第二章电磁场的基本规律

第二章电磁场的基本规律1第1页，共176页，2023年，2月20日，星期三本章主要讲解电磁场理论基本理论和基本规律。

电、磁场的源——电荷和电流静电场的基本规律恒定磁场的基本规律媒质的电磁特性麦克斯韦方程组电磁场的边界条件介绍电磁场的源量(电荷和电流)；由基本实验定律引入电磁场的场量，讨论其散度、旋度；最后讨论媒质的电磁特性和麦克斯韦方程组。主要内容包括：第2页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.1电荷守恒定律基本物理量：源、场电荷电流电场磁场（运动）源：电荷，电流第3页，共176页，2023年，2月20日，星期三自然界中最小的带电粒子是电子和质子电子电荷的量值为e=1.60217733×10-19(单位：C)从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间中的从宏观电磁学的观点上看，大量带电粒子密集出现在某空间范围内时，可假定电荷是连续分布在这个范围中电荷的几种分布方式：空间中－电荷体密度面上－电荷面密度s线上－电荷线密度l2.1.1电荷与电荷密度第4页，共176页，2023年，2月20日，星期三单位：C/m3(库/米3)总电荷q与电荷体密度的关系：设分布于体积元V中的电荷量为q，则电荷体密度的定义为电荷体密度第5页，共176页，2023年，2月20日，星期三单位:C/m2(库/米2)

如果已知某空间曲面S上的电荷面密度，则该曲面上的总电荷q为设分布于面积元S中的电荷量为q，则电荷面密度定义为电荷面密度第6页，共176页，2023年，2月20日，星期三如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电荷q为单位:C/m(库/米)设分布于线元l中的电荷电量为q，则电荷线密度定义为电荷线密度第7页，共176页，2023年，2月20日，星期三点电荷的电荷密度表示电量为q、集中在体积为零的几何点上的电荷点电荷的表示点电荷q位于坐标原点点电荷q位于(位置矢量)点电荷指当带电体的尺度远小于观察点至带电体的距离时，将其电荷集中于一点的理想化模型。第8页，共176页，2023年，2月20日，星期三电流由定向流动的电荷形成，通常用电流强度I表示，定义为单位时间内通过某一横截面S

的电荷量，即当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，称为恒定（稳恒）电流，用I表示引入电流密度来描述电流的分布情况电流的几种分布方式：空间中－电流体密度J面上－电流面密度Js线上－线电流I2.1.2电流与电流密度第9页，共176页，2023年，2月20日，星期三通过体积内任意截面积S的电流带电粒子密度为N，粒子电量q，运动速度v，选取如图柱体。其中：为曲面S的法向单位矢量体电流密度(A/m2）

dt时间内，柱体中所有带电粒子经dS流出，即dt时间内通过dS的电荷量为电流密度物理意义：单位时间内，通过垂直于电流传播方向单位面积的电量。第10页，共176页，2023年，2月20日，星期三第11页，共176页，2023年，2月20日，星期三从体电流出发推导面电流密度定义。设体电流密度为，薄层厚度为h，薄层横截面S，则穿过截面的电流为面电流密度当电流集中在一个厚度趋于零的薄层(如导体表面)中流动时，电流被认为是表面电流或面电流。式中即为面电流密度，单位为A/m（安培/米）面电流密度矢量d0第12页，共176页，2023年，2月20日，星期三第13页，共176页，2023年，2月20日，星期三线电流密度沿横截面可以忽略的曲线流动的电流，称为线电流。长度元dl上的电流Idl称为电流元。这样的电流可以近似看作是沿截面为0的几何线流动的线电流I。若用运动电荷的线密度和速度来表示，则线电流I为：第14页，共176页，2023年，2月20日，星期三电荷守恒定律

实验表明，电荷是守恒的，它既不能被创造，也不能被消灭，它只能从物体的一部分移动到另一部分，或者从一个物体转移到另一个物体。也就是说，在一个与外界没有电荷交换的系统内，正、负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变。——这就是电荷守恒定律2.1.3电荷守恒定律与电流连续方程第15页，共176页，2023年，2月20日，星期三电流连续性方程积分形式由电荷守恒定律：在电流空间中，体积V内单位时间内减少的电荷量等于流出该体积总电流，即电流连续性方程在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体积分，得即第16页，共176页，2023年，2月20日，星期三1、当体积V为整个空间时，闭合面S为无穷大界面，将没有电流经其流出，此式可写成对电荷守恒定律的进一步讨论即整个空间的总电荷是守恒的。电流连续性方程微分形式2、积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系。第17页，共176页，2023年，2月20日，星期三恒定（稳恒）电流的连续性方程所谓恒定（或称为稳恒），是指所有物理量不随时间变化。

不随时间变化电流称为恒定电流（或稳恒电流）。恒定电流空间中，电荷分布也恒定不变，即对时间的偏导数为零，则电流连续性方程为恒定电流连续性方程物理意义：流入闭合面S的电流等于流出闭合面S的电流——电流连续(基尔霍夫定律)第18页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.2真空中静电场的基本规律静电场：由空间位置固定、电量不随时间变化的静止电荷产生的电场，称为静电场。电场的定义电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质中时，会受到电场力的作用

静电荷产生的电场称为静电场

随时间发生变化的源产生的电场称为时变电场第19页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.2.1库仑定律电场强度库仑定律（Coulomb’slaw）库仑定律是静电现象的基本实验定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律，其数学表达式为式中:F12表示q1作用在q2上的静电力。eR表示由q1指向q2的单位矢量。为真空中介电常数。（法/米）第20页，共176页，2023年，2月20日，星期三静电力符合矢量叠加原理连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分进行求解对库仑定律的进一步讨论大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上qq1q2q3q4q5q6q7第21页，共176页，2023年，2月20日，星期三电场强度矢量

用电场强度矢量表示电场的大小和方向。

电场强度定义：实验证明：电场中电荷q0所受的电场力大小与自身所带电量成正比，与所在位置的电场强度大小成正比，即

电场强度矢量→描述电场分布的基本物理量。

库仑定律表明了两个点电荷之间相互作用力的大小和方向，但没有表明这种作用力是如何传递的。实验表明，任何电荷都在自己周围的空间产生电场，而电场对处在其中的任何电荷都有作用力，称为电场力。电荷间的相互作用力就是通过电场传递的。第22页，共176页，2023年，2月20日，星期三可见，电场强度E是一个矢量函数。电场强度的单位是V/m（伏/米）。正第23页，共176页，2023年，2月20日，星期三点电荷产生的电场其中，qs是在电场中P点处引入的试验电荷。第24页，共176页，2023年，2月20日，星期三点电荷的电场强度的大小等于单位正电荷在该点所受电场力的大小，其方向与正电荷在该点所受电场力方向一致。由矢量叠加原理，N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为问题：连续分布电荷产生的电场该怎么求解呢？第25页，共176页，2023年，2月20日，星期三

连续分布的电荷系统产生的电场连续分布于体积V中的电荷在空间任意点r产生的电场处理思路：1)无限细分区域2）考查每个区域3）矢量叠加原理设体电荷密度为，图中dV在P点产生的电场为：则整个体积V内电荷在P点处产生的电场为：第26页，共176页，2023年，2月20日，星期三面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体积元和积分区域作相应替换即可，如线电荷面电荷第27页，共176页，2023年，2月20日，星期三场强E的矢量线称为电力线，其上每点的切线方向就是该点E的方向，其分布疏密正比于E的大小；为了精确地描绘出电力线，需根据E的函数表示式列出电力线的微分方程并求其通解；静电场电力线的性质是：电力线是一簇从正电荷发出，而终止于负电荷的非闭合曲线；在没有电荷的空间里，力线互不相交。

矢量场中的电场分布可由矢量线形象地描述第28页，共176页，2023年，2月20日，星期三例图中所示为一个半径为r的带电细圆环，圆环上单位长度带电l，总电量为q。求圆环轴线上任意点的电场。解：将圆环分解成无数个线元，每个线元可看成点电荷l(r)dl，则线元在轴线任意点产生的电场为由对称性和电场的叠加性，合电场只有z分量，则θ第29页，共176页，2023年，2月20日，星期三结果分析（1）当z→0，此时P点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消，E=0（2）当z→∞，R与z平行且相等，r<<z，带电圆环相当于一个点电荷，有第30页，共176页，2023年，2月20日，星期三例：求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间中产生E。由球体的对称性分析可知：电场方向沿半径方向：电场大小只与场点距离球心的距离相关。解：在球面上取面元ds，该面元在P点处产生的电场径向分量为：式中：第31页，共176页，2023年，2月20日，星期三导体球上电荷均匀分布在导体表面，其在球外空间中产生的电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效。结果分析第32页，共176页，2023年，2月20日，星期三两边取散度2.2.2静电场的散度和旋度静电场的散度和高斯定理真空中静电场的散度第33页，共176页，2023年，2月20日，星期三第34页，共176页，2023年，2月20日，星期三真空中静电场的散度为静电场高斯定理微分形式说明：1)电场散度仅与该点处电荷密度相关，其大小2）对于真空中点电荷，有或物理意义：空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。电荷密度为正，称为发散源；电荷密度为负，称为汇聚源。第35页，共176页，2023年，2月20日，星期三物理意义：静电场穿过闭合面S的通量只与闭合面内所围电荷量有关静电场是有源场，静电荷是其散度源将高斯定理微分形式对体积V取积分，则得：式中：S为高斯面，是一闭合曲面，Q为高斯面所围的电荷总量。静电场中的高斯定理对高斯定理的讨论真空中静电场的高斯定理第36页，共176页，2023年，2月20日，星期三静电场环路定律真空中静电场的旋度环路定理当A点和B点重合时：物理意义：将单位正电荷沿静电场中的任一闭合路径移动一周，电场力不做功——静电场为保守场斯托克斯公式静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡源，电力线不构成闭合回路第37页，共176页，2023年，2月20日，星期三静电场的性质有源场。电力线由电荷发出，电荷是电场的源无旋场。电力线不构成闭合回路有源无旋的静电场矢量线呈现扩散状的分布形式对静电场，恒有：为标量函数故：静电场可以由一标量函数的梯度表示。第38页，共176页，2023年，2月20日，星期三第39页，共176页，2023年，2月20日，星期三专题：利用高斯定理求解静电场关键：高斯积分面的选择高斯面的选择原则：用高斯定理求解电场的方法只适用于一些呈对称分布的电荷系统1）场点位于高斯面上；2）高斯面为闭合面；3）在整个或分段高斯面上，或为恒定值。球对称分布：aOρ0第40页，共176页，2023年，2月20日，星期三无限大平面电荷轴对称分布第41页，共176页，2023年，2月20日，星期三作业2.3、2.4、2.6、2.9、2.10、2.12、2.14第42页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.3真空中恒定磁场的基本规律恒定磁场（静磁场）：恒定电流产生的磁场。2.3.1安培力定律磁感应强度安培力定律安培力定律揭示了两个恒定电流回路之间相互作用力的规律，其数学表达式为为真空中介电常数。安培力定律（亨/米）第43页，共176页，2023年，2月20日，星期三

磁感应强度矢量磁力是通过磁场来传递的电流或磁铁在其周围空间会激发磁场，当另外的电流或磁铁处于这个磁场中时，会受到力（磁力）的作用处于磁场中的电流元Idl所受的磁场力dF与该点磁场B、电流元强度和方向有关，即毕奥－萨伐尔定律

设闭合回路C上通有稳恒电流I，它在空间任意点r处产生的磁感应强度B为第44页，共176页，2023年，2月20日，星期三毕奥－萨伐尔定律对毕奥－萨伐尔定律的讨论体电流产生的磁感应强度体电流可以分解成许多细电流管，近似地看成线电流，此时有I=JdS，则电流元，得第45页，共176页，2023年，2月20日，星期三运动电荷的磁场定向流动的电荷形成电流。设某区域电荷密度为，速度v，将形成电流密度J=v，则电流元为Idl=JdV=vdV=qv，得

面电流产生的磁感应强度第46页，共176页，2023年，2月20日，星期三例求有限长直线电流的磁感应强度。解：在导线上任取电流元Idz，其方向沿着电流流动的方向，即z方向。由比奥—萨伐尔定律，电流元在导线外一点P处产生的磁感应强度为其中当导线为无限长时，1→0，2→结果分析第47页，共176页，2023年，2月20日，星期三ρρρρ第48页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.3.2真空中恒定磁场的散度与旋度恒定磁场的散度磁通连续性原理1.磁通连续性原理微分形式利用式：体电流产生的磁场的磁感应强度又可以写为：第49页，共176页，2023年，2月20日，星期三又根据恒等式：磁感应强度可表示为：该式表明，由恒定电流产生的磁场是无散场或连续的场。可得磁通连续性原理的微分形式(磁场散度定理微分形式)为：同时注意到▽是对场点作用的算子，而电流密度是源点函数，故：磁场散度定理微分形式第50页，共176页，2023年，2月20日，星期三磁通连续性定律（积分形式）2.磁通连续性原理积分形式通过任意曲面S上的磁通量（MagneticFlux）定义为：若曲面S为闭合曲面，则穿过闭合曲面S的磁通量为：对上式应用散度定理得：式中，V为闭合曲面S所包围的体积，表明：对于任意闭合曲面S，穿进的磁感应强度的通量与其穿出的通量总是相等的，因此磁通总是连续的，没有中断之处。磁力线总是闭合的，没有发出、终止的地方；自然界中无孤立磁荷存在。第51页，共176页，2023年，2月20日，星期三静磁场的散度处处为零，说明恒定磁场是无源场，不存在磁力线的扩散源和汇集源（自然界中无孤立磁荷存在）由磁通连续性定律可知：磁力线是连续的关于恒定磁场散度的讨论：恒定磁场的散度恒为零，联系矢量恒等式可推知：磁感应强度矢量B可用一矢量函数的旋度来表示：第52页，共176页，2023年，2月20日，星期三恒定磁场的旋度安培环路定理(一)真空中安培环路定理的积分形式磁通是连续的，磁感应强度对任意闭合面的积分恒为0，但对任意闭合曲线的线积分并不处处为0。在真空中，恒定磁场的磁感应强度沿任一闭合曲线的线积分值等于曲线包围的电流与真空磁导率的乘积，即：称为真空中的安培环路定理。I为积分路径C所包围的真实电流(包括传导电流和运流电流)，一般也称自由电流，即由可以“自由移动”的电荷(如自由电子、离子等)定向移动所形成的电流。I的正方向与路径C的积分方向服从右手螺旋定则。安培环路定理积分形式第53页，共176页，2023年，2月20日，星期三可由实验证实，也可以从毕奥一萨伐尔定律推导出，在此用无限长载流直导线的场加以验证。无限长载流直导线产生的磁场的磁感应强度为：1.定理证明(1)C为圆心在轴线上、半径为r的圆(2)C为任意闭合曲线第54页，共176页，2023年，2月20日，星期三如右图所示，在柱坐标系中，有：则：若C没有包围电流，如右图所示，则：安培环路定理得证。第55页，共176页，2023年，2月20日，星期三一般来说，由于电流总是闭合的，被路径C包围的电流实质上是与其交链的电流，电流方向与C积分方向符合右手定则者为正，否则为负。若交链的电流不止一个，如下图所示，有三个电流时，则：2.有多个电流穿过闭合回路C有多个时为：第56页，共176页，2023年，2月20日，星期三根据斯托克斯定理，并考虑到电流可用体电流密度表示为：因积分区域S是任意的，因而有：上式是安培环路定理的微分形式，表明磁场的旋涡源是电流。可用此式由磁场求电流分布。而对于对称分布的电流，可用安培环路定理的积分形式，由电流求出磁场。有：(二)真空中安培环路定理的微分形式安培环路定理微分形式第57页，共176页，2023年，2月20日，星期三对恒定磁场旋度的讨论

静磁场的旋度反映了静磁场漩涡源（电流）的分布情况；空间任意点磁场的旋度只与当地的电流密度有关；

恒定电流是静磁场的旋涡源，电流激发旋涡状的静磁场，并决定旋涡源的强度和旋涡方向；磁场旋度与磁场是不同的物理量，它们的取值没有必然联系。没有电流分布的地方，磁场旋度为零，但磁场不一定为零。

第58页，共176页，2023年，2月20日，星期三无源场。磁力线无头无尾且不相交有旋场。电流是磁场的旋涡源，磁力线构成闭合回路小结：静磁场的性质恒定磁场的散度恒为零，联系矢量恒等式可推知：磁感应强度矢量可用一矢量函数的旋度来表示。

第59页，共176页，2023年，2月20日，星期三(三)求解空间磁场分布第60页，共176页，2023年，2月20日，星期三第61页，共176页，2023年，2月20日，星期三例题：半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。解:在导线内电流均匀分布，导线外电流为零：r≤ar>a

第62页，共176页，2023年，2月20日，星期三当r>a时，积分回路包围的电流为I；当r≤a时，包围电流为Ir2/a2：当r≤a时：当r>a时：第63页，共176页，2023年，2月20日，星期三写成矢量形式为：r≤ar>a

第64页，共176页，2023年，2月20日，星期三作业2.16、2.18、2.19第65页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.4媒质的电磁特性2.4.1电介质的极化电位移矢量有关概念电介质：可看作由原子核(正)和电子(负)组成的带电系统电偶极子和电偶极矩：电介质分子的分类：无极分子：正负电荷中心重合，无电偶极矩有极分子：正负电荷中心不重合，有电偶极矩

电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点电荷所组成的电荷系统。

在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观上不显电特性

从宏观效应看，物质对电磁场的响应可分为极化、磁化和传导三种现象。电偶极矩：表示电偶极子。（DipoleMomentVector）第66页，共176页，2023年，2月20日，星期三电介质的极化现象在外加电场作用下：无极分子有极分子无外加电场无极分子有极分子有外加电场E电介质中无极分子的束缚电荷发生位移有极分子的固有电偶极矩的取向趋于一致（指向电场方向）电介质在宏观上出现电偶极矩电介质可看作内部存在大量不规则且方向迅速变化的分子极矩的电荷系统。在热平衡时，分子无规则运动，分子极矩取向各方向概率相同，介质在宏观上不显出电特性；电介质的极化：在外加电场作用下，无极分子变为有极分子，有极分子的取向一致，宏观上出现电偶极矩，表现出电特性。第67页，共176页，2023年，2月20日，星期三极化强度矢量

是描述介质极化程度的物理量，定义为的物理意义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和。极化强度矢量

——分子的平均电偶极矩极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、各向同性的电介质中，与介质内合成电场强度成正比，即——电介质的电极化率，为一个正实数。E第68页，共176页，2023年，2月20日，星期三

介质被极化后，每个分子可以看作是一个电偶极子。其电偶极矩等于该分子的平均电偶极矩。设分子的电偶极矩。极化电荷（束缚电荷）媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。由于相对与自由电子而言，极化电荷不能自由运动，故也称束缚电荷。位于电介质内部的极化电荷称为体极化电荷，位于表面的极化电荷称为面极化电荷。E

S取如图所示体积元，则凡负电荷处于体积中的电偶极子必定穿过面元

，则正电荷将穿出体积。电介质极化的结果是电介质内部出现总电矩不再为0的偶极子，这些电偶极子产生的电场将改变原来电场的分布。即电介质对电场的影响可以归结为极化电荷产生的附加电场的影响。现在来找出极化电荷与极化强度的关系。第69页，共176页，2023年，2月20日，星期三

显然，经dS穿出体积的正电荷总量为在空间中任意取一个体积V，其边界为S，则经S穿出V的正电荷量为，则V内出现的极化电荷qP为在介质表面上，极化电荷面密度为介质1介质2n讨论：若分界面两边均为媒质，则n：电偶极子(分子)密度第70页，共176页，2023年，2月20日，星期三对介质极化问题的讨论P=常矢量时称媒质被均匀极化，此时介质内部无极化电荷，极化电荷只会出现在介质表面上；均匀介质内部一般不存在极化电荷；位于电介质内的自由电荷所在位置一定有极化电荷出现。

电位移矢量和电介质中的高斯定律 介质的极化过程包括两个方面：外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的库仑定律和高斯定理。第71页，共176页，2023年，2月20日，星期三自由电荷：介质被极化－>极化电荷：介质空间中电场视为自由电荷和极化电荷在真空中产生的电场的叠加：介质空间外加电场，实际电场为，变化与介质性质有关。将真空中的高斯定律推广到电介质中，可得式中：电位移矢量介质中高斯定理微分形式电位移矢量和电介质中的高斯定理第72页，共176页，2023年，2月20日，星期三将介质中高斯定理微分形式对一定体积取积分,得介质中高斯定理积分形式小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为

（积分形式）

（微分形式），

矢量D的散度仅与自由电荷体密度有关，称为电位移矢量(电通量密度)，单位C/m2是为了分析有介质时的电场而引入的，是一个辅助矢量。第73页，共176页，2023年，2月20日，星期三极化强度与电场强度之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，

和

有简单的线性关系电介质本构关系媒质介电常数,，单位F/m(法拉/米)媒质相对介电常数,无量纲

电介质本构关系*介质有多种不同的分类方法，如：均匀和非均匀介质各向同性和各向异性介质时变和时不变介质线性和非线性介质确定性和随机介质第74页，共176页，2023年，2月20日，星期三半径为a的球形电介质体，其相对介电常数若在球心处存在一点电荷Q，求极化电荷分布。解：由高斯定律，可以求得在媒质内：体极化电荷分布:面极化电荷分布:在球心点电荷处：例第75页，共176页，2023年，2月20日，星期三半径为a的球形真空区域内充满分布不均匀的体电荷,若已知体电荷产生的电场分布为:式中A为常数，求体电荷密度解:由高斯定理微分形式例（球坐标系）可见，体电荷密度只分布在r=a的球形区域内，球外无电荷分布。第76页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.4.2磁介质的磁化磁场强度矢量磁介质磁化有关概念分子电流及磁矩：电子绕核运动和自旋运动，形成分子电流。分子电流将产生微观磁场。分子电流的磁特性可用分子磁矩表示。式中：为电子运动形成的微观电流；为分子电流所围面元矢量；介质的磁化磁化前，分子极矩取向杂乱无章，磁介质宏观上无任何磁特性外加磁场时：大量分子的分子磁矩取向与外加磁场趋于一致，宏观上表现出磁特性。这一过程即称为磁化。无外加磁场外加磁场B第77页，共176页，2023年，2月20日，星期三

磁化强度矢量

描述介质磁化的程度，等于单位体积内的分子磁矩，即

磁化电流密度

磁介质被磁化后，在其内部和表面将出现宏观电流，称为磁化电流（束缚电流）体积ΔV内第i个分子的磁矩式中的求和是对体积元ΔV内的所有分子进行的。其单位是A/m(安培/米)。之所以被称为束缚电流，是因为磁化电流是与分子拴系在一起的，不能象传导电流那样随意流动。正如电介质被极化以后极化电荷与极化强度密切相关，磁介质的磁化电流也和磁化强度密切相关，下面来寻找这种关系。第78页，共176页，2023年，2月20日，星期三即只有与回路C交链的分子电流才对总电流有贡献，其余的分子电流不是在S以外，就是穿入、穿出曲面S各一次，对总电流无贡献。在回路C上任取一个线元，则只有中心处于体积为的柱体内的分子电流才与回路C交链，如下图所示。若单位体积内的分子数为n，则与交链的磁化电流为：第79页，共176页，2023年，2月20日，星期三则有：分子磁矩斯托克斯定理由于，可得磁化电流与磁化强度间的关系为：通常被用来求解磁介质内部的磁化电流分布。第80页，共176页，2023年，2月20日，星期三为了计算磁介质表面上出现的磁化电流面密度，在介质体内紧贴表面取一个线元：由式：介质表面上的切向单位矢量可知，与线元交链的磁化电流为：故磁化电流面密度与磁化强度的关系为：介质表面的外法向单位矢量磁化强度切向分量

面磁化电流通常被用来求解磁介质表面的磁化电流分布。第81页，共176页，2023年，2月20日，星期三第82页，共176页，2023年，2月20日，星期三对介质磁化问题的讨论磁化电流仍然遵循电流守恒定律M=常矢量时称媒质被均匀均匀磁化，此时磁介质内部不会出现磁化电流，磁化电流只会出现在磁介质表面上均匀磁介质内部一般不存在磁化电流若传导电流位于磁介质内，其所在位置处一定有磁化电流出现对于线性各向同性磁媒质：介质磁化率第83页，共176页，2023年，2月20日，星期三例题：半径为a、高为L的磁化介质柱(如下图所示)，磁化强度值为M0(常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流和磁化面电流。第84页，共176页，2023年，2月20日，星期三解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时，，则磁化电流为：在界面z=0上，,在界面z=L上，，在界面r=a上，,第85页，共176页，2023年，2月20日，星期三磁场强度和磁介质中的安培环路定理当磁介质中存在磁场时，磁介质中的磁感应强度矢量为：将真空中的安培环路定理推广到磁介质中，可得式中：磁场强度矢量，单位为A／m（安培/米）

介质中安培环路定理微分形式安培环路定理的微分形式表明磁介质内某点的磁场强度的旋度等于该点的传导电流密度。第86页，共176页，2023年，2月20日，星期三将介质中高斯定理微分形式对一定面积取积分,得介质中安培环路定理积分形式安培环路定理的积分形式表明磁场强度沿磁介质内任意闭合路径的环量等于该闭合路径交链的传导电流。磁化率是一个无量纲的常数，不同的磁介质有不同的磁化率。磁介质本构关系在线性、各向同性磁介质中，磁化强度与磁场强度成正比：式中，为磁介质的磁化率（磁化系数）第87页，共176页，2023年，2月20日，星期三说明：1、真空（空气）的相对磁导率为1。式中：称为媒质相对磁导率磁介质本构关系称为媒质磁导率顺磁质:感应磁场与外场方向相同

抗磁质:感应磁场与外场方向相反

铁磁质：感应磁场与外场方向相同，且磁化后感应磁场远远大于外磁场

2、磁介质的分类：第88页，共176页，2023年，2月20日，星期三例题：同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如下图所示。设内、外导体分别流过反向的电流I，两导体之间介质的磁导率为μ，求各区域的、、。第89页，共176页，2023年，2月20日，星期三解：以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质)一般取其磁导率为μ0。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化，该磁场只有φ分量，且其大小只是r的函数。分别在各区域使用介质中的安培环路定理求出各区的磁场强度，然后由磁场强度求出磁感应强度和磁化强度。(1)当r≤a时，电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培环路定理求磁场强度：考虑这一区域的磁导率为μ0，可得：第90页，共176页，2023年，2月20日，星期三(r≤a)(r≤a)(2)当a<r≤b时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为

μ，可得：(a<r≤b)第91页，共176页，2023年，2月20日，星期三(3)当b<r≤c时，考虑到外导体电流均匀分布，可得出与积分回路交链的电流为：则：(4)当r>c时，这一区域的B、H、M为零。第92页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.4.3导电媒质的传导特性体积元：导电媒质导电率体积元内存在：由欧姆定律：式中：为导电媒质导电率,单位是S/m(西门子/米)。欧姆定律微分形式说明：理想导体导电率为无穷大。导电媒质中的欧姆定律第93页，共176页，2023年，2月20日，星期三关于恒定电场欧姆定律的讨论：在理想导体(σ→∞)内，恒定电场为0恒定电场可以存在于非理想导体内在导电媒质内，恒定电场和的方向相同第94页，共176页，2023年，2月20日，星期三材料电导率σ/(S/m)铁(99.98%)107

黄铜1.46×107

铝3.54×107

金3.10×107

铅4.55×107

铜5.80×107

硅1.56×10-3

常用材料的电导率第95页，共176页，2023年，2月20日，星期三焦尔定律在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功。设：电荷量dV，运动速度v，则电场力在时间t内所做的功为电场做功的功率为功率密度（单位体积中的损耗功率）为体积为V的导电媒质内的损耗功率为焦尔定律的微分形式焦尔定律的积分形式第96页，共176页，2023年，2月20日，星期三至此，对于线性、各向同性媒质，有如下三个方程：分别描述其极化、导电和磁化，称为媒质的构成方程或辅助方程。总结第97页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.5电磁感应定律和位移电流2.5.1法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律积分形式法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路所围面积的磁通量发生改变时，回路中产生的感应电动势与回路磁通量的时间变化率成正比关系。数学表示：“-”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻止回路磁通量的改变。因为第98页，共176页，2023年，2月20日，星期三当回路线圈匝数为N时，即由N匝线圈串联而成，其感应电动势为：导体内存在感应电流表明其内部存在感应电场Ein，故感应电动势可表示为：一般情况下，空间同时还存在由静止电荷产生的保守电场(静电场)Ec，则总电场E为两者之和，即E=Ec+Ein。则有：第99页，共176页，2023年，2月20日，星期三=0

引起与闭合回路交链的磁通发生变化的原因可以是磁感应强度随时间的变化，也可以是闭合回路自身的运动(大小、形状、位置的变化)，或者两者都存在。下面就这三种情况讨论导体回路中磁链对时间的变化率。第100页，共176页，2023年，2月20日，星期三微分形式对任意闭合回路所围面积S都成立

导体回路中磁链对时间的变化率可以由以下3种物理因素引起(以下讨论均设导体回路是由单匝线圈构成的)：1.导体回路静止不动，磁感应强度对时间t有变化由于环路C对t没有变化，可以把对t的微分移进对S的面积分号内。而磁感应强度既是t的函数，也是空间坐标变量的函数，于是把全导数改为偏导数，则可得静止回路位于时变磁场中的法拉第电磁感应定律的积分形式为：物理意义：随时间变化的磁场将产生电场第101页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.导体回路对恒定磁场有相对运动运动导体中的电子受到的力为:静电力：洛仑兹力：两端电势差

恒定。当Fm=Fe时，洛仑兹力使电子向下(a端)运动，导致b端带正电荷，即正负电荷分离而形成库仑力即静电力作用于单位电荷的磁场力可看成作用于沿导体的感应电场(电场强度为单位电荷受到的电场力)：第102页，共176页，2023年，2月20日，星期三则因回路运动引起的感应电动势为：3.导体在时变电磁场中运动此时可视为上述两种情况的合成，则感应电动势为：称为法拉第电磁感应定律积分形式的一般形式。根据斯托克斯定理可得其微分形式为：第103页，共176页，2023年，2月20日，星期三对法拉第电磁感应定律的讨论式中等式右边为B对t的偏导数，该式适用于分析时变场式中的E是磁场随时间变化而激发的，称为感应电场感应电场是有旋场，即随时间变化的磁场会激发旋涡状的电场对任意回路（不一定有导体存在）成立磁场不随时间变化时，有，与静电场的形式相同，可见静电场是时变场的特殊情况法拉第电磁感应定律所揭示的物理规律：随时间变化的磁场将产生电场。第104页，共176页，2023年，2月20日，星期三例2.5.2在时变磁场中，放置有一个的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量与成α角，如图所示。试求：（1）线圈静止时的感应电动势；解:（1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故（2）线圈以角速度ω绕x

轴旋转时的感应电动势。xyzabB时变磁场中的矩形线圈第105页，共176页，2023年，2月20日，星期三假定时，则在时刻t时，与y

轴的夹角（2）线圈绕x轴旋转时，的指向将随时间变化。第106页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.5.2位移电流一、安培环路定理的局限性问题：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场是否会产生磁场？回答是肯定的。麦克斯韦把恒定磁场中的安培环路定理用于时变电磁场时出现了矛盾，为此提出位移电流的假说，对安培环路定理进行了修正，从而揭示了随时间变化的电场也要激发产生磁场。位移电流的假说就是变化的电场产生磁场的结果。矛盾安培环路定律微分形式电流连续性方程的微分形式因此，安培环路定理对时变电磁场是不成立的。第107页，共176页，2023年，2月20日，星期三结论：恒定磁场中推导得到的安培环路定理不适用于时变场问题。对S2面：则对S1面：矛盾穿过S2的传导电流为0如图：以闭合路径为边界的开放曲面有无限多个，取如图所示的两个开放曲面S1,S2。C下面我们用一个电容器与时变电压源相连接的电路来说明这种矛盾现象。安培环路定理：第108页，共176页，2023年，2月20日，星期三在电容器极板间，不存在自由电流，但存在随时间变化的电场。为了克服安培环路定理的局限性，麦克斯韦提出了位移电流假说。他认为：在电容器的两个极板存在着因变化的电场而形成的电流，其性质与传导电流完全不同，量值与回路中自由电流相等。二、位移电流假说麦克斯韦对安培环路定理进行了修正，认为静电场中的高斯定律对时变场仍然成立，即：代入电荷守恒定律令：第109页，共176页，2023年，2月20日，星期三称为位移电流密度，表示电位移矢量随时间的变化率。单位为A/m2(安培/米2)，同电流密度。此时，安培环路定理被修正为：称为时变条件下的电流连续性方程，意义是在时变电磁场中，只有传导电流与位移电流之和才是连续的。令：，则全电流传导电流位移电流用全电流来代替安培环路定理中的传导电流，则可修正因时变条件下传导电流不守恒而产生的矛盾。第110页，共176页，2023年，2月20日，星期三3、引入位移电流后，用全电流代替安培环路定理中的传导电流,则安培环路定理在时变场中仍然适用。2、在理想介质中，无传导电流，但可能有位移电流；在理想导体中，无位移电流，但可能有传导电流；在导电介质中，既可能有传导电流，又可能有位移电流。1、位移电流决定于电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。关于位移电流的几点说明由位移电流定义可见，位移电流密度是电位移的时间变化率，或者说是电场的时间变化率。第111页，共176页，2023年，2月20日，星期三4、位移电流仅仅是电位移矢量的时间变化率，在静电场中，由于，自然不存在位移电流；5、是磁场的漩涡源，表明时变电场产生时变磁场；5、在时变电场中，电场变化越快，产生的位移电流密度也越大；6、在电导率较低的媒质中，位移电流密度有可能大于传导电流密度。但是，在良导体中传导电流占主导地位，而位移电流可以忽略不计。第112页，共176页，2023年，2月20日，星期三一般时变场空间同时存在真实电流(传导电流)和位移电流，则广义安培环路定理的微分形式(全电流定律)物理意义：当电场发生变化时，会形成磁场的旋涡源(位移电流)，从而激发起磁场三、全电流定律广义安培环路定理的积分形式表明磁场强度对任意闭曲线C的线积分，等于C所限定的面S上穿过的传导电流与位移电流之和。位移电流产生磁效应的作用代表了变化的电场能够产生磁场这一重要概念。第113页，共176页，2023年，2月20日，星期三对安培环路定理和位移电流的讨论时变场情况下，磁场仍是有旋场，但漩涡源除传导电流外，还有位移电流；位移电流代表电场随时间的变化率，当电场发生变化时，会形成磁场的漩涡源(位移电流)，从而激发起磁场；推广的安培环路定理物理意义：随时间变化的电场会激发磁场；位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学方法引入，在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在，从而反过来证明了位移电流理论的正确性。第114页，共176页，2023年，2月20日，星期三例5-1计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的振幅比值。设铜中的电场为E0sinωt，铜的电导率σ=5.8×107S/m,

ε≈ε0。

解：铜中的传导电流大小为：对于无线电频率即f=300MHz以下的频率范围，即使扩展到极高频率段(f=30GHz~300GHz)，其比值也是很小的。可见，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的，传导电流占主导地位。第115页，共176页，2023年，2月20日，星期三例5-2

证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为零。解：根据全电流定律：可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为：第116页，共176页，2023年，2月20日，星期三例5-3在坐标原点附近区域内，传导电流密度为：试求：(1)通过半径r=1mm的球面的电流值；(2)在r=1mm的球面上电荷密度的增加率；(3)在r=1mm的球内总电荷的增加率。第117页，共176页，2023年，2月20日，星期三解：(2)因为由电流连续性方程式，得：(1)第118页，共176页，2023年，2月20日，星期三(3)在r=1mm的球内总电荷的增加率：第119页，共176页，2023年，2月20日，星期三例5–4在无源的自由空间中，已知磁场强度：求位移电流密度。解：无源的自由空间中,有：第120页，共176页，2023年，2月20日，星期三物理基础库仑定律电场强度与真空中的静电场安培定理法拉第电感定律位移电流假说电位移矢量与介质中静电场磁感应强度与真空中静磁场磁场强度与介质中的静磁场高斯定理磁通连续电感定律全电流定律麦克斯韦方程组边界条件第121页，共176页，2023年，2月20日，星期三麦克斯韦的科学假设归结为两个基本假设和其它一些假设：

两个基本假设：1.位移电流假设；2.有旋电场的假设。

其它假设：由库仑定律直接得出的高斯定律在时变条件下也是成立的；由毕奥-萨伐尔定律直接导出的磁通连续性原理在时变条件下也是成立的。2.6麦克斯韦方程组第122页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.6.1麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦方程组是描述时变电磁场的基本方程组，揭示了宏观电磁现象所遵循的基本规律时变电磁场中，电场和磁场相互激励，形成统一不可分的整体（传导电流和变化的电场都能产生磁场）（变化的磁场产生电场）（磁场是无源场，磁通永远是连续的，磁感线总是闭合曲线）（电荷产生电场）时变电磁场的源：1、真实源（时变的电流和电荷）；2、时变的电场和时变的磁场。①②③④推广的安培环路定理(全电流定理)法拉第电磁感应定理磁场散度定理(磁通连续定理)电场散度定理(高斯通量定理)即点函数形式，描述空间任意一点场的变化规律。第123页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.6.2麦克斯韦方程组的积分形式①②③④在媒质中，场量之间必须满足媒质的本构关系。在线性、各向同性媒质中：将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得2.6.3麦克斯韦方程组的限定形式描述大范围(任意闭合面或闭合曲线所占空间范围)内场与场源(电荷、电流及时变的电场和磁场)相互之间的关系。磁场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的传导电流与位移电流之和。电场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任一曲面的磁通量变化率的负值。穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量恒等于0。穿过任意闭合曲面的电位移的通量恒等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。第124页，共176页，2023年，2月20日，星期三麦克斯韦方程组限定形式麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。麦克斯韦方程组揭示的物理涵义时变电场的激发源除电荷以外，还有变化的磁场；时变磁场的激发源除传导电流以外，还有变化的电场；

电场和磁场互为激发源，相互激发，构成一个整体——电磁场；第125页，共176页，2023年，2月20日，星期三在无源空间中，两个旋度方程分别为负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系：当磁场减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。时变电磁场中，电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体，电场和磁场分别为电磁场的两个物理量。在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。第126页，共176页，2023年，2月20日，星期三说明：静场只是时变场的一种特殊情况。麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，且已被事实所证明。第127页，共176页，2023年，2月20日，星期三例5-5：

证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。

解：将代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有：由于：第128页，共176页，2023年，2月20日，星期三例5–6

已知在无源的自由空间中，其中E0、β为常数，求磁场强度。解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，即。法拉第电磁感应定律第129页，共176页，2023年，2月20日，星期三由上式可以写出：第130页，共176页，2023年，2月20日，星期三物理基础库仑定律电场强度与真空中的静电场安培定律法拉第电感定律位移电流假说电位移矢量与介质中静电场磁感应强度与真空中静磁场磁场强度与介质中的静磁场高斯定理磁通连续电感定律全电流定律麦克斯韦方程组边界条件第131页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.7电磁场的边界条件第132页，共176页，2023年，2月20日，星期三

什么是电磁场的边界条件?

为什么要研究边界条件?媒质1媒质2

如何讨论边界条件?实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间包含多种不同媒质。边界条件反映了不同媒质的分界面两边的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。物理：由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。麦克斯韦方程组的微分形式在分界面两侧失去意义，必须采用边界条件。数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其解是不确定的，边界条件起定解的作用。麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。1、电磁场边界条件揭示了分界面两边电、磁场突变所遵循的规律2、推导边界条件的依据是麦克斯韦方程组的积分形式第133页，共176页，2023年，2月20日，星期三2.7.1边界条件的一般形式0磁场强度的边界条件为表面传导电流密度。式中：为由媒质2－>1的法向。结论：磁场强度在不同媒质分界面两侧的切向分量不连续，其差值恰好等于分界面上的电流面密度第134页，共176页，2023年，2月20日，星期三电场强度的边界条件结论：电场强度在不同媒质分界面两侧的切向分量连续。0第135页，共176页，2023年，2月20日，星期三

电通密度的边界条件磁感应强度的边界条件结论：磁感应强度在不同媒质分界面两侧的法向分量连续。结论：电通密度在不同媒质分界面两侧的法向分量不连续，其差值等于分界面上自由电荷面密度。第136页，共176页，2023年，2月20日，星期三理想介质分界面上的边界条件

理想介质是无损耗媒质，其导电率为零，即：结论：在理想介质分界面上，矢量切向连续在理想介质分界面上，矢量法向连续2.7.2两种特殊情况下的边界条件

由电磁场边界条件一般形式，可知理想介质分界面边界条件为：在理想介质内部和表面上，不存在自由电荷和传导电流。第137页，共176页，2023年，2月20日，星期三理想导体表面上的边界条件理想导体是电导率为无穷大的导体理想导体内部电场强度和磁感应强度均为零导体表面上，一般存在自由电荷和传导电流由电磁场边界条件一般形式，设区域2为理想导体，区域1为介质，有D2n，E2t，B2n，H2t为零，得式中：为导体外法向方向单位矢量注意：理想介质和理想导体只是理论上存在。在实际应用中，若媒质导电率极小或极大，则可视作理想介质或理想导体进行处理。理想导体第138页，共176页，2023年，2月20日，星期三例：在z=0和z=d位置有两个无限大理想导体板，在极板间存在时变电磁场，其电场强度为求：(1)该时变场相伴的磁场强度；(2)导体板上的电荷和电流分布。解：(1)由麦克斯韦方程第139页，共176页，2023年，2月20日，星期三(2)由边界条件在下极板上：在上极板上：第140页，共176页，2023年，2月20日，星期三例题：设区域Ⅰ(z<0)的媒质参数εr1=1,μr1=1,σ1=0；区域Ⅱ(z>0)的媒质参数εr2=5,μr2=20,σ2=0。区域Ⅰ中的电场强度为：区域Ⅱ中的电场强度为：试求：(1)常数A；(2)磁场强度H1和H2；(3)证明在z=0处H1和H2满足边界条件。第141页，共176页，2023年，2月20日，星期三解：(1)在媒质的分界面z=0处，有：由于E1和E2恰好为切向电场，在界面连续，故可求得：(2)根据麦克斯韦方程：有：第142页，共176页，2023年，2月20日，星期三所以：同理，可得：(3)将z=0代入(2)中得：

第143页，共176页，2023年，2月20日，星期三例题：设z=0的平面为空气与理想导体的分界面，z<0一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为：试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。解：电流连续性方程的微分形式第144页，共176页，2023年，2月20日，星期三假设t=0时，ρS=0，由边界条件以及的方向可得：第145页，共176页，2023年，2月20日，星期三例题：证明在无初值的时变场条件下，法向分量的边界条件已含于切向分量的边界条件之中，即只有两个切向分量的边界条件是独立的。因此，在解电磁场边值问题中只需代入两个切向分量的边界条件。解：在分界面两侧的媒质中，将矢性微分算符和场矢量都分解为切向分量和法向分量，即令：于是有：第146页，共176页，2023年，2月20日，星期三由上式可见：对于媒质1和媒质2有：上面两式相减得代入切向分量的边界条件：第147页，共176页，2023年，2月20日，星期三有：从而有如果t=0时的初值B1、B2都为零，那么C=0。故