)+xpsf(b)+4*s1+2*s2)/3;xpsf.m文件

functionf=xpsf(x)f=2*pi*x.A3.*sqrt(1+power(3*x「2,2));xps_main.m文件clear;clc;disp'积分结果');s_1=xps(0,1,5);symsxg=x.A3;int_f=int(2*pi*g.*sqrt(1+power(diff(g),2)));s=subs(int_f,1)-subs(int_f,0);ds=s-s_1;y=2*pi*g.*sqrt(1+power(diff(g),2));x=0:0.02:1;y=subs(y,x);area(x,y)xlabel'x');ylabel'被积表达式');grid运行xps_main.m，查看结果。四、实验数据结果及分析N=10的复合梯形公式积分结果为3.642446639175053,N=5复合Simpson公式积分结果为3.56372815878,int函数积分结果为3.563121852013748。复合梯形公式积分结果与int积分函数积分结果的误差是-0.079324787161305,复合Simpson公式积分结果与int积分函数积分结果的误差是-6.063067740016415e-04。图1阴影部分为积分面积，积分边界是被积表达式。五、实验结论复合梯形公式求积分是将定积分分解为有限个小区间上的积分，把每个小区间近视看作为梯形，累加求和为积分结果。复合Simpson公式利用抛物线代替曲线求曲边梯形面积，精确度更高。由以上两种方法比较得知，复合梯形公式求积分10等分求出的结果的精确度不如复合Simps