第六章地球外部重力场

第六章地球外部重力场第1页，共41页，2023年，2月20日，星期三两个主要目的：(1)计算不规则引力对物体在地球重力场中运动的影响；(2)研究用飞机上的仪器所测量的重力的应用。为了计算的方便，仍将重力位W和重力矢量g分为正常位U和正常重力矢量γ，以及扰动位T、和扰动重力矢量δ，它们的关系式如下，正常重力场一般都把它作为一个适当的等位椭球的重力场，这样可以用闭合公式表达。第2页，共41页，2023年，2月20日，星期三在很多情况下，需要引进引力矢量，即gradV(纯为引力，没有离心力)，而不直接采用重力矢量。因为，从重力矢量减去离心力矢量即得引力矢量：第3页，共41页，2023年，2月20日，星期三6-4确定扰动重力的直接方法(∆g)用地球表面的空间异常表达扰动位T，可应用(2-161)和(2-162)式，有第4页，共41页，2023年，2月20日，星期三转换为以r和ψ表示的关系第5页，共41页，2023年，2月20日，星期三引进范宁梅尼兹公式。因为对T，δ来说用球近似精度完全足够，可以将地心纬度和地理纬度看成一致，因而(6-36)和(2-206)式就完全相类似，借用(2-209)式：第6页，共41页，2023年，2月20日，星期三第7页，共41页，2023年，2月20日，星期三第8页，共41页，2023年，2月20日，星期三第9页，共41页，2023年，2月20日，星期三第10页，共41页，2023年，2月20日，星期三正常重力的级数表达式

在球坐标下，地球外部的正常位为那么，正常重力的三个分量为第11页，共41页，2023年，2月20日，星期三扰动重力的级数表达式

地球外部的扰动位为

由扰动重力在球坐标下三个分量的定义式，得

特别地，在地球表面上，即r=R时第12页，共41页，2023年，2月20日，星期三6-5确定扰动重力的表层法(∆g、N)另一种计算T和δ的方法是将产生扰动的质量以表面的薄层或“表层”代替，它包在参考椭球的外面，使外部的位不变。如果大地水准面包括了整个地球质量，依据位的理论，这完全是可以办到的。实际上，对地球而言，它能达到最好的近似。依据l-3节，扰动位以(1-16)式表达，S为参考椭球面，可认为是一个半径为R的近似的球，须求出表层的面密度κ。在椭球S(海水面)的法线方向上，T的外法向导数(1-17a)为：第13页，共41页，2023年，2月20日，星期三第14页，共41页，2023年，2月20日，星期三第15页，共41页，2023年，2月20日，星期三第16页，共41页，2023年，2月20日，星期三第17页，共41页，2023年，2月20日，星期三第18页，共41页，2023年，2月20日，星期三同样地，(6-61)和(6-62b)式连同(6-47)(6-49)式可以用来计算相应的地球位面与椭球等位面的偏离值和垂线偏差。注意：应用表层法的前提是，重力异常∆g和大地水准面起伏N都必须已知。第19页，共41页，2023年，2月20日，星期三6-6扰动重力的向上延续法在P点附近，实际上球和F点的切面相重合。当离P点距离远时，积分值很小。可以将积分的范围扩大到切面，用切面来代替球。再引进直角座标系x，y，z。X轴指北，y轴指东，并且都在切平面内。于是能写戍：第20页，共41页，2023年，2月20日，星期三这一重要公式称为“向上延续积分公式”。它可以从切平面上的T值，计算在xy面之上一点的谐函数值，也就是谐函数的向上延续值。由于第21页，共41页，2023年，2月20日，星期三第22页，共41页，2023年，2月20日，星期三上式中的左边为升高点P的重力矢量δ

的分量；在积分号的右边为海水面上的值，它们由下式计算：在高程不是太高(比如说不大于250公里)的情况下是够用的，否则，必须用球的公式(6-63)式计算T。第23页，共41页，2023年，2月20日，星期三6-7其它考虑

参考面如果参考面为球时，前一节中关于扰动位和扰动重力矢量δ

的公式都是严密正确的。实际上，重力异常是对椭球的，如果将扁率的相对误差f≈3‰

忽略掉，类似采用球近似那样，那末，上述公式也适用于椭球参考面。必须注意，这不是说在任何几何意义上，椭球均代之以球。而是说在原来的椭球公式中的第一次幂或更高次幂都省略掉，形式上变为球的公式。既然重力异常是关系于椭球的，则对引进6-4节和6-5节的公式中的t值的计算，必须十分小心。如果以半径为R的严格的球作为参考面，则r=R+H，其中H为所求点在球之上的高程。实际上我们采用的是参考椭球，于是，第24页，共41页，2023年，2月20日，星期三第25页，共41页，2023年，2月20日，星期三第26页，共41页，2023年，2月20日，星期三第27页，共41页，2023年，2月20日，星期三第28页，共41页，2023年，2月20日，星期三第29页，共41页，2023年，2月20日，星期三第30页，共41页，2023年，2月20日，星期三第31页，共41页，2023年，2月20日，星期三第32页，共41页，2023年，2月20日，星期三6-8地球外部重力异常第33页，共41页，2023年，2月20日，星期三扰动重力当空间的点P的地心直角座标x,y,z为已知时，计算沿空间弹道或卫星轨道的重力就用到扰动重力。通常不只是计算重力的大小值g，而需要计算完全的矢量g，在2-13节中，已看到大小的差δg，实际上等于扰动重力的垂直分量，

δg=-δr本节将讨论重力异常∆g，每当P点的自然座标特别是位W为已知时，能确定正常位等于已知值W的Q点。就是说应用如(4-44)式的公式，以C=W0–W，能计算Q点在椭球上的高，由(2-123)式，计算其正常重力。第34页，共41页，2023年，2月20日，星期三在地球表面，地球位W用水准测量测定，在4-1节已有阐述。这就说明为什么重力大地测量的基本资料为重力异常而不是扰动重力。地面之上P点的高H1如已知，则P的位可以从下式计算：其中W1为P点的下面地面点F的位，而为F和P之间的平均重力值。因此，这时已知的是W，而不是直角座标x,y,z。应用重力异常∆g比较适当。如用飞机测量重力，飞机对地面的高是可以测定的。第35页，共41页，2023年，2月20日，星期三